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康托尔三分集

## 康托尔三分集
> 本文摘自程其襄的《实变函数与泛函分析基础》

将闭区间 $[0,1]$ 三等分, 去掉中间的开区间 $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$, 剩下两个闭区间 $\left[0, \frac{1}{3}\right],\left[\frac{2}{3}, 1\right]$. 又把这两个闭区间各三等分, 去掉中间的两个开区间, 即 $\left(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right),\left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\right)$. 一般地,当进行到第 $n$ 次时,一共去掉 $2^{n-1}$ 个开区间, 剩下 $2^n$ 个长度是 $3^{-n}$的互相隔离的闭区间, 而在第 $n+1$ 次时, 再将这 $2^n$ 个闭区间各三等分, 并去掉中间的一个开区间, 如此继续下去, 就从 $[0,1]$ 去掉了可数个互不相交(而且没有公共端点) 的开区间,如图 2.1 所示. 因此由 $\S 4$ 定理 2 ,剩下的必是一个闭集 (它至少包含各邻接区间的端点及其聚点), 称它为康托尔三分集, 记为 $P$.
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让我们来考察这个闭集 $P$ 的性质.
$1^{\circ} P$ 是完备集 由于 $P$ 的邻接区间的作法, 它们中的任何两个之间根本不存在公共端点, 故 $P$ 没有孤立点, 因而 $P$ 自密, 又 $P$是闭集,因此 $P$ 是完备集.
$2^{\circ} P$ 没有内点 事实上, 在 $P$ 的作法中讲过, “去掉” 过程进行到第 $n$ 次为止时, 剩下 $2^n$ 个长度是 $3^{-n}$ 的互相隔离的闭区间, 因此任何一点 $x_0 \in P$ 必含在这 $2^n$ 个闭区间的某一个里面. 从而在 $x_0$ 的任一邻域 $U\left(x_0, 3^{-n}\right)$ 内至少有一点不属于 $P$, 但 $3^{-n} \rightarrow$ $O(n \rightarrow \infty)$, 故 $x_0$ 不可能是 $P$ 的内点.

$P$ 既然是没有内点的闭集, 那么在 (直线上) 任一开区间 $I$ 内必至少含有开集 $P^c$ 的一点, 从而 $I$ 内必至少有一子开区间, 其中不含 $P$ 的点. 我们定义凡是一个点集 $E$ (不限于 $\mathbf{R}^1$ 中), 如果具有性质: 空间任一邻域内至少包含某点的一个邻域, 其中不含 $E$ 的点, 则称 $E$ 为疏朗焦合, 或无处稠密焦合 $(E$ 是疏朗集合的特征是 $\bar{E}$ 没有内点). 因此 $P$ 是一个疏朗集合.
$3^{\circ}[0,1] \backslash P$ 是可数个互不相交的开区间，其长度之和为 1

第 $n$ 次去掉的 $2^{n-1}$ 个长度为 $\frac{1}{3^n}$ 区间, 因此 $[0,1] \backslash P$ 中互不相交的开区间的长度之和为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n}=1$. 若 $P$ 有 “长度”, 其“长度” 只能为 0 . 在下一章, 我们将定义非区间的点集的 “长度” 为测度, 因此 $P$ 的测度为零.
$4^{\circ} \mathrm{P}$ 的基数为 $c$ 若 $[0,1]$ 中的数用三进制小数表示, 第一次去掉的区间 $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ 中每个数的第一位小数都是 1 , 第二次去掉的两个区间中的每个数的第二位小数都是 1. 依此类推, 第 $n$ 次去掉的 $2^{n-1}$ 个长度为 $\frac{1}{3^n}$ 区间中的每个数的第 $n$ 位小数都是 1 , 因此所有每位小数可以仅用 0 或 2 表示的数 (即 $P$ 中的点) 是永远不会去掉的. 定义映射 $\varphi:[0,1] \rightarrow P$, 对 $x \in[0,1]$, 若 $x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}$ (二进制小数表示), 则 $\varphi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{3^2}$ (三进制小数), 其中 $b_n=\left\{\begin{array}{l}0, a_n=0, \\ 2, a_n=1 .\end{array}\right.$ 由以上分析 $\varphi(x) \in P$, 且易知 $\varphi$ 是单射. 因此 $\overline{\bar{P}} \geqslant \overline{\varphi([0,1])}=\overline{[0,1]}=c$.又 $P \subset[0,1]$, 又有 $\overline{\bar{P}} \leqslant \overline{\overline{[0,1]}}=c$, 因此 $\overline{\bar{P}}=c$.

综上所述, 我们将康托尔三分集的特点归纳为一句话: 它是一个测度为零且基数为 $c$ 的疏朗完备集.

