最后更新: 2025-07-20 06:07 查看: 747 次反馈同步训练

向量空间的基、维数与坐标

## 向量空间的基、维数与坐标

>一句话就可以说明白：要测量空间里的一个点，需要有一个尺子，这个尺子就是坐标系，也就是“基”，这个点有一个值，就是坐标值，而组成基的向量个数就是维数。

**定义1** 在线性空间 $V$ 中，如果存在 $n$ 个元素 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 满足
(i) $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关；
(ii) $v$ 中任一元素 $\alpha$ 总可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，
那么， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 就称为线性空间 $V$ 的一个基， $n$ 称为线性空间 $V$ 的维数，记作 $\operatorname{dim} V=n$ 。
只含一个零元素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 $0 . n$ 维线性空间 $V$ 也记作 $V_n$.
对于 $n$ 维线性空间 $V_n$ ，如果已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $V_n$ 的一个基，则 $V_n$ 是由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 所生成的线
性空间，即

$$
V_n=\left\{\boldsymbol{\alpha}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n \mid x_1, x_2, \cdots, x_n \in \square\right\},
$$

这就较清楚地显示出线性空间 $V_n$ 的构造.

`例`向量组 $e _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), e _2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \cdots, e _n=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right) \quad$ 就是 $R ^n$ 的一个基,

>如果 $n$ 元齐次线性方程组 $A x =0$ 的系数矩阵的秩 $R(A)=r$ ，它的基础解系为 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ ，则 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 就是解空间 $S$ 的基，解空间 $S$ 的维数为 $\operatorname{dim}(S)=n-r=n-R( A )$.

向量空间
$L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)=\left\{ \alpha =k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s \mid k_1, k_2, \cdots, k_s \in R \right\}$ 与向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 等价，
**因此向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的极大无关组就是向量空间 $L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)$ 的基，**
向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的秩就是向量空间 $L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)$ 的维数.

### 命题1
如果 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则 $V$ 中任一向量 $\beta$ 均可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 唯一线性表示.
证明 由基的定义可知， $V$ 中任一向量 $\beta$ 均可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示.
下面证明表示式是唯一的.
设存在数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 及 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_r$ ，
使得 $\boldsymbol{\beta}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_r \boldsymbol{\alpha}$. 以及 $\boldsymbol{\beta}=\mu_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\mu_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\mu_r \boldsymbol{\alpha}_r$,
两式相减得 $\quad \mathbf{0}=\left(\lambda_1-\mu_1\right) \boldsymbol{\alpha}_1+\left(\lambda_2-\mu_2\right) \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\left(\lambda_r-\mu_r\right) \boldsymbol{\alpha}_r$.
由基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关可得 $\lambda_1=\mu_1, \lambda_2=\mu_2, \cdots, \lambda_r=\mu_r$,
因此向量 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 唯一的线性表示.

### 坐标的定义
设 $\alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha$, 是向量空间 $V$ 的一个基，如果 $V$ 中任一向量 $\beta$ 可唯一线性表示为

$$
\boldsymbol{\beta}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_r \boldsymbol{\alpha},
$$

则称常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 为向量 $\beta$ 在基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 下的坐标.
取 $\mathbf{R}^n$ 的一个基为 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ ，则 $\mathbf{R}^n$ 中任一向量

$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)
$$

在基 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n$ 下的坐标就是向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的 $n$ 个分量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$.

`例` 验证 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \alpha _3=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -3\end{array}\right)$ 是 $R ^3$ 的一个基，并求向量 $\beta=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 6\end{array}\right)$ 在这组基下的坐标.
解： 要验证 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 $R ^3$ 的一组基，只要验证 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关，也就是只要验证 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) \sim E$ 即可.
设 $\beta$ 在这组基下的坐标为 $x_1, x_2, x_3$ ，即 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right)\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)= \beta$ ，记作 $A x = \beta$ 。
对矩阵 $( A \mid \beta )$ 作行初等变换，若 $A$ 能变成 $E$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R ^3$ 的一组基，且当 $A$ 变成 $E$ 时， $\beta$ 变成了 $x=A^{-1} \beta$.

$$
( A \mid \beta )=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -3 & 6
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & -2 & 4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right) .
$$

因为 $A=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) \sim E$ ，所以 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 $R ^3$ 的一个基，且向量 $\beta =\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 6\end{array}\right)$ 在这组基下的坐标为 $\left(\begin{array}{c}7 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)$.

`例` 所有二阶实方阵构成的实线性空间 $R ^{2 \times 2}$ 中，令

$$
E _{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad E _{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad E _{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad E _{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
$$

试证明 $E _{11}, E _{12}, E _{21}, E _{22}$ 是 $R ^{2 \times 2}$ 的一组基，并求

$$
\eta =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) \in R ^{2 \times 2}
$$

在基 $E _{11}, E _{12}, E

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