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整除

## 整除
我们知道, 乘法与除法是互逆的两种运算. 要判断一个整数能否除尽另一个整数, 只需考察被除数能否写成除数和某个整数的乘积. 只有当被除数可以表示为除数和某个整数的乘积时, 除数恰好能除尽被除数. 此时, 我们就说除数整除被除数, 或者说被除数能被除数整除.

一般地, 设 $a, b$ 为整数, 且 $b \neq 0$. 如果存在整数 $q$, 使得 $a=b q$, 那么称 $b$ 整除 $a$,或者 $a$ 能被 $b$ 整除, 记作 $b \mid a$. 并且称 $b$ 是 $a$ 的因数, $a$ 是 $b$ 的倍数. 如果这样的整数 $q$不存在, 就称 $b$ 不整除 $a$, 记作 $b \nmid a$.
例如, $6|-24,-4| 56,-4 \nmid 14,8 \mid 0$.
由此可知, 能被非零整数 $n$ 整除的整数是 $n$ 的倍数, 其一般形式为 $n q$, 这里 $q$ 为任意整数. 能除尽 $n$ 的整数是 $n$ 的因数, 例如, 能除尽 6 的整数为 $1,-1,2,-2,3,-3$, $6,-6$.

如何判断一个非零整数整除给定的正整数? 对某些特殊的非零整数, 我们可以通过观察发现一些简单的判别方法.

> **记忆技巧 $b$整除$a$ 记作 $b|a$ ， 即  $b$ 这把刀，去切$a$。
$b$ 是主动的，所以在前。结果是 $a$ 被 $b$ 完美地分割成了若干整数份**

## 观察法

$$
\begin{aligned}
&\text { 给定两组正整数： }\\
&\begin{array}{lllllllll}
\text { 第一组 } & 6, & 18, & 21, & 54, & 81, & 96, & 108, & 243 \\
\text { 第二组 } & 5, & 17, & 43, & 80, & 85, & 98, & 121, & 212
\end{array}
\end{aligned}

第一组数有什么规律? 它们能被什么整数整除? 第二组数呢? 计算每组数的各位数字之和, 你能发现什么特征?

观察发现, 第一组数能被 3 整除, 并且其中每一个数的各位数字之和都能被 3 整除;第二组数不能被 3 整除, 并且其中每一个数的各位数字之和也不能被 3 整除.
由此, 我们猜想:

**(1) 一个正整数的各位数字之和能被 3 整除, 那么这个正整数能被 3 整除.**

这个命题是否正确? 我们证明一下.
下面仅对 4 位正整数情形给出证明, 同学们可以类比证明一般的情形.
证明: 设 $N$ 为 4 位正整数, 且它的个、十、百和千位数字依次为 $a, b, c, d$, 则

$$
\begin{aligned}
N & =d \times 10^3+c \times 10^2+b \times 10+a \\
& =d \times(999+1)+c \times(99+1)+b \times(9+1)+a \\
& =999 d+99 c+9 b+d+c+b+a .
\end{aligned}
$$

因为 $3 \mid 999 d+99 c+9 b$, 所以, 当 $3 \mid d+c+b+a$ 时, $3 \mid N$.

### 推论2
**(2) 一个正整数的各位数字之和能被 9 整除, 那么这个正整数能被 9 整除.**

在证明这个结论前，先看一个小例子：对于下午13点，我们通常认为他是1点，当然并不是说13和1相等，而是在“显示意义”上，13和1是一样的。
 
 ![图片](/uploads/2025-10/0a8174.jpg){width=150px}

另外一方面 $13 \div 12 =1···1$ 可以看到，$13$除以$12$余$1$，为了表示这种“余数”相等，引入一个记法：
 $$
 13 \equiv 1(\bmod 12) 
 $$
 
 你可以从2个角度理解：
 
 >理解角度1： 13除以12的余数为1， 1除以12的余数为1，所以相等。
 >理解角度2：在12进制的模式下，13和1是等价的，当然 25,37也都是等价的
 
这种记法就是同余 $ a \equiv b(\bmod n) $ ，详见 [同余](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=792) 一节。
  
理解了上面的记法就可以证明了。

**2.证明**

设 $N$ 的十进制表示为：$N = a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0$
即：$N = a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + \dots + a_k \times 10^k$ ,其中 $a_i$ 是 0 到 9 的数字，$a_k \neq 0$。
  
