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第三篇 向量空间
基变换与坐标变换
最后更新:
2023-10-01 11:28
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基变换与坐标变换
定义 6 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两个基，存在系数矩阵 $P_{n x n}$ ，使得 $$ \left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) P \text {, } $$ 矩阵 $\boldsymbol{P}_{n \times n}$ 称为从基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵. 显然，从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵 $P_{n \times n}$ 是可逆矩阵.  记 $P=A^{-1} B$ ， 则矩阵 $P$ 就是从基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵. $$ (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})=\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 3 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right), $$ 因此， $$ \boldsymbol{P}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right) $$  
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