最后更新: 2025-05-03 21:01 查看: 503 次反馈同步训练

n 阶行列式

##  $n$ 阶行列式的定义
由 $n^2$ 个元素 $a_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 排成 $n$ 行 $n$ 列的正方形的数表:

$$
D_n=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$

由这个数表所决定的数 $\sum_{p_1 p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(\left(p_1 \cdots \cdots p_n\right)\right.} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$
称为由 $n^2$ 个元素 $a_y(i, j=1,2, \cdots, n)$ 构成的 $n$ 阶行列式，

对所有的 $n$ 阶全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和

①$\sum_{p_1 p_2...p_n}$ 是对所有的 $n$ 阶全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和，所以展开式中共有 $n!$ 项;

②每一项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 是取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积；

③每一项 $a_{1 p_1}, a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 的行标排成一个标准排列, 列标排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 的奇偶性决定了乘积$a_{1 p_1}, a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 前的符号.

> 这里给出了$n$阶行列式的定义与计算，估计很多同学看到定义都蒙了，别急，后面会用三阶行列式展开来告诉你如何理解定义。

记矩阵

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right),
$$

则行列式$D_n$通常也称为方阵 $A$ 的行列式，记为 $|A|$.
有时为了表明行列式是由元素 $a_{i j}$ 构成的，也简记为 $|A|=\operatorname{det}\left(a_{i j}\right) 、\left|a_{i j}\right|_{n \times n}$ 或 $\left|a_{i j}\right|_n$.

## 根据上面定义计算三阶行列式

上面给出了$n$阶行列式的定义，比较抽象，这里以 $n=3$ 为例，详细介绍行列式怎么取数和计算。 三阶行列式的定义如下

$$
\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\sum_{\substack{p_1 p_2 p_3}}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2 p_3\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3}
$$

如何理解上式等号**右边**的式子？ 首先，$\sum$ 表示求和，这个大家都能看懂，齐次，$\tau (p_1 p_2 p_3)$ 代表 $(p_1 p_2 p_3)$ 形成你逆序数,见[逆序数教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=466)

**下面解释怎么取数**
在等号右边求和里，即 $ a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3}$ 里可以看到 $a$的第一个下标都是固定的，变的只是$p_1,p_2,p_3$

比如，取 $p_1=1,p_2=2,p_3=3$,带入就是 $ a_{11} a_{22} a_{3 3}$，为了记录方便，可以写成 $p_1 p_2 p_3=123$，代表取数 $ a_{11} a_{22} a_{3 3}$

同理，取 $p_1=1,p_2=3,p_3=2$,带入就是 $ a_{11} a_{23} a_{32}$ , 也就是$p_1 p_2 p_3=132$ 代表取数是 $ a_{11} a_{23} a_{32}$

从这些取数里可以发现，每次取数时，第一个行标不变，而只变列标，这样，防止取数重复或者漏取。

> 再仔细看一下取数，每次取数时，这个数都是在不同行不同列上取的，比如我第一个数取$a_{11}$ 那么后面所有的数都不可能在第1行第1列取数，记住这个规律非常重要。

**现在开始计算三阶行列式**

**STEP1:** 
根据定义, $3!=6$，所以三阶行列式是共有**6**项，同时每项含有**3**个数相乘，这是大方向，不能搞错。

**STEP2:** 
①$p_1 p_2 p_3=123$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(123)} a_{11} a_{22} a_{33}=(-1)^0 a_{11} a_{22} a_{33}=a_{11} a_{22} a_{33} \text {, }
$$

②$p_1 p_2 p_3=132$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(132)} a_{11} a_{23} a_{32}=(-1)^1 a_{11} a_{23} a_{32}=-a_{11} a_{23} a_{32},
$$

③$p_1 p_2 p_3=213$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(213)} a_{12} a_{21} a_{33}=(-1)^1 a_{12} a_{21} a_{33}=-a_{12} a_{21} a_{33},
$$

④$p_1 p_2 p_3=231$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(231)} a_{12} a_{23} a_{31}=(-1)^2 a_{12} a_{23} a_{31}=a_{12} a_{23} a_{31} \text {, }
$$

⑤$p_1 p_2 p_3=312$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(312)} a_{13} a_{21} a_{32}=(-1)^2 a_{13} a_{21} a_{32}=a_{13} a_{21} a_{32},
$$

⑥$p_1 p_2 p_3=321$ 时, 对应项为

$$
(-1)^{\tau(321)} a_{13} a_{22} a_{31}=(-1)^3 a_{13} a_{22} a_{31}=-a_{13} a_{22} a_{31}
$$

**STEP3:** 把这六项求和, 就得到三阶行列式

$$
\begin{aligned}
& \left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 p_3}(-1)^{\tau\left(p_1 p_2 p_3\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3} \\
& =a_{11} a_{22} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31} \\
& +a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{22} a_{31}
\end{aligned}
$$