注意到：$10 \equiv 1 \pmod{9}$ ,因为 $10 = 9 + 1$。

那么：$10^m \equiv 1^m = 1 \pmod{9} \quad \text{对所有 } m \ge 0 \text{都成立 }$

于是：$N \equiv a_0 \times 1 + a_1 \times 1 + a_2 \times 1 + \dots + a_k \times 1 \pmod{9}$
$N \equiv a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_k \pmod{9}$

记数字和：$S = a_0 + a_1 + \dots + a_k$ 则：
$N \equiv S \pmod{9}$
因此：$N \bmod 9 = 0 \quad \iff \quad S \bmod 9 = 0$
即 $N$ 能被 9 整除当且仅当 $S$ 能被 9 整除。

### 推论3
**（3）一个数能被 11 整除，当且仅当它的“奇位数字和”与“偶位数字和”的差能被 11 整除（包括 0）**

**证明：**

这里“奇位”指从最低位（个位） 开始编号为第 1 位（奇数位），十位是第 2 位（偶数位），百位是第 3 位（奇数位），依此类推。

例如：$ N = a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0 $（按位置编号 $a_0$ 是个位，$a_1$ 是十位，等等）。

- 奇数位（从右数第 1、3、5、… 位）：$a_0, a_2, a_4, \dots$
- 偶数位（从右数第 2、4、6、… 位）：$a_1, a_3, a_5, \dots$

规则：
$$
S_{\text{odd}} = a_0 + a_2 + a_4 + \dots
$$
$$
S_{\text{even}} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots
$$
$$
11 \mid N \quad \iff \quad 11 \mid (S_{\text{odd}} - S_{\text{even}})
$$

**2. 证明**

把 $N$ 按十进制展开：$N = a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + a_3 \times 10^3 + \dots + a_n \times 10^n$

注意到：$10 \equiv -1 \pmod{11}$, 因为 $10 = 11 - 1$。
那么：$10^k \pmod{11} = (-1)^k$, 因为：$10^2 = 100 \equiv 1 \pmod{11} \quad (\text{因为 } 100 = 9\times 11 + 1)$
$10^3 = 10 \times 10^2 \equiv (-1) \times 1 = -1 \pmod{11}$ 所以：$10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$

于是：$N \equiv a_0 \times (-1)^0 + a_1 \times (-1)^1 + a_2 \times (-1)^2 + a_3 \times (-1)^3 + \dots \pmod{11}$
$N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + \dots \pmod{11}$

即：$N \equiv (a_0 + a_2 + a_4 + \dots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \dots) \pmod{11}$
$N \equiv S_{\text{odd}} - S_{\text{even}} \pmod{11}$

因此：$N \bmod 11 = 0 \quad \iff \quad (S_{\text{odd}} - S_{\text{even}}) \bmod 11 = 0$

`例`判断 $710316$ 能否被 $9,11$ 整除.
解: 因为 $7+1+0+3+1+6=18$ 能被 9 整除, 所以 710316 能被 9 整除.
又因为 710316 的奇数位数字之和为 $6+3+1=10$, 偶数位数字之和为 $1+0+7=8$, 而 $10-8=2$ 不能被 11 整除, 所以 710316 不能被 11 整除.

## 整除的性质
整除具有如下性质，请同学们自己验证。
>（1）若 $b|a, c| b$ ，则 $c \mid a$ ．

性质(1)表示了整除的**传递性（类比朋友的朋友也是朋友）**。即如果 A 能整除 B（A 是 B 的“朋友”），B 能整除 C（B 是 C 的“朋友”），那么 A 肯定也能整除 C（A 也就成了 C 的“朋友”）。

**例子：**
*   2 能整除 6（比如 6个苹果分2组，刚好分完）
*   6 能整除 24（24个苹果分6组，刚好分完）
*   那么，**2 一定能整除 24**（24个苹果分2组，也肯定能分完）。

>（2）若 $c|a, c| b$ ，则对任意整数 $x, y$ ，必有 $c \mid(a x+b y)$ ．

性质(2)表示了整除的**线性组合性（“配方”性质）** 如果把C想象为一把刀，把A,B想象为蛋糕，如果C能切开A，C能切开B，那么A,B的组合的和也能用C切开。
**例子：**
* 3 能整除 12，3 也能整除 21。
*   现在我们来“配方”：用 12 和 21 任意组合，比如 `2 × 12 + 1 × 21`。
    *   计算：`2 × 12 + 1 × 21 = 24 + 21 = 45`
*   你会发现，**3 也能整除 45** (45 ÷ 3 = 15)。
*   无论你怎么换乘法的系数（比如 `5 × 12 - 2 × 21`），只要用的是整数，得到的新数都一定能被 3 整除。

