最后更新: 2025-02-15 16:47 查看: 436 次反馈刷题

依概率收敛

## 依概率收敛
设 $X_1, X_2...X_n$,  是随机变量序列，如果存在一个常数 $c$ ，使得对任意一个 $\varepsilon>0$ ， 总有 $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-c\right|<\varepsilon\right)=1$,
那么称 $X_1, X_2, \cdots$ 依概率收敛于 $c$ ，记作 $X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} c$
当 $n$ 充分大时 $\left\{X_n \in(c-\varepsilon, c+\varepsilon)\right\}$ 几乎总是发生或等价地 $\quad \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-c\right| \geq \varepsilon\right)=0$.

## 依概率收敛的通俗解释 
假设随机扔一枚硬币，要判断正面向上的概率，我们很容易知道他的概率为$\frac{1}{2}$，也就是$c=50\%$

但是，当你真的进行实验时。
第一次：扔10次，可能正面的概率为 49%, 和真实的误差是$1\%$
第二次：扔100次，可能正面的概率为 50.8%, 和真实的误差是$0.8\%$
第三次：扔1000次，可能正面的概率为 49.5%, 和真实的误差是$0.5\%$
第四次：扔10000次，可能正面的概率为 49.9%, 和真实的误差是$0.1\%$
第五次：扔10000次，可能正面的概率为50.1%, 和真实的误差是$0.1\%$
第六次：扔100000次，可能正面的概率为50.001%,和真实的误差是$0.001\%$
...
可以看到，随着你扔硬币的次数越来越多，出现的概率越来越接近理论上的真实值。

如何定义“越来越接近”呢？ 我们就把高等《高等数学》里极限那套理论搬过来使用：以上面数据为例，当你给定一个数，
①比如要求误差小于$\varepsilon=0.01$，那我只要扔超过100次就可以了。 
②如果要求误差小于$\varepsilon=0.0005$，那我只要扔超过1000次就可以了。
总之，不论你给我的$\varepsilon$有多小，我扔的次数超过N，就能满足你的苛刻的要求。此时，我们就说他是依概率收敛。

### 依概率收敛的正反两种解释
再看一下这个式子
$  \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-c\right|<\varepsilon\right)=1$,
他的正面描述是：当你扔的次数变成无穷大，那么“硬币正面朝上的概率为50%”的可能性是100%（也就是1）

再看第二个式子
 $ \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|X_n-c\right| \geq \varepsilon\right)=0$.
他的反面解释是：你扔的次数变成无穷大，那么“硬币正面朝上的概率**不**为50%”的可能性是0%（也就是0）

所以上面两个式子是等价的。

## 依概率收敛性具有下列性质：
**定理1** 设 $\left\{X_n\right\},\left\{Y_n\right\}$ 是两个随机变量序列，$a, ~ b$ 是两个常数．如果

$$
X_n \xrightarrow{P} a, \quad Y_n \xrightarrow{P} b,
$$

则有：
（1）$X_n \pm Y_n \xrightarrow{P} a \pm b$ ；
（2）$X_n \times Y_n \xrightarrow{P} a \times b$ ；
（3）$X_n \div Y_n \xrightarrow{P} a \div b(b \neq 0)$ ．

**定理2**
如果 $X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} c ， Y_n \stackrel{P}{\longrightarrow} b$ ，且函数 $g(x, y)$ 在$(a, b)$ 处连续

$$
g\left(X_n, Y_n\right) \stackrel{P}{\rightarrow} g(a, b)
$$

例如 $X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} 1 ， Y_n \stackrel{P}{\longrightarrow} 2$ ，则 $X_n+Y_n \stackrel{P}{\longrightarrow} 3$

> 这说明依概率收敛具有简单的可加性和可乘性。

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