最后更新: 2024-11-09 21:36 查看: 247 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

平行四边形

## 平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 (parallelogram). 平行四边形用 “ $\square$ ” 表示, 如图 18.1-2, 平行四边形 $A B C D$ 记作 “ $\square A B C D$ ”.

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## 性质

①平行四边形的对边相等;
②平行四边形的对角相等.
③平行四边形的对角线互相平分
④相邻两角互补；

## 两平行线之间的距离

如果两条直线平行, 那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中, 一条直线上任意一点到另一条直线的距离, 叫做这两条平行线之间的距离. 如图  , $a / / b, A$ 是 $a$ 上的任意一点, $A B \perp b, B$ 是垂足, 线段 $A B$ 的长就是 $a, b$ 之间的距离.
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## 平行四边形的判定
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
③对角线互相平分的四边形是平行四边形.
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

> 请注意区别平行是不是的性质和判定。一个是说平行四边形有什么特点，一个是说根据特点判断他是不是平行是不是。

## 中位线定理
定理
连结三角形任意两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半．

`例`已知: $D 、 E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的 $\overline{A B}$ 和 $\overline{A C}$ 边上的中点 (图 3.54)
求证: $\overline{D E} / / \overline{B C}, \overline{D E}=\frac{1}{2} \overline{B C}$.
 ![图片](/uploads/2024-11/b09de8.jpg)
 
证明: 在 $\overline{D E}$ 的延长线上, 截取 $\overline{E F}=\overline{D E}$, 由于 $\overline{A E}=\overline{E C}$,
$\therefore$ 四边形 $A D C F$ 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形).
$\therefore C F / / A D$, 即 $C F / / B D$.
但, $\overline{C F}=\overline{A D}, \quad \overline{A D}=\overline{B D}$,
$\therefore \overline{C F}=\overline{B D}$ (等量代换),
$\therefore$ 四边形 $B C F D$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
$\therefore \overline{D F} / / \overline{B C}$, 即 $\overline{D E} / / \overline{B C}$.
由于 $\overline{D E}=\frac{1}{2} \overline{D F}, \overline{D F}=\overline{B C}$ (平行四边形的对边相等),
$\therefore \quad \overline{D E}=\frac{1}{2} \overline{B C}$.

连结三角形两边中点的线段，叫做**三角形的中位线**． 上面的定理又叫做三角形中位线定理

## 梯形
如果四边形只有一组对边平行，另一组对边不平行，这个四边形叫做梯
形．平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰中点
的连线，叫做梯形的中位线．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

定理
> 梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半．
证明略

`例`三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于这边上中
线的三分之一．

![图片](/uploads/2024-11/bb1ba2.jpg)
 
 已知: $\overline{A M} 、 \overline{B N} 、 \overline{C P}$ 为 $\triangle A B C$ 的三条中线 (图 3.56)
求证: $\overline{A M} 、 \overline{B N} 、 \overline{C P}$ 相交于一点 $G$, 且 $\overline{G M}=\frac{1}{3} \overline{A M}, \overline{G N}=\frac{1}{3} \overline{B N}$, $\overline{G P}=\frac{1}{3} \overline{C P}$.
证明：设 $\overline{B N}$ 与 $\overline{C P}$ 相交于 $G$ 点，作 $\overline{P N}$, 则 $\overline{P N}=\frac{1}{2} \overline{B C}, \overline{P N} / / \overline{B C}$ (三角形中位线定理).

设 $H 、 Q$ 分别为 $\overline{B G} 、 \overline{C G}$ 的中点, 则 $\overline{H Q}=\frac{1}{2} \overline{B C}, \overline{H Q} / / \overline{B C}$ (三角形中位线定理).
$\therefore \overline{P N}=\overline{H Q}$ (等量代换), $\overline{P N} / / \overline{H Q}$ (平行于第三条直线的两条直线平行).

$\therefore$ 四边形 $P H Q N$ 为平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
$\therefore \overline{G H}=\overline{G N}, \overline{G P}=\overline{G Q}$ (平行四边形的对角线相平分)
但 $\overline{G H}=\overline{H B}, \overline{G Q}=\overline{C Q}$
$\therefore \overline{G N}=\overline{G H}=\overline{H B}=\frac{1}{3} \overline{B N}, \overline{G P}=\overline{G Q}=\overline{Q C}=\frac{1}{3} \overline{C P}$.
这样，中线 $\overline{C P}$ 和中线 $\frac{3}{B N}$ 相交在这两条中线的三分之一处. 用同样的推理又可证明中线 $\overline{A M}$ 和中线 $\overline{B N}$ 也相交在它们的三分之一处. 即点 $G$.

