最后更新: 2024-10-26 15:49 查看: 537 次反馈刷题

随机试验及其性质

## 随机试验
随机现象一一在个别试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现象.这种规律性称为统计规律性.

概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学科.
为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察， 这个过程叫做**试验**.概率论所讨论的试验称为随机试验，它具有以下三个特点:
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
02 每次试验的结果不止一个，但是试验之前可以明确;
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.

## 随机试验的例子
下面是几个随机试验的例子。
(1)抛郑一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上;
(2)抛掷一枚均匀的股子，出现的点数；
(3)某快餐店一天内接到的订单量；
(4)航班起飞延误的时间；
(5)一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。

如以上样本空间 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 中样本点的个数为有限个, 而 $\Omega_3, \Omega_4$ 及 $\Omega_5$ 中样本点的个数为无限个. 但 $\Omega_3$ 中样本点的个数为可列个, 而 $\Omega_4$ 和 $\Omega_5$ 中的样本点的个数为不可列无限个. 在以后的数学处理上, 我们往往将样本点的个数为有限个或可列的情况归为一类, 称为**离散样本空间**. 而将样本点的个数为不可列无限个的情况归为另一类, 称为**连续样本空间**. 由于这两类样本空间有着本质上的差异，故分别称呼之.

> 在上面样本空间（3）里，某快餐店一天内接到的订单量接单的数量可能为0个，也可能为10万个，甚至我们不能确切的说出一天接单的数量，但是，不管数量是多少，他是可数得，所以该样本空间应该用非负整数表示。这对初学者来说不容易理解，“可数”（或者可列）是数学常见的一个名称，在实变函数里，常常使用，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1457)

## 样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为**样本空间**, 记为 $\Omega=\{\omega\}$, 其中 $\omega$ 表示基本结果, 又称为**样本点**. 样本点是今后抽样的最基本单元.例如
(1) 抛一枚硬币的样本空间为 $\Omega_1=\left\{\omega_1, \omega_2\right\}$, 其中 $\omega_1$ 表示正面朝上, $\omega_2$ 表示反面朝上.
(2) 电视机寿命的样本空间为 $\Omega_2=\{t: t \geqslant 0\}$, 其中 $t$ 为一台电视机开始工作到首次发生故障的时间间隔.

一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为 $\omega$
全体样本点的集合称为样本空间，记为 $\Omega$ ，也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成 的集合，集合中的元素就是样本点.
样本空间可以是有限集，可数集，一个区间（或若干区间的并集）.

`例`  在前面的例子里，
抛掷一枚均匀硬币的样本空间
$\Omega=\{$ 正面，反面 $\}$

某快餐店一天内接到的订单量的样本空间
$\Omega=\{0,1,2,3, \cdots\} .$

航班起飞延误时间的样本空间
$\Omega=\{t: t \geq 0\} $

在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件.用大写字母 $A, B, C,X,Y,Z$ 等来表示随机事件，也可以称他们为称作**随机变量**。

> 在概率论里，约定大于配置，也就是字母的大小写**约定**非常重要。当看到一个大写字母$X$和一个小写字母$x$要体会其意义的区别。

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103ba65488.png)

### 必然事件与不可能事件
一定发送的事件是**必然事件**，一定不发生的事件称为**不可能事件**。

`例`
抛郑一枚均匀的骰子的样本空间为 $\Omega=\{1,2, \cdots, 6\}$
随机事件 $\mathrm{A}=$ "出现 6 点" $=\{6\}$ ；
随机事件 B $=$ "出现偶数点" $=\{2,4,6\}$ ；
随机事件 $C=$ "出现的点数不超过6" $=\{1,2, \cdots, 6\}=\Omega$ ，即一定会发生的必然事件；
随机事件 $D=$ "出现的点数超过 6" $=\phi$ ，即一定不会发生的不可能事件。

`例`若检查 10 件产品, 其中不合格品数 $Y$ 是一个随机变量, 它仅可能取 $0,1,2, \cdots, 10$等 11 个值, 且
- 事件"不合格品数不多于 1 件"可用" $Y \leqslant 1$ "表示.
- " $Y=0$ "表示事件"全是合格品".
- " $Y=10$ "表示事件"全是不合格品".
- " $Y<0$ "是不可能事件 $\varnothing$.
- " $Y \leqslant 10$ " 是必然事件 $\Omega$.

由此可见，随机变量是人们根据研究和需要设置出来的，若把它用等号或不等号与某些实数联结起来就可以表示很多事件。这种表示方法形式简洁、含义明确、使用方便.今后遇到的大量事件都将用随机变量表示。

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