**康托尔三分集与分形几何**
1883 年, 德国数学家康托尔构造了一个所谓 “数学怪物”三分集. 它是人类理性思维的产物, 并非某个现实原型的摹写; 尤其值得关注的是, 用传统的几何学术语言很难对它进行描述. 它既不是满足某些简单条件的点的轨迹, 也不是一个简单方程的解集.可以说,它是一种新的几何对象.

瑞典人科赫(Koch) 于 1904 年提出了著名的 “雪花” 曲线, 这种曲线的作法和康托三分集的构造, 可说是异曲同工. 它从一个正三角形开始, 把每条边分成三等份, 然后以各边的中间长度为底边. 分别向外作正三角形, 再把 “底边” 线段抹掉, 这样就得到一个六角形, 它共有 12 条边. 再把每条边三等份, 以各中间部分的长度
为底边, 向外作正三角形后, 抹掉底边线段. 反复进行这一过程, 就会得到一个“雪花”样子的曲线. 该曲线叫做科赫曲线或雪花曲线.科赫曲线有着极不寻常的特性, 不但它的周长为无限大, 而且曲线上任两点之间的线内距离也是无限大. 曲线在任何一点处都连续,但却处处“不可导” (没有确定的切线方向). 该曲线长度无限, 却包围着有限的面积, 如图 2.2 所示.

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普通几何学研究的对象,一般都具有整数的维数. 比如, 零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空. 德国的数学家豪斯多夫 (Hausdorff) 在 1918 年提出了“分数维” 的概念.又经过半个世纪的发展, 法国数学家芒德布罗 (B. Mandelbrot) 在 1975 年, 1977 年和 1982 年先后用法文和英文出版了三本书, 特别是《分形对象: 形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》 (Fractal Geometry of Nature) 的出版, 开创了新的数学分支: 分形几何学. “分形” (fractal) 这个词正是芒德布罗在 1975 年造出来的, 词根是拉丁文的 fractus, 是 “破碎” 的意思. 分形几何学是研究不规则几何图形性质的几何学. 分形具有分数的维数.
康托尔三分集是最早出现的分形。首先, 它具有 “自相似性”,即其局部与整体彼此相似。这是分形的一个重要特征。其次, 它是无穷操作或迭代的结果, 呈现出一种特别的精细结构。这种奇异的几何图形,用欧氏几何和解析几何方法难以表述.
下面,我们来介绍分形的豪斯多夫维数。假设我们把分形图形分成 $N$ 个相等的部分, 每一部分在线性尺度上都是原来图形的 $\frac{1}{m}$, 那么这个图形的维数就是 $\log N / \log m$ 。现在我们用这个定义康托尔三分集是最早出现的分形。首先, 它具有 “自相似性”,即其局部与整体彼此相似。这是分形的一个重要特征。其次, 它是无穷操作或迭代的结果, 呈现出一种特别的精细结构。这种奇异的几何图形,用欧氏几何和解析几何方法难以表述.
下面,我们来介绍分形的豪斯多夫维数。假设我们把分形图形分成 $N$ 个相等的部分, 每一部分在线性尺度上都是原来图形的 $\frac{1}{m}$, 那么这个图形的维数就是 $\log N / \log m$ 。现在我们用这个定义
进行一些简单的计算。
(1) 康托尔三分集的维数。
把 $[0,1]$ 中的康托尔三分集分成两部分: $\left[0, \frac{1}{3}\right],\left[\frac{2}{3}, 1\right]$, 而每一部分还是原来的三分之一, 所以有 $N=2, m=3$, 按照公式计算出来的维数是

$$
\log 2 / \log 3=0.63 .
$$

这个维数表明,它介于 0 维的点和一维的线之间.
（2）科赫曲线的维数.
从我们构造科赫曲线的方法出发, 可以把科赫曲线分成四个部分, 而每一部分都是原来的 $\frac{1}{3}$ 大, 所以 $N=4, m=3$, 那么科赫曲线的维数就是 $\log 4 / \log 3=1.26$. 科赫曲线是一条团挤在一起的图形, 比一维的线段的维数要高, 但是达不到平面图像的二维水平.
(3) 谢尔宾斯基 (W. Sierpinski) 地毯的维数
构造的方法是, 把一个正方形分成相等的九份, 去掉中间的一份.然后对剩下的八个小正方形照此办理, 一直到无穷, 如图 2.3 所示.

这样得到的图形的维数是 $\log 8 / \log 3=1.89$. 要注意的是, 在这里虽然每个小正方形的面积是原来的 $\frac{1}{9}$, 但是豪斯多夫维数的定义
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是看“线性”尺度, 即限于比较“边长” 的缩放程度. 我们看到, “边长” 只缩小了 $\frac{1}{3}$, 所以 $m=3$. 如果我们穿过正方形的中心用一条水平的直线来截这块地毯, 就可以发现截出来的“断面”正好是康托尔三分集.

