最后更新: 2025-09-21 16:29 查看: 616 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

正定二次型与图像判定

## 正定二次型定义
设有二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 。
- 若对任何 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$, 都有 $f(\boldsymbol{x})>0$, 则称 $f(\boldsymbol{x})$ 为正定二次型, 并称对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是**正定矩阵**, 记为 $\boldsymbol{A}>\mathbf{0}$ 。
- 若对任何 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$, 都有 $f(\boldsymbol{x})<0$, 则称 $f(\boldsymbol{x})$ 为负定二次型, 并称对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是**负定矩阵**, 记为 $\boldsymbol{A}<\mathbf{0}$ 。
- 若对任何 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$, 都有 $f(\boldsymbol{x}) \geqslant 0$, 则称 $f(\boldsymbol{x})$ 为**半正定**的; 若$-f(\boldsymbol{x})$ 为半正定的, 则称 $f(x)$ 为**半负定** (负半定) 的; 若 $f(\boldsymbol{x})$ 既不是半正定又不是半负定的, 则称 $f(x)$ 为**不定**的。

显然 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$是正定型，而$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=-x_1^2-x_2^2-\cdots-x_n^2$是负定型

**定理：**  二次型的线性变换不改变二次型的有定性。

比如$y=x^2$ 他的值是大于零，使用 $x=ct$ 带入 得 $y=c^2t^2$ 不论怎么改变，他的值仍然大于零。 从矩阵看前者是1，后者是$c^2$

## 正定二次型是干什么用的

在欧氏空间 $\mathbf{R}^n$, 实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 作为定义在 $\mathbf{R}^n$ 的一个二次实函数 $z=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$,则当 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为正定时就是只要取 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为一组不全为 0 的实数, 均有 $z>0$ (只有当 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ 时, $z=0$ ); 也就是说, 这个函数的值域是 $z \geqslant 0$, 但只有在 $\mathbf{R}^n$ 的原点取得 $z=0$,而在其他点上均有 $z>0$ 。这个地方好多人都忽略了。

半正定呢, 就是在此二次型在整个定义域 $\mathbf{R}^n$ 上也有值域 $z \geqslant 0$, 但除了原点使 $z=0$ 外, 尚有其他一些点也使 $z=0$, 此外便是 $z>0$ (负定和半负定相应地有类似的结果, 只是 $z \leqslant 0$ )。

当二次型为不定时, 则函数值域既有正实数也有负实数和 0 。

**例1** $z=f(x, y)=\frac{1}{4} x^2+y^2$ 是一个正定二次型, 它的图像如图  (a) 所示, 是一个开口向上的椭圆抛物面, 整个曲面除一点 (顶点) 在坐标平面 $x o y$ 的原点上, 其余均在 $x o y$ 平面的上方。
  ![图片](/uploads/2025-04/3cb403.jpg)

正定二次型有着明显的几何意义, 当 $f(x, y)$ 为二维的正定二次型时, 它可由可逆线性替换 (坐标变换) 化为系数全为正的标准形, 于是 $f(x, y)=c(c>0)$ 的图形是以原点为中心的椭圆,当把 $c$ 看做任意正常数时, 则是一族椭圆线, 这族椭圆随着 $c$ (沿着抛物线) 减小且趋于零而收缩到原点 (见图 7-11 (a)); 当 $f$ 为三维正定二次型时, $f(x, y, z)=c(c>0)$ 的图形则是一族椭球面, 这族椭球面随着 $c$ (沿着抛物面) 减小且趋于零而收缩到原点。

**例2** $z=f(x, y)=2 x^2$ 是半正定二次型, 它的图形如上图 (b) 所示, 是一个开口向上, 以 $x o y$ 面上的抛物线 $z=2 x^2$ 为准线, 以平行于 $y$ 轴的直线为母线的抛物柱面。整个曲面有一条母线在 $x o y$ 面上 (即 $y$ 轴, 轴上二次型等于零), 其余均在 $x o y$ 平面上方。

**例3** $z=f(x, y)=x y$ 是一个不定二次型, 其图形如上图  (c) 所示, 是一个过原点的马鞍面。显然, 马鞍面上正值、负值和零都有。

## 判断旋转曲面形状

1.定义
以一条曲线绕一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线

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