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向量空间的基、维数与坐标

## 向量空间的基、维数与坐标
**定义1** 在线性空间 $V$ 中，如果存在 $n$ 个元素 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 满足
(i) $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关；
(ii) $v$ 中任一元素 $\alpha$ 总可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，
那么， $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 就称为线性空间 $V$ 的一个基， $n$ 称为线性空间 $V$ 的维数，记作 $\operatorname{dim} V=n$ 。
只含一个零元素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 $0 . n$ 维线性空间 $V$ 也记作 $V_n$.
对于 $n$ 维线性空间 $V_n$ ，如果已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $V_n$ 的一个基，则 $V_n$ 是由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 所生成的线
性空间，即

$$
V_n=\left\{\boldsymbol{\alpha}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n \boldsymbol{\alpha}_n \mid x_1, x_2, \cdots, x_n \in \square\right\},
$$

这就较清楚地显示出线性空间 $V_n$ 的构造.

`例`向量组 $e _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), e _2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \cdots, e _n=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right) \quad$ 就是 $R ^n$ 的一个基,

>如果 $n$ 元齐次线性方程组 $A x =0$ 的系数矩阵的秩 $R(A)=r$ ，它的基础解系为 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ ，则 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n-r}$ 就是解空间 $S$ 的基，解空间 $S$ 的维数为 $\operatorname{dim}(S)=n-r=n-R( A )$.

向量空间
$L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)=\left\{ \alpha =k_1 \alpha _1+k_2 \alpha _2+\cdots+k_s \alpha _s \mid k_1, k_2, \cdots, k_s \in R \right\}$ 与向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 等价，
**因此向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的极大无关组就是向量空间 $L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)$ 的基，**
向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的秩就是向量空间 $L \left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s\right)$ 的维数.

### 命题1
如果 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则 $V$ 中任一向量 $\beta$ 均可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 唯一线性表示.
证明 由基的定义可知， $V$ 中任一向量 $\beta$ 均可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示.
下面证明表示式是唯一的.
设存在数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 及 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_r$ ，
使得 $\boldsymbol{\beta}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_r \boldsymbol{\alpha}$. 以及 $\boldsymbol{\beta}=\mu_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\mu_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\mu_r \boldsymbol{\alpha}_r$,
两式相减得 $\quad \mathbf{0}=\left(\lambda_1-\mu_1\right) \boldsymbol{\alpha}_1+\left(\lambda_2-\mu_2\right) \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\left(\lambda_r-\mu_r\right) \boldsymbol{\alpha}_r$.
由基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关可得 $\lambda_1=\mu_1, \lambda_2=\mu_2, \cdots, \lambda_r=\mu_r$,
因此向量 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 唯一的线性表示.

### 坐标的定义
设 $\alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha$, 是向量空间 $V$ 的一个基，如果 $V$ 中任一向量 $\beta$ 可唯一线性表示为

$$
\boldsymbol{\beta}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_r \boldsymbol{\alpha},
$$

则称常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 为向量 $\beta$ 在基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 下的坐标.
取 $\mathbf{R}^n$ 的一个基为 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ ，则 $\mathbf{R}^n$ 中任一向量

$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)
$$

在基 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n$ 下的坐标就是向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的 $n$ 个分量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$.

`例` 验证 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \alpha _3=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -3\end{array}\right)$ 是 $R ^3$ 的一个基，并求向量 $\beta=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 6\end{array}\right)$ 在这组基下的坐标.
解： 要验证 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 $R ^3$ 的一组基，只要验证 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关，也就是只要验证 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) \sim E$ 即可.
设 $\beta$ 在这组基下的坐标为 $x_1, x_2, x_3$ ，即 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right)\left(\begin{array}{l}x_2 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)= \beta$ ，记作 $A x = \beta$ 。
对矩阵 $( A \mid \beta )$ 作行初等变换，若 $A$ 能变成 $E$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R ^3$ 的一组基，且当 $A$ 变成 $E$ 时， $\beta$ 变成了 $x=A^{-1} \beta$.

$$
( A \mid \beta )=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -3 & 6
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & -2 & 4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right) .
$$

因为 $A=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) \sim E$ ，所以 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 $R ^3$ 的一个基，且向量 $\beta =\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 6\end{array}\right)$ 在这组基下的坐标为 $\left(\begin{array}{c}7 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)$.

