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集合的运算
日期:
2023-08-20 20:08
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**交集** 设 $A, B$ 是两个集合，由所有属于集合 $A$ 且属于集合 $B$ 的元素所组成的集合，叫做集合 $A$ 与集合 $B$ 的交集 (intersection)，记作 $A \cap B$ $A \cap B=\{x \mid x \in A$ 且 $x \in B\}$ ，如下图阴影部分。  (1) 若两个集合 $A$ 和 $B$ 的交集为空，则说他们没有公共元素，写作: $A \cap B=\emptyset$ 。例如集合 $\{1,2\}$ 和 $\{3,4\}$ 不相交，写作 $\{1,2\} \cap\{3,4\}=\emptyset$ 。 (2)任何集合与空集的交集都是空集，即 $A \cap \emptyset=\emptyset$ 。 (3)更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 $A 、 B 、 C、 D$ 和的交集为 $A \cap B \cap C \cap D=A \cap[B \cap(C \cap D)]$ 。交集运算满足结合律，即 $A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C$ 。 在不混淆歧义的情况下， $A \cap B$ 也常写成 $A B$ 交集的性质: $$ \begin{aligned} & A \cap B \subseteq A \\ & A \cap B \subseteq B \\ & A \cap A=A \\ & A \cap \emptyset=\emptyset \\ & A \cap B=B \cap A \end{aligned} $$ **并集** 给定两个集合 $A ， B$ ，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合 $A$ 与集合 $B$ 的并集，记作 $A \cup B$ ，读作 $\mathrm{A}$ 并 $\mathrm{B}$ 。 $A \cup B=\{x \mid x \in A$ 或 $x \in B\}$ 。如下图  (1)任何集合与空集的并集都是其本身，即 $A \cup \emptyset=A$ 。 在不混淆的语义的情况下，有时候也写成 $A+B$ 并集的性质 $$ \begin{aligned} & A \cup B \supseteq A \\ & A \cup B \supseteq B \\ & A \cup A=A \\ & A \cup \emptyset=A \\ & A \cup B=B \cup A \end{aligned} $$ 若 $A \cap B=A$ ，则 $A \in B$ ，反之也成立； 若 $A \cup B=B$ ，则 $A \in B$ ，反之也成立 若 $x \in(A \cap B)$ 则 $x \in A$ 且 $x \in B$ 若 $x \in(A \cup B)$ ，则 $x \in A$ ，或 $x \in B$ 。 **补集** 补集一般指绝对补集，即一般地，设 $S$ 是一个集合， $A$ 是 $S$ 的一个子集，由 $S$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合，叫做子集 $A$ 在 $S$ 中的绝对补集。在集合论和数学的其他 分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。 相对补集 若 $A$ 和 $B$ 是集合，则 $A$ 在 $B$ 中的相对补集是这样一个集合: 其元素属于 $B$ 但不属于 $A$ ， $B-A=\{x \mid x \in B$ H $x \notin A\}$ 如下图  在不引起歧义的情况下， $A, B$ 的补集也可以写成 $A-B$ 绝对补集 若给定全集 $U$ ，有 $A \subseteq U$ ，则 $A$ 在 $U$ 中的相对补集称为 $A$ 的绝对补集（或简称补集），写 作 $C_U \mathrm{~A}$ 补集符号 $C_U A$ 有三层含义: (1) $A$ 是 $U$ 的一个子集，即 $A \subseteq U$ (2) $C \cup A$ 表示一个集合，且 $C_u A \subseteq U$ ； (3) $C_U A$ 是由 $U$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合， $C_U A$ 与 $A$ 没有公共元素， $U$ 中的元素分布在这两个集合中。  $$ \begin{aligned} & A \cap C_u A=\varnothing \\ & A \cup C_u A=U \end{aligned} $$ **集合的逆** 如果 $A \cup B=S$ 且 $A \cap B=\phi$, 则 $\bar{A}=S-A$ 集合的性质 交换律: $A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A$ 结合律: $A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C$ $A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C$ 分配率: $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$ $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ 德摩根律 $\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$ $ \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B} $ **典型列题：** 化简下面两个集合。 1） $ (A+B)-B=A $ 2） $ (A-B)+B=A $ 答：画维恩图可以解决集合运算。第1问， A+B表示的是A和B的并集，再减去B得到的是 AB，即 $ (A+B)-B=AB$  同理 $(A-B)+B$ 中，$A-B$表示$AB$差集，再加$B$表示并上$B$，所以其值为 $A+B$ 即 $ (A-B)+B=A+B $ 从上面运算可以看到，集合的运算在集合论不是传统的代数式运算，不过，在高中阶段，基本上不会采用上面的写法，但是在概率论的事件里，会使用上面的计法。 **例题1** 1.设全集 $U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, 集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{-3,0,2,3\}$, 则 $A \cap\left(C_V B\right)=$ A. $\{-3,3\}$ B. $\{0,2\}$ C. $\{-1,1\}$ D. $\{-3,-2,-1,1,3\}$ 【答案】C 【解析】由题意结合补集的定义可知 $\complement_V B=\{-2,-1,1\}$, 则 $A \cap\left(\complement_U B\right)=\{-1,1\}$.故选 C. **例题2** 设集合 $A=\left\{x \mid x^2-4 \leq 0\right\}, B=\{x \mid 2 x+a \leq 0\}$, 且 $A \cap B=\{x \mid-2 \leq x \leq 1\}$, 则 $a=$ A. $-4$ B. $-2$ C. 2 D. 4 【答案】B 求解二次不等式 $x^2-4 \leq 0$ 可得 $A=\{x \mid-2 \leq x \leq 2\}$, 求解一次不等式 $2 x+a \leq 0$ 可得 $B=\left\{x \mid x \leq-\frac{a}{2}\right\}$. 由于 $A \cap B=\{x \mid-2 \leq x \leq 1\}$, 故 $-\frac{a}{2}=1$, 解得 $a=-2$. 故选 B.
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