最后更新: 2025-01-10 07:48 查看: 564 次反馈刷题

古典概率模型

## 古典概率模型
随机事件发生的可能性的大小常用区间 $[0,1]$ 中的数值加以刻划. 这个数值称为概率，记为 $P(A)$. 规定:

$$
P(\Omega)=1 ; \quad P(\phi)=0 ; \quad 0 \leq P(A) \leq 1
$$

### 古典概型满足两个条件:
A 随机试验的样本空间只有有限个样本点；
B 每次试验中各个样本点发生的可能性相等.

比如投掷骰子，出现点数只有$1,2,3,4,5,6$ 六种情况，而且每种情况的可能性是一样的。

记 $n$ 为样本点总数, $n_A$ 为事件 $A$ 所包含的样本点个数，则事件 $A$ 的概率为

$$
P(A)=\frac{A \text { 中所含 样本点的个数 }}{\Omega \text { 中所含样 本点的个数 }}=\frac{n_A}{n}
$$

## 组合数学
排列与组合都是计算 "从 $n$ 个元素中任取 $r$ 个元素" 的取法总数公式, 其主要区别在于：如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式。而所谓讲究元素间的次序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次序的，因为"甲右乙左"与"乙右甲左"是两件事。

排列与组合公式的推导都基于如下两条计数原理:
### 1. 乘法原理

如果某件事需经 $k$ 个步骤才能完成，做第一步有 $m_1$ 种方法，做第二步有 $m_2$ 种方法， $\cdots \cdots$ ，做第 $k$ 步有 $m_k$ 种方法，那么完成这件事共有 $m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k$ 种方法。

辟如, 由甲城到乙城有 3 条旅游线路, 由乙城到丙城有 2 条旅游线路, 那么从甲城经乙城去丙城共有 $3 \times 2=6$ 条旅游线路。
### 2. 加法原理

如果某件事可由 $k$ 类不同途径之一去完成，在第一类途径中有 $m_1$ 种完成方法，在第二类途径中有 $m_2$ 种完成方法， $\cdots \cdots$ ，在第 $k$ 类途径中有 $m_k$ 种完成方法，那么完成这件事共有 $m_1+m_2+\cdots+m_k$ 种方法。

譬如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具：汽车、火车和飞机。而汽车有 8 个班次，火车有 5 个班次，飞机有 3 个班次，那么从甲城到乙城共有 $8+5+3=16$ 个班次供旅游者选择.

排列与组合的定义及其计算公式如下.
### 1. 排列

从 $n$ 个不同元素中任取 $r(r \leqslant n)$ 个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列, 此种排列的总数记为 $P _n^{\prime}$ 。按乘法原理, 取出的第一个元素有 $n$ 种取法, 取出的第二个元素有 $n-1$ 种取法, $\cdots \cdots$, 取出的第 $r$ 个元素有 $n-r+1$ 种取法, 所以有
$$
P_n^r=n \times(n-1) \times \cdots \times(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!} .
$$

若 $r=n$, 则称为全排列, 记为 $P _n$. 显然, 全排列 $P _n=n!$.
### 2. 重复排列

从 $n$ 个不同元素中每次取出一个, 放回后再取下一个, 如此连续取 $r$ 次所得的排列称为重复排列, 此种重复排列数共有 $n^r$ 个. 注意: 这里的 $r$ 允许大于 $n$.
### 3. 组合

> 在排列组合里，有美（美国）式记法和苏（苏联）式记法, $\binom{n}{r}$是美式记法，而 $\mathrm{C}_n^r$是苏式记法，请注意细微区别。

从 $n$ 个不同元素中任取 $r(r \leqslant n)$ 个元素并成一组（不考虑元素间的先后次序），称此为一个组合, 此种组合的总数记为 $\binom{n}{r}$ 或 $C _n^r$. 按乘法原理此种组合的总数为

$$
\binom{n}{r}=\frac{P_n^r}{r!}=\frac{n(n-1) \cdots(n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} .
$$

在此规定 $0!=1$ 与 $\binom{n}{0}=1$. 组合具有性质:

$$
\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}
$$

对于高中部排列组合，请点击[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=202)

古典概率是比较重要的一种概率，本章子节将介绍常见的古典概率模型。

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