## 基、维数及其坐标的几何意义

在解析几何中，为了研究几何图形的变换，我们总是在一个固定的坐标系中讨论，进而把几何问题转化为代数问题。同样，在 $n$ 维空间几何中，我们也要选定一组基底来应用向量和矩阵分析的工具。

对于向量空间 $V$ 中的一个有序向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right\}$, 若满足:
- $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关;
- $V$ 中任意一个向量 $\alpha$ 都可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 线性表示, 即 $\alpha =x_1 \alpha _1+x_2 \alpha _2+\ldots+x_n \alpha _n$,那么称向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right\}$ 为向量空间 $V$ 的一个基; 称向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right\}$ 的元素个数 $n$为向量空间 $V$ 的维数; 称有序数组 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为向量 $\alpha$ 在基 $\left\{ \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right\}$ 上的坐标。

### 基的几何意义
基是向量空间的一组很 "结实" 的向量集合，每一个基向量可以像房屋地基的每一块石块，一样支撑衍生出空间中的全部向量。因此，首先一个基能代表或衍生出空间里的所有的向量，缺一不可; 其次, 作为基的每一个向量都是个顶个, 谁也不能代表谁, 它们必须线性无关, 它是一个极大无关向量组。

我们给一个向量空间找一个基，目的是为了给这个空间定一个坐标系，以方便我们定位和计算向量。一个基实际上就是选取的一个坐标系，另外一个基就是选取的一个新的坐标系。基是坐标系在线性空间中的推广。基向量对应坐标系的坐标轴，有几个基向量就有几个坐标轴， $n$维空间的一个基就需要有 $n$ 个基向量。下面我们看看 $R ^n$ 空间中的几个基的例子。

图 4-22（a）中，一维向量空间 $S$ 是一条过 0 点的直线，向量 $\alpha _1 \neq 0$ 并属于直线 $S$ ，因而可以讲 $S$ 是向量 $\alpha$ 张成的向量空间 $S=\operatorname{Span}( \alpha )$, 所以向量组 $\{ \alpha \}$ 是向量空间 $S$ 的一个基。
 ![图片](/uploads/2024-10/535f88.jpg)
 
 图 4-22 (b) 中, 如果二维向量空间 $S$ 是 $R ^3$ 中的一个平面, 且 $\alpha _1 、 \alpha _2$ 是平面 $S$ 上的任意的两个向量，其中任意一个都不是另外一个向量的倍数，因此向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ 线性无关 。平面 $S$可以看做向量 $\alpha _1 、 \alpha _2$ 张成的向量空间 $S=\operatorname{Span}\left\{ \alpha _1, \alpha _2\right\}$ ，所以向量组 $\left\{ \alpha _1, \alpha _2\right\}$ 是向量平面的一个基。
在图 4-23 中, 三维向量空间 $S$ 是 $R ^3$, 三个标准单位向量 $\left\{ e _1, e _2, e _3\right\}=:\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$,因为 $e_1 、 e_2 、 e_3$ 彼此线性无关，可以生成 $R ^3$ ，因此向量组 $\left\{e_1, e_2, e_3\right\}$ 是 $R ^3$ 的一个基。这个基的基向量是由标准单位向量组成的，因此又称为标准基。
 ![图片](/uploads/2024-10/12ef6e.jpg)
 
 ### 坐标与维数的几何意义

一个基包含的向量个数就是坐标轴的个数，也就是向量空间的维数。维数是空间的一个本质特征，它不依赖于基的选取。选取不同的基，基向量的个数不会改变，维持支撑空间的维数不会改变。这就是为何称之为 "维数" 的原因。

