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高等数学
第八章 无穷级数
正项级数及其审敛性
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更新:
2023-10-01 11:28
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正项级数及其审敛性
研究级数时,重要的是讨论其收敛性.按照定义,级数的收剑性归 结为它的部分和数列的收敛性. 对于一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ , 我们主要关心以下两个问题: (1) 它是否收敛? (2)当级数收敛时,如何求它的和? 如果能直接由定义判断级数收敛,那是最理想的. 因为这样不仅 判断出级数的收敛性,并且还能求出级数的和. 但是,这在大部分情 况下很难做到. 然而我们感兴趣的往往是判断级数是否收敛而不是求 出级数的和.一般情况下,利用定义和性质来判断级数的收敛性是很 困难的,能否找到更简单有效的判别方法呢? 我们先从最简单的一 类级数找到突破口,那就是正项级数. 常数项级数的每一项都是常数项级数,当各项都是大于或等于零的常数 时,称为正项级数. 正项级数是一类非常重要的级数,在研究其他级数的收敛 性的问题时,常常转化为研究正项级数的收敛性. 正项级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots $$ 的每一项都是非负的,即 $u_n \geq 0$. 则有 $$ \begin{aligned} & s_1=u_1 \geq 0 ; \quad s_2=u_1+u_2 \geq u_1=s_1 ; \cdots \\ & s_{n+1}=u_1+u_2+\cdots+u_n+u_{n+1} \geq u_1+u_2+\cdots+u_n=s_n ; \cdots \end{aligned} $$ 故得到一个单调递增的数列 $\left\{S_n\right\}$ ,若这个数列有上界,即存在 $M>0$ ,使得 $s_n \leq M$ ,则数列 $\left\{S_n\right\}$ 必有极限,故对应的级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛;反之,若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=s$ ,从而 $\left\{S_n\right\}$ 必为有界数列. 故此我们可以得到以下定理. 定理 1 (基本定理) 正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的充分必要条件是它的部分和数 列 $\left\{S_n\right\}$ 有界. 例 1 证明正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的. 证 对任意的 $x \leq n$ ,有 $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{x^2}$ , 即有 $\frac{1}{n^2} \leq \int_{n-1}^n \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$. 从而该级数的前 $n$ 项和 $$ s_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} \leq 1+\int_1^n \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=2-\frac{1}{n}<2 $$ 即正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界. 由基本定理知,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛. 我们可以用同样的方法证明: 对任意的 $p>1$ ,正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 都是收敛的. 定理 2 (比较审敛定理):设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 是两个正项级数,且 $u_n \leq v_n(n=1,2, \cdots)$ , 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛; 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散. 证 我们仅证第一个结论. 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和为 $s_n$ ,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 的部分和为 $\sigma_n$. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收玫,则有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_n=\sigma$. 又 $\left\{\sigma_n\right\}$ 是单调增加函数, 故 $\sigma_n \leq \sigma$. 又 $u_n \leq v_n$ ,有 $$ s_n=\sum_{k=1}^n u_k \leq \sum_{k=1}^n v_k=\sigma_k \leq \sigma . $$ 故数列 $\left\{s_n\right\}$ 有上界,由基本定理知,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛. 注 比较审敛法也可写成: 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n 、 \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 为正项级数,且存在正整数 $N$ ,当 $n>N$ 时, $u_n \leq C v_n$ ,其中 $C$ 为正常数,则当 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛时, $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收 敛;当 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也发散. 例 2 判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3+1}$ 的敛散性. 解 正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3+1}$ 的一般项 $\frac{n}{n^3+1} \leq \frac{1}{n^2}$. 而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛,故由比较审敛定理可知,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3+1}$ 是收敛的. 例 3 证明正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 当 $0<p<1$ 时是发散的. 证 已知调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的,又 $0<p<1$ 时,有 $$ \prod_n^{\frac{1}{n^p}>\frac{1}{n},} $$ 由比较审敛定理知,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 当 $0<p<1$ 时是发散的. 注 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}(p>0)$ 称为 $p$-级数., 特别地,当 $p=1$ 时是调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$. 综合以上的结论可知 $p$-级数的敛散性: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}(p>0)$ 当 $p>1$ 时收敛,当 $p \leq 1$ 时发散. 比较审敛定理是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数,如果要用比较审敛定理来判别其收敛性,则首先要 通过观察,找到另一个已知级数与其进行比较,只有知道一些重要级数的收敛 性,并加以灵活应用,才能熟练掌握比较审玫定理. 至今为止,我们熟悉的重要的已知级数包括几何级数、调和级数以及 $p$ 级 数等. 例 4 判定下列级数的收敛性: (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n\left(n^2+1\right)}}$; (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n}$. 解 (1) 因 $\frac{1}{\sqrt{n\left(n^2+1\right)}}<\frac{1}{n^{3 / 2}}$ ,而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3 / 2}}$ 收玫,故原级数收敛. (2)因 $\frac{1}{n 2^n} \leq \frac{1}{2^n}$ ,而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛,故原级数收敛. 要应用比较审敛定理来判别给定级数的收敛性,就必须给定级数的一般项 与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困 难,为应用方便,我们不加证明的给出比较审敛定理的极限形式.
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