## 托尔三分集
（Cantor）三分集，它对澄清后面的许多概念有重要意义，而在这里可借此对本节的基本内容作一次总的复习．

它的构造过程是：第一步，将区间 $[0,1]$ 三等分，移去中央的开区间

$$
I_1=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right),
$$

把剩下的两个闭区间的并记为 $F_1$ ：

$$
F_1=[0,1] \backslash I_1 .
$$

第二步，把剩下的 $F_1$ 中的二个闭区间分别三等分，并移去中央的开区间

$$
I_2=\left(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right) \cup\left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\right)
$$

把 $F_1$ 中剩下的 4 个闭区间的并记为 $F_2$ ：

$$
F_2=[0,1] \backslash\left(I_1 \cup I_2\right),
$$

第三步，重复上述手续，把 $F_2$ 的四个闭区间分别三等分，去掉中央的开区间

$$
I_3=\left(\frac{1}{27}, \frac{2}{27}\right) \cup\left(\frac{7}{27}, \frac{8}{27}\right) \cup\left(\frac{19}{27}, \frac{20}{27}\right) \cup\left(\frac{25}{27}, \frac{26}{27}\right),
$$

把剩下的 8 个闭区间的并记为 $F_3$ ：

$$
F_3=[0,1] \backslash\left(I_1 \cup I_2 \cup I_3\right) .
$$

如此继续下去，第 $k$ 步去掉 $2^{k-1}$ 个长度为 $1 / 3^k$ 的开区间，它们的并记为 $I_k$ ，剩下来的 $2^k$ 个长度为 $1 / 3^k$ 的闭区间的并记为 $F_k$ ．作点集

$$
C=\bigcap_{k=1}^{\infty} F_k=[0,1] \backslash\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k\right),
$$

称为 Cantor 三分集．
Cantor（三分）集的主要性质有：
（i）$C$ 是非空闭集．
非空是因为每次留下的闭区间的端点必属于 $C$ ，例如 $1 / 3 \in C$ ．它是闭集是因为 $\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k$ 是开集．
（ii）$C=C^{\prime}(C$ 与它的全部聚点组成的集合相等，这种点集称为完全集）．
对任意 $x \in C$ ，要证 $x$ 是 $C$ 的聚点．给定 $x$ 的任一邻域 $(x-\delta, x+\delta)$ ，由 $x \in F_k\left(\forall k \in N _{+}\right)$，而 $F_k$ 是由 $2^k$ 个长度为 $1 / 3^k$ 的闭区间组成，故只要 $k$ 充分大，其中含 $x$ 的那一个闭区间必落人 $(x-\delta, x+\delta)$ 中，而此区间的两个端点必属于 $C$ ，这二者之一必不是 $x$ ，即 $x$ 的任一邻域 $(x-\delta, x+\delta)$ 中必有 $C$ 中异于 $x$ 的点，从而知 $x$ 为 $C$ 的聚点．
（iii）$C$ 无内点．
$C$ 是从 $[0,1]$ 去掉可数个互不相交的开区间 $I_k(k=1,2, \cdots)$ 得到的，而这些开区间的总长为

$$
\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{4}{3^3}+\cdots+\frac{2^{k-1}}{3^k}+\cdots=\frac{1}{3} \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k=1
$$

正好等于 $[0,1]$ 的长度，因此 $C$ 内不可能包含任意一个开区间 $\left(x_0-\delta, x_0+\right.$ $\delta)(\delta>0)$ ．
（iv）$C$ 的基数为连续统基数 $X$ ，即 $\overline{\bar{C}}=2^{ K _{ o }}$ 。
若用三进位小数表示 $[0,1]$ 中的实数：

$$
x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{3^k}, \quad a_k=0,1,2,
$$

则 $x \in C$ 的充分必要条件是

$$
x=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{3^k}, \quad a_k=0,2
$$

对任意这样的 $x$（ $C$ 中任意一点），令

$$
A=\left\{k \mid a_k=0\right\}
$$

则 $A$ 是 $N _{+}$的一子集，显然对应关系 $x \rightarrow A$ 构成了 $C$ 到 $P \left( N _{+}\right)$的一一映射，故 $\overline{\bar{C}}=\overline{\overline{ P }\left( N _{+}\right)}=2^{{ }^{x_0} .}$

不妨想像一下 $C$ 是什么样子．首先，它不含任何开区间，这一点有些像有理点集 $Q$ ，但是，$[0,1]$ 的每一点都是 $Q$ 的聚点，而 $C$ 的聚点却只在 $C$ 内．$C$ 是由 $[0,1]$ 去掉总长为 1 的一些区间形成的，应该＂所剩无几＂；可是，它的基数是 $\kappa$ ，从一一对应这个角度看，它的点的数量又应该与实数一样多．总而言之，这个点集实在是性质奇特难以想像．

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