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概率论与数理统计
第一篇 随机事件与概率
概率的定义及其性质
日期:
2023-10-01 11:28
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概率的定义及其性质
给定一个随机试验, $\Omega$ 为相应的样本空间,对每一个事件 $A$ ,规定一个实数 $P(A)$ 与之对应,且满足如下公理: 公理1 非负性 $\quad P(A) \geq 0$; 公理2 规范性 $\quad P(\Omega)=1$; 公理3 可列可加性 即对任意一列两两互不相容事件 $A_1,A_2...A_n$有 $P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \cup \cdots\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_i\right)$, 则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率. 由概率的三条公理,可以推导出概率的一些性质. 性质1 $P(\phi)=0$ 性质2 有限可加性 设 $A_1, A_2 \ldots A_n \cdots$ 为两两互不相容事件,则有 $$ P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) $$ 性质3 对任意事件 $A$ 有 $P(\bar{A})=1-P(A)$, 性质4 若 $A \subset B$ 则 $$ P(B-A)=P(B)-P(A) . $$ 性质 5 设 $A, B$ 为任意两个事件,则 $$ P(A-B)=P(A)-P(A B) . $$ 性质6 设 $A, B$ 为任意两个事件,则 $$ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B) . $$ 性质7 称为加法公式,该公式可以推广到多个事件上. 三个事件的加法公式为: $$ \begin{aligned} & P(A \mathrm{U} B \mathrm{U} C) \\ & \quad=P(A)+P(B)+P(C) \\ & \quad-P(A B)-P(A C)-P(B C)+P(A B C) . \end{aligned} $$ 例 4 已知三个随机事件 $A, B, C$ 满足 $$ \begin{aligned} & P(A)=0.2, P(B)=0.3, P(C)=0.4, P(A B)=0 \\ & P(B C)=P(A C)=0.1 \end{aligned} $$ 则, $A, B, C$ 至少发生一个的概率是多少?
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