概率的定义及其性质

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 27 次更新导出Word

给定一个随机试验， $\Omega$ 为相应的样本空间，对每一个事件 $A$ ，规定一个实数 $P(A)$ 与之对应，且满足如下公理:
公理1 非负性 $\quad P(A) \geq 0$;
公理2 规范性 $\quad P(\Omega)=1$;
公理3  可列可加性      即对任意一列两两互不相容事件 $A_1,A_2...A_n$有 $P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \cup \cdots\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_i\right)$,
则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率.

由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.
性质1 $P(\phi)=0$
性质2 有限可加性
设 $A_1, A_2 \ldots A_n \cdots$ 为两两互不相容事件，则有

$$
P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right)
$$

性质3 对任意事件 $A$ 有 $P(\bar{A})=1-P(A)$,
性质4 若 $A \subset B$ 则

$$
P(B-A)=P(B)-P(A) .
$$

性质 5 设 $A, B$ 为任意两个事件，则

$$
P(A-B)=P(A)-P(A B) .
$$

性质6 设 $A, B$ 为任意两个事件，则

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B) .
$$

性质7 称为加法公式，该公式可以推广到多个事件上. 三个事件的加法公式为:

$$
\begin{aligned}
& P(A \mathrm{U} B \mathrm{U} C) \\
& \quad=P(A)+P(B)+P(C) \\
& \quad-P(A B)-P(A C)-P(B C)+P(A B C) .
\end{aligned}
$$

例 4
已知三个随机事件 $A, B, C$ 满足

$$
\begin{aligned}
& P(A)=0.2, P(B)=0.3, P(C)=0.4, P(A B)=0 \\
& P(B C)=P(A C)=0.1
\end{aligned}
$$

则， $A, B, C$ 至少发生一个的概率是多少?

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