>（3）若 $b \mid a, a \neq 0$ ，则 $|b| \leqslant |a|$ ．

性质（3）反应数的大小，余数始终小于模数，比如时钟表示12个小时（或者说是12进制），但是余数最大为11. 这也和我们通常理解的10进制最大数字是9一致。

**例子：**
*   说 “12 能整除 6” 是错的。因为 12 比 6 大，12 个苹果没法完整地“分进” 6 个组里而不拆分苹果本身（我们讨论的是整数，不切碎苹果）。实际上，应该是 6 能整除 12。

>（4）若 $b \mid a, a \neq 0$ ，则 $\left.\frac{a}{b} \right\rvert\, a$ ．

性质（4）反应**倍数关系**。如果$a$能被$b$整除，$c$是任意整数，那么积$ac$也能被$b$整除。

**例子：**
*   5 能整除 10。
*   那么 5 也一定能整除 10 的任意倍数，比如 20 (10×2), 30 (10×3), 100 (10×10) 等等。

## 例题

`例` 设 $3|m, 7| m$ ，则 $21 \mid m$ ．
证明：由 $3 \mid m$ ，可得 $m=3 q$ ，由此及 $7 \mid m$ 知 $7 \mid 3 q$ 。由 $7|7 q, 7| 3 q$ 及性质（2）可得 $7 \mid[7 q-2 \times(3 q)]$ ，即 $7 \mid q$ ．因此可令 $q=7 d$ ，于是，有 $m=3 q=3 \times 7 d=21 d$ ，故 $21 \mid m$ ．

`例` 设 $q_1, q_2, \cdots, q_k$ 是正整数 $n$ 的所有的正约数，证明

$$
\left(q_1 q_2 \cdots q_k\right)^2=n^k
$$

证明：由性质（4）知，$\frac{n}{q_1}, \frac{n}{q_2}, \cdots, \frac{n}{q_k}$ 也是 $n$ 的所有的正约数．不妨设 $q_1<q_2<\cdots<$ $q_k$ ，则有 $q_1=\frac{n}{q_k}, q_2=\frac{n}{q_{k-1}}, \cdots, q_k=\frac{n}{q_1}$ ．因此

$$
\begin{aligned}
& q_1 q_2 \cdots q_k=\frac{n}{q_k} \times \frac{n}{q_{n-1}} \times \cdots \times \frac{n}{q_1}, \\
\Rightarrow & \left(q_1 q_2 \cdots q_k\right)^2=n^k .
\end{aligned}
$$

例如，1，2，3，4，6，12 是 12 的全部正约数，因而 $\frac{12}{1}, \frac{12}{2}, \frac{12}{3}, \frac{12}{4}, \frac{12}{6}, \frac{12}{12}$ 也是 12 的全部正约数．后者不过是将前者倒过来排列．因此

$$
\begin{aligned}
& 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 6 \times 12=\frac{12}{12} \times \frac{12}{6} \times \frac{12}{4} \times \frac{12}{3} \times \frac{12}{2} \times \frac{12}{1}, \\
\Rightarrow & (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 6 \times 12)^2=12^6(\text { 这里 } k=6) .
\end{aligned}
$$

`例` 证明：若正整数 $n$ 的全部正约数有奇数个，则 $n$ 为平方数．
证明：设约数个数为 $2 k+1$ ，由前面例可知，将 $n$ 的全部正约数从小到大排列 $q_1, q_2$ ， $\cdots, q_k, q_{k+1}, \cdots, q_{2 k+1}$ ．则与约数 $\frac{n}{q_{2 k+1}}, \cdots, \frac{n}{q_{k+1}}, \frac{n}{q_k}, \cdots, \frac{n}{q_1}$ 对应相等．这两列数中位于正中央的分别是 $q_{t+1}, \frac{n}{q_{t+1}}$ ，因此 $q_{t+1}=\frac{n}{q_{t+1}}$ ，于是 $n=q_{t+1}^2$ ．

## 常见能被整除的数

（1）1与0的特性： 
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
（2）能被2整除的数的特征
若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征
 若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）能被4整除的数的特征
若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征
若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征
若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征
1.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。同能被17整除的数的特征。
2.末三位以前的数与末三位以后的差（或反过来）。同能被11,13整除的数的特征。

（8）能被8整除的数的特征
若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）能被9整除的数的特征
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）能被10整除的数的特征
若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）能被11整除的数的特征
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
（12）能被12整除的数的特征
若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）能被13整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）能被17整除的数的特征
1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，同能被7整除的特征一样。
2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（15）能被19整除的数的特征
1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续使用能被13整除特征的方法。
2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（16）能被23整除的数的特征
若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

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