利用定义，不管是四阶行列式还是五阶行列式都可以采用这种思路计算。

## n 阶行列式的性质

**性质 1**
行列式 $D_n$ 与它的转置行列式 $D_n^{\top}$ 相等.

**性质2**
互换行列式的两行（或两列），行列式变号. 记为 $r_i \leftrightarrow r_j$ 或 $c_i \leftrightarrow c_j$

$$
\left|\begin{array}{lll}
1 & 3 & 4 \\
7 & 5 & 6 \\
2 & 4 & 1
\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{lll}
1 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 1 \\
7 & 5 & 6
\end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{lll}
1 & 3 & 4 \\
7 & 5 & 6 \\
2 & 4 & 1
\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{lll}
4 & 3 & 1 \\
6 & 5 & 7 \\
1 & 4 & 2
\end{array}\right|
$$

**性质3**
若行列式中有两行 (或两列) 对应元素相等，则行列式等于零.

**性质4**
若行列式的某一行有公因子$k$  ，则公因子$k$可以提到行列式记号外面;

> 这条性质必须和矩阵的区别出来，矩阵的是性质是 若矩阵里每个元素有公因子$k$  ，则公因子$k$可以提到矩阵的记号外面;

**性质5**
设 $D$ 是 $n$ 阶方阵，则等式 $|k D|=k^n|D|$ 成立.

**性质6** 若行列式中某行 (列) 元素均为两项之和, 则行列式可表示为两个行列式之和。

**性质7**  行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。

## 三阶行列式的计算

`例`设 ${D}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|$, 求 $D$.

解:可以化为上三角，也可以直接展开。
$|\boldsymbol{D}|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|=1 \times 3 \times(-1)+2 \times 1 \times 1+(-2) \times(-3) \times 2-(-2) \times 3 \times 1-1 \times 1 \times 2-2 \times(-3) \times(-1)$
$=(-3)+2+12-(-6)-2-6=9$.

## 四阶行列式的计算
对于超过3阶以上的行列式，通常需要使用行列式的性质，把他化为上三角或下三角进行计算。主要使用的一条性质是：**性质7:行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。**

`例`求四阶行列式 
$$
\begin{aligned}
&D=\left|\begin{array}{cccc}
3 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 & 7 \\
2 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

解：这是一个四阶行列式，主要利用行列式的性质，把他化成上三角。

①因为最终化为上三角，所以，我们希望第一行第一列最好都是1，然后用**第一行**消去第二行，用**第一行**消去第三行，用**第一行**消去第四行。为此，第二行和第一行互换，根据行列式性质，互换两行，行列式变号，前面需要添加一个负号。
$$
D \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_2}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
3 & 1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 4 & 7 \\
2 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right|
$$

②现在第一行不变，利用第一行分别消去第二行，第三行和第四行。行列式有一个性质是：一行的k倍加到另一行上去，行列式的值不变，因此
(i)第一行乘以 $-3$ 加到第二行
(ii)第一行乘以 $-2$ 加到第三行
(iii)第一行乘以 $-2$ 加到第四行
$$
D=\xlongequal{\substack{-3 r_1+r_2 \\
-2 r_1+r_3 \\
-2 r_1+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 3 & 2 & 3 \\
0 & 2 & -1 & 0
\end{array}\right|
$$

③ 现在第一列已经变成$(k,0,0,0)$ 上三角形式了，
接下来处理第二列，让第二列由 $(0,1,3,2)$ 变成 $(a,b,0,0)$形式， 为此，以**第二行**为基础，消去第三行和第四行。
（i）将第$2$行乘以 $-3$ 加到第三行
（ii）将第$2$行乘以 $-2$ 加到第四行
此时得到的行列式如下：

$$
D\xlongequal{\substack{-3 r_2+r_3 \\
-2 r_2+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 14 & 21 \\
0 & 0 & 7 & 12
\end{array}\right|
$$

> **注意** 在第一列已经处理完毕的情况下，第一列不再主动参与运算。比如第一行乘以一个数加到下面任何一行，都会破坏前面列已经化简的结果，但是从下往上被动是可以的，因为已经处理的列下面是0，0的倍数加上上面，值不变。

④观察上面第三行的数字是$14$和第四行的$7$，虽然$14$乘以$-\frac{1}{2}$ 加到第四行可以销掉第四行，但是会产生分数，我们尽可能希望使用整数，因此 交换第三行和第四行（**注意行列式再次变号**），

$$
D\xlongequal{\substack{r_{3 \leftrightarrow r_4} \\
}}\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 14 & 21 
\end{array}\right|
$$

然后用新的第$3$行乘以 $-2$ 加到第四行上去。

$$
D\xlongequal{\substack{} \\
-2 r_3+r_{4-2} }\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array}\right|
$$

⑤ 此时行列式已经化成上三角，结果是主对角线的值
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array}\right|=-21
$$

> 对于任意一个四阶行列式，通过上述得变换，化简为上三角或下三角行列式，然后其值为主对角线的乘积。但是在具体算时，需要灵活运动行列的性质。

`例`计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
2 & -3 & 4 & 5 \\
3 & -2 & 3 & 4 \\
5 & 4 & -3 & 2 \\
4 & 6 & -4 & -5
\end{array}\right|
$$

解： 因为现 在$a_{11}=2$ ，若将 $a_{21}, a_{31}$ 化零时会出现分数。 **我们要尽可能想办法让行列式中$a_{11}=1$，(当然-1也可以)** ， 一种方法是第一行**提取公因子法**，即第一行提取一个公因子$2$，但是这样后面几个数字也会出现分数。
为此，先将 $D$ 中第二 行的 $-1$ 倍加到第一行上，使新的 $a_{11}=-1$

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