因此, $\overline{A M} 、 \overline{B N} 、 \overline{C P}$ 相交于 $G$, 且 $\overline{G M}=\frac{1}{3} \overline{A M}, \overline{G N}=\frac{1}{3} \overline{B N}, \overline{G P}=$ $\frac{1}{3} \overline{C P}$.

定义
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
例 3.29 直角三角形的斜边的中点, 与三个顶点的距离相等.
已知: $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, D$ 是 $\overline{A B}$ 的中点（图 3.57）.
求证： $\overline{C D}=\overline{D A}=\overline{D B}$ 。
证明：取 $\overline{B C}$ 的中点 $E$ ，连结 $\overline{D E}$ ，
$\because D$ 是 $\overline{A B}$ 的中点, (已知)
$\therefore \overline{D E}$ 是 $\triangle A B C$ 的一条中位线.
$\therefore D E / / A C$ (三角形中位线定理).
$\because \angle A C B=90^{\circ}$ (已知),
$\therefore \angle D E B=90^{\circ}$. (两条直线平行, 则同位角相等),
$\therefore \angle D E B=\angle D E C$
又 $\because \quad \overline{D E}=\overline{D E}, \quad \overline{B E}=\overline{E C}$

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \triangle B D E \cong \triangle C D E(SAS) \\
\therefore & \overline{C D}=\overline{D B} . \text { 但 } \overline{D B}=\overline{D A}, \\
\therefore & \overline{C D}=\overline{D B}=\overline{D A} .
\end{array}
$$

例 3.30 在直角三角形中, $30^{\circ}$ 角的对边等于斜边的一半.
已知: $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}$ (图 3.58)
求证: $\overline{B C}=\frac{1}{2} \overline{A B}$.
证明: 取 $\overline{A B}$ 的中点 $D$. 连结 $\overline{C D}$, 则 $\overline{C D}=\overline{D A}$ (例 3.29)

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \angle A=30^{\circ}, \\
& \therefore \quad \angle A C D=30^{\circ} \quad \text { (等腰三角形两底角相等). }
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-11/2c98a7.jpg)
 又 $\because \angle B=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ (直角三角形两锐角互余), $\angle B D C=60^{\circ}$ (三角形的外角等于不相邻的两个内角的和).
$\therefore \triangle B C D$ 是正三角形 (三内角相等的三角形是正三角形).
$\therefore \quad \overline{B C}=\overline{B D}=\frac{1}{3} \overline{A B}$.
以上两例的逆命题也是正确的, 同学们可自己证明.

## 平行四边形是中心对称形，它的对称中心是两条对角线的交点．

已知： $\square A B C D$ 的对角线 $\overline{A C} 、 \overline{B D}$ 相交于 $O$ 点 (图 3.61).
求证： $\square A B C D$ 是中心对称形； $O$ 是对称中心。
证明：在 $\square A B C D$ 上任取一点 $P$, 设 $P \in \overline{A D}$, 连结 $\overline{P O}$, 延长交 $\overline{B C}$ 于 $P^{\prime}$,在 $\triangle A O P$ 和 $\triangle C O P^{\prime}$ 中,
$\because \overline{A O}=\overline{O C}$ (平行四边形对角线互相平分),
$\angle 1=\angle 2$ (对顶角相等), $\angle 3=\angle 4$ (两条直线平行, 则内错角相等),
$\therefore \quad \triangle A O P \cong \triangle C O P^{\prime}( AAS )$.
$\therefore \overline{P O}=\overline{O P^{\prime}}$ （全等三角形的对应边相等）,
$\therefore \quad P^{\prime}$ 是 $P$ 关于 $O$ 点的中心对称点.
由于上述 $P$ 点是任意选取的, $P$ 点关于 $O$ 的对称点 $P^{\prime}$ 也在 $\square A B C D$上, 所以 $\square A B C D$ 是中心对称形. $O$ 点是对称中心.

由中心对称形的定义, 我们还可看出:
平面上的中心对称形, 绕着它的对称中心, 在平面上旋转 $180^{\circ}$ 后, 它的新位置与原来位置重合. 例如，我们把上例中的 $\square A B C D$ 绕 $O$ 点旋转 $180^{\circ}$ 后，则 $A$ 与 $C$ 对换位置， $B$ 与 $D$ 对换位置，这时 $\square A B C D$ 与原来位置重合.
 ![图片](/uploads/2024-11/2c291b.jpg)

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