最后更新: 2026-01-11 10:57 查看: 607 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

n 阶行列式

##  $n$ 阶行列式的定义
由 $n^2$ 个元素 $a_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 排成 $n$ 行 $n$ 列的正方形的数表:

$$
D_n=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$

由这个数表所决定的数 $\sum_{p_1 p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(\left(p_1 \cdots \cdots p_n\right)\right.} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$
称为由 $n^2$ 个元素 $a_y(i, j=1,2, \cdots, n)$ 构成的 $n$ 阶行列式，

对所有的 $n$ 阶全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和

①$\sum_{p_1 p_2...p_n}$ 是对所有的 $n$ 阶全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和，所以展开式中共有 $n!$ 项;

②每一项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 是取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积；

③每一项 $a_{1 p_1}, a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 的行标排成一个标准排列, 列标排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 的奇偶性决定了乘积$a_{1 p_1}, a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 前的符号.

> 这里给出了$n$阶行列式的定义与计算，估计很多同学看到定义都蒙了，别急，后面会用三阶行列式展开来告诉你如何理解定义。

记矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
$$

则行列式$D_n$通常也称为方阵 $A$ 的行列式，记为 $|A|$.
有时为了表明行列式是由元素 $a_{i j}$ 构成的，也简记为 $|A|=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) 、\left|a_{i j}\right|_{n \times n}$ 或 $\left|a_{i j}\right|_n$.

## 根据上面定义计算三阶行列式

上面给出了$n$阶行列式的定义，比较抽象，这里以 $n=3$ 为例，详细介绍行列式怎么取数和计算。 三阶行列式的定义如下

$$
\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\sum_{\substack{p_1 p_2 p_3}}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2 p_3\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3}
$$

如何理解上式等号**右边**的式子？ 首先，$\sum$ 表示求和，这个大家都能看懂，其次，$\tau (p_1 p_2 p_3)$ 代表 $(p_1 p_2 p_3)$ 形成你逆序数,见[逆序数教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=466)

**下面解释怎么取数**
在等号右边求和里，即 $ a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3}$ 里可以看到 $a$的第一个下标都是固定的（即第一个行标是固定的），变的只是$p_1,p_2,p_3$

比如，取 $p_1=1,p_2=2,p_3=3$,带入就是 $ a_{11} a_{22} a_{3 3}$，为了记录方便，可以写成 $p_1 p_2 p_3=123$，代表取数 $ a_{11} a_{22} a_{3 3}$

同理，取 $p_1=1,p_2=3,p_3=2$,带入就是 $ a_{11} a_{23} a_{32}$ , 也就是$p_1 p_2 p_3=132$ 代表取数是 $ a_{11} a_{23} a_{32}$

从这些取数里可以发现，每次取数时，第一个行标不变，而只变列标，这样，防止取数重复或者漏取。

> 再仔细看一下取数，每次取数时，**这个数都是在不同行不同列上取的**，比如我第一个数取$a_{11}$ 那么后面所有的数都不可能在第1行第1列取数，记住这个规律非常重要。

**现在开始计算三阶行列式**

**STEP1:** 
根据定义, $3!=6$，所以三阶行列式是共有**6**项，同时每项含有**3**个数相乘，这是大方向，不能搞错。
 
**STEP2:** 
①$p_1 p_2 p_3=123$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(123)} a_{11} a_{22} a_{33}=(-1)^0 a_{11} a_{22} a_{33}=a_{11} a_{22} a_{33} \text {, }
$$

②$p_1 p_2 p_3=132$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(132)} a_{11} a_{23} a_{32}=(-1)^1 a_{11} a_{23} a_{32}=-a_{11} a_{23} a_{32},
$$

③$p_1 p_2 p_3=213$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(213)} a_{12} a_{21} a_{33}=(-1)^1 a_{12} a_{21} a_{33}=-a_{12} a_{21} a_{33},
$$

④$p_1 p_2 p_3=231$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(231)} a_{12} a_{23} a_{31}=(-1)^2 a_{12} a_{23} a_{31}=a_{12} a_{23} a_{31} \text {, }
$$

⑤$p_1 p_2 p_3=312$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(312)} a_{13} a_{21} a_{32}=(-1)^2 a_{13} a_{21} a_{32}=a_{13} a_{21} a_{32},
$$

⑥$p_1 p_2 p_3=3

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