一个向量空间的基选定后, 其坐标是什么？如何求取？下面我们接着看看几个图示的例子。
#### 一维基及其坐标刻度
一维空间 $S$, 维数为 1 , 只需一个基向量。当选取的基为 $\{ \alpha \}$ 时, 坐标选取见图4-24（a）；当选取的新基向量 $\beta$ 为 $0.5 \alpha$ 时，坐标刻度的密度加大一倍，见图4-24（b）；当选取的新基向量 $\gamma$ 为 $\alpha \alpha$ 时，坐标轴方向也随之反转，见图4-24（c）。

显然，坐标轴的刻度是以所选基向量的长度为基本单位的。
 ![图片](/uploads/2024-10/26daf8.jpg)
 
 2) 二维基及其坐标刻度

二维空间 $S$, 维数为 2 , 需要两个基向量。当选取的基为 $\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ 时, 坐标选取见图 4-25 （a）。两个坐标轴分别与向量 $\alpha_1 、 \alpha_2$ 共线，刻度的划分是遵循向量加法的平行四边形规则；或者说，坐标网络就是由坐标轴上的基向量为基本单位作平行线所构成（注意，在这里我们不要沿袭笛卡尔坐标系的习惯，试图把空间中的一点（一个向量）向坐标轴作垂直投影）。
 ![图片](/uploads/2024-10/795296.jpg)
 
 另外, 在二维空间中, 确定基向量的顺序是必要的。在向量组的讨论中我们不强调向量组中向量们的顺序，但作为一个基的向量组就要有顺序了。显然，如果基向量的顺序进行了调整，坐标值也相应进行调整。在图 4-25（b）中，我们把图 4-25（a）的空间 $S$ 的基 $\left\{ \alpha _1, \alpha _2\right\}$ 调换了顺序成为一个新的基 $\left\{\alpha_2, \alpha_1\right\}$ ，当然空间中的坐标也变了。

另外，我们在上述的例子中也看到了基与直角坐标系的不同，两个基向量不一定垂直；在刻画坐标网络时不是直角坐标系的垂直投影，而是平行四边形坐标网络，分割一个坐标轴的坐标线是与另外一个坐标轴平行的关系。一个基向量的方向是对应坐标轴的正方向，坐标单位是基向量的长度。

#### 三维基及其坐标刻度
三维空间的一个基包含了三个线性无关的向量 $\{ \alpha , \beta , \gamma \}$ ，空间以 $\alpha , \beta , \gamma$ 为基的坐标刻画满足平行六面体法则, 见图 4-26, 向量 $(1,1,1)$ 是与原点相对应的平行六面体的对角点。
 ![图片](/uploads/2024-10/b4d7c7.jpg)
 
 
 下面对于一个三维空间中的二维子空间，我们看看它的基及其坐标是如何刻画的。
#### 三维空间的子空间的基及其向量坐标
在图 4-26的三维空间的例子中, 设向量 $a$ 的坐标是 $(1,1,0)$ 。如果我们要研究由向量组 $\{ \alpha , \beta \}$ 张成的子空间 $S=\operatorname{Span}\{ \alpha , \beta \}$, 这个二维的子空间现以向量组 $\alpha 、 \beta$ 为基, 那么向量 $a$ 在 $S$中的坐标是什么？从图 4-27 中可以看出，向量 $a$ 的新坐标是 $(1,1)$ 。
  ![图片](/uploads/2024-10/5f030c.jpg)
  总结一下: 向量 $a$ 在三维空间 $\operatorname{Span}\{ \alpha , \beta , \gamma \}$ 中的 $B$ 坐标是 $(1,1,0)$, 其中 $B =\{ \alpha , \beta , \gamma \}$; 而向量 $a$ 在二维空间 $\operatorname{Span}\{ \alpha , \beta \}$ 中的 $B$ 坐标变成了 $(1,1)$ ，其中 $B =\{ \alpha , \beta \}$ 。

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