最后更新: 2025-10-20 09:36 查看: 513 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

整除

## 整除
我们知道, 乘法与除法是互逆的两种运算. 要判断一个整数能否除尽另一个整数, 只需考察被除数能否写成除数和某个整数的乘积. 只有当被除数可以表示为除数和某个整数的乘积时, 除数恰好能除尽被除数. 此时, 我们就说除数整除被除数, 或者说被除数能被除数整除.

一般地, 设 $a, b$ 为整数, 且 $b \neq 0$. 如果存在整数 $q$, 使得 $a=b q$, 那么称 $b$ 整除 $a$,或者 $a$ 能被 $b$ 整除, 记作 $b \mid a$. 并且称 $b$ 是 $a$ 的因数, $a$ 是 $b$ 的倍数. 如果这样的整数 $q$不存在, 就称 $b$ 不整除 $a$, 记作 $b \nmid a$.
例如, $6|-24,-4| 56,-4 \nmid 14,8 \mid 0$.
由此可知, 能被非零整数 $n$ 整除的整数是 $n$ 的倍数, 其一般形式为 $n q$, 这里 $q$ 为任意整数. 能除尽 $n$ 的整数是 $n$ 的因数, 例如, 能除尽 6 的整数为 $1,-1,2,-2,3,-3$, $6,-6$.

如何判断一个非零整数整除给定的正整数? 对某些特殊的非零整数, 我们可以通过观察发现一些简单的判别方法.

> **记忆技巧 $b$整除$a$ 记作 $b|a$ ， 即  $b$ 这把刀，去切$a$。
$b$ 是主动的，所以在前。结果是 $a$ 被 $b$ 完美地分割成了若干整数份**

## 观察法

$$
\begin{aligned}
&\text { 给定两组正整数： }\\
&\begin{array}{lllllllll}
\text { 第一组 } & 6, & 18, & 21, & 54, & 81, & 96, & 108, & 243 \\
\text { 第二组 } & 5, & 17, & 43, & 80, & 85, & 98, & 121, & 212
\end{array}
\end{aligned}

第一组数有什么规律? 它们能被什么整数整除? 第二组数呢? 计算每组数的各位数字之和, 你能发现什么特征?

观察发现, 第一组数能被 3 整除, 并且其中每一个数的各位数字之和都能被 3 整除;第二组数不能被 3 整除, 并且其中每一个数的各位数字之和也不能被 3 整除.
由此, 我们猜想:

**(1) 一个正整数的各位数字之和能被 3 整除, 那么这个正整数能被 3 整除.**

这个命题是否正确? 我们证明一下.
下面仅对 4 位正整数情形给出证明, 同学们可以类比证明一般的情形.
证明: 设 $N$ 为 4 位正整数, 且它的个、十、百和千位数字依次为 $a, b, c, d$, 则

$$
\begin{aligned}
N & =d \times 10^3+c \times 10^2+b \times 10+a \\
& =d \times(999+1)+c \times(99+1)+b \times(9+1)+a \\
& =999 d+99 c+9 b+d+c+b+a .
\end{aligned}
$$

因为 $3 \mid 999 d+99 c+9 b$, 所以, 当 $3 \mid d+c+b+a$ 时, $3 \mid N$.

### 推论2
**(2) 一个正整数的各位数字之和能被 9 整除, 那么这个正整数能被 9 整除.**

在证明这个结论前，先看一个小例子：对于下午13点，我们通常认为他是1点，当然并不是说13和1相等，而是在“显示意义”上，13和1是一样的。
 
 ![图片](/uploads/2025-10/0a8174.jpg){width=150px}

另外一方面 $13 \div 12 =1···1$ 可以看到，$13$除以$12$余$1$，为了表示这种“余数”相等，引入一个记法：
 $$
 13 \equiv 1(\bmod 12) 
 $$
 
 你可以从2个角度理解：
 
 >理解角度1： 13除以12的余数为1， 1除以12的余数为1，所以相等。
 >理解角度2：在12进制的模式下，13和1是等价的，当然 25,37也都是等价的
 
这种记法就是同余 $ a \equiv b(\bmod n) $ ，详见 [同余](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=792) 一节。
  
理解了上面的记法就可以证明了。

**2.证明**

设 $N$ 的十进制表示为：$N = a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0$
即：$N = a_0 + a_1 \times 10 + a_2 \times 10^2 + \dots + a_k \times 10^k$ ,其中 $a_i$ 是 0 到 9 的数字，$a_k \neq 0$。
  
注意到：$10 \equiv 1 \pmod{9}$ ,因为 $10 = 9 + 1$。

那么：$10^m \equiv 1^m = 1 \pmod{9} \quad \text{对所有 } m \ge 0 \text{都成立 }$

于是：$N \equiv a_0 \times 1 + a_1 \times 1 + a_2 \times 1 + \dots + a_k \times 1 \pmod{9}$
$N \equiv a_0 + a_1 + a_2 +

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