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线性代数
第三篇 向量空间
基变换与坐标变换(过渡矩阵)
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2025-01-04 17:25
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基变换与坐标变换(过渡矩阵)
## 基变换与坐标变换 **定义** 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两个基,存在系数矩阵 $P_{n \times n}$ ,使得 $$ \left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) P \text {, } $$ 矩阵 $\boldsymbol{P}_{n \times n}$ 称为从基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵. 显然,从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵 $P_{n \times n}$ 是可逆矩阵. `例` 取定 $R ^3$ 中两组基 $\alpha _1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \alpha _2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\beta _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \beta _3=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$, 求从基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵 $P$. 解 记矩阵 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) , B =\left( \beta _1, \beta _2, \beta _3\right)$ ,则从自然基 $e _1, e _2, e _3$ 到基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 的过渡矩阵就是 $A$ , 从基 $e _1, e _2, e _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵就是 $B$. 于是有: $\left( \beta _1, \beta _2, \beta _3\right)=\left( e _1, e _2, e _3\right) B =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) A ^{-1} B$. 记 $P=A^{-1} B$ , 则矩阵 $P$ 就是从基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵. $$ (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})=\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 3 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right), $$ 因此, $$ \boldsymbol{P}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right) $$ `例`已知向量$\alpha \in R^3$ 在基 $$ \alpha _1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \alpha _2=\binom{1}{0}, \alpha _2=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \text { 下的坐标是 }\binom{8}{1} \text {, 求 } \alpha \text { 在基 } \beta =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right), \beta =\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \text { 下的坐标. } $$ 设 $\alpha$ 在基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, y_3\right)^{ T }$ ,从基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵为 $P=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 2\end{array}\right)$ , 易求得 $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)$, 于是 $\begin{array}{l}\left(\begin{array}{l}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{array}\right)= P ^{-1}\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}8 \\ -2 \\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) .\end{array}$ ## 基变换的几何意义 #### 基变换及坐标变换的图解 在直角平面坐标系(实际上为单位正交基 $i , j$ )的空间中,有两个向量 $\alpha =(2,1)$ 和 $\beta =(1,4)$ ,如图 4-28(a)所示。这两个向量线性无关(不成倍数关系),让它们构成平面空间一对新基。有另外一个向量 $\gamma=(7,7)$, 则可以把它拼凑为这两个新基的线性组合(而且组合是唯一的): $$ \gamma=3 \alpha+\beta $$ 那么, 向量 $\gamma$ 相对于基 $\alpha , \beta$ 的坐标向量为 $(3,1)$ 。 ![图片](/uploads/2024-10/f944c3.jpg) 图 4-28 (a) 为原坐标系下的三个向量, 向量 $\gamma$ 可以通过扩张 $\alpha$ 到三倍, 并与 $\beta$ 合并而成;图4-28(b)为重新划分的坐标网络,可以看出,向量 $\gamma$ 在新网络下的坐标值确实是 $(3,1)$ 。 #### 基变换及坐标变换的公式 前面的讨论告诉我们,在一个 $n$ 维的线性空间中,可以取不同的 $n$ 元素无关向量组作为基。那么这个线性空间的任意两个基之间必有关联,这个关联是什么?还有,一个向量 $a$ 在一个确定的基下有一个确定的坐标,这个向量在不同的基下有不同的坐标。第二个问题是,任意两个基上的坐标之间有什么关联? 一个 $n$ 维线性空间 $V, \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 是 $V$ 的两个基。先将 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 作为空间的基, 那么向量组 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 线性表示为 $$ \begin{aligned} &\begin{gathered} \beta _1=a_{11} \alpha _1+a_{12} \alpha _2+\cdots+a_{1 n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1 n} \end{array}\right)=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha _1 \\ \alpha _2 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{array}\right) \\ \beta _2=a_{21} \alpha _1+a_{22} \alpha _2+\cdots+a_{2 n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c} a_{21} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{2 n} \end{array}\right)=\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha _1 \\ \alpha _2 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{array}\right) \\ \vdots \\ \beta _n=a_{n 1} \alpha _1+a_{n 2} \alpha _2+\cdots+a_{n n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c} a_{n 1} \\ a_{n 2} \\ \vdots \\ a_{n n} \end{array}\right)=\left(a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots, a_{n n}\right)\left(\begin{array}{c} \alpha _1 \\ \alpha _2 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{array}\right) \end{gathered}\\ &\text { 将以上 } n \text { 个表示式合并为 }\\ &\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n 2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right] ...(4.1) \end{aligned} $$ 或者 $$ \left(\begin{array}{c} \beta _1 \\ \beta _2 \\ \vdots \\ \beta _n \end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right]\left(\begin{array}{c} \alpha _1 \\ \alpha _2 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{array}\right) ...(4.2) $$ 式(4-1)或式(4-2)称为由基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 的基变换公式,其中,矩阵 $P =$ 注意两点: 注意两点: (1) $P$ 和 $P ^{\prime}$ 互为转置矩阵,这取决于你将基向量 $\alpha _i$ 和 $\beta _i$ 看做是行向量还是列向量; (2)过渡矩阵 $P$ 的列向量和 $P ^{\prime}$ 的行向量分别是 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上的坐标 (按序排列成矩阵), 换句话说, 把 $\beta _i$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上的坐标一列列地排列而成过渡矩阵 $P$ 。 以上得到的矩阵 $P$ 和 $P ^{\prime}$ 给出了第一个问题的答案, 就是线性空间的两个基之间是可以互相转换或变换的, 变换的矩阵称为过渡矩阵。下面我们看看一个向量的坐标的转换是什么? 设向量 $a$ 在两个基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 下的坐标分别是 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 和 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$, 则向量 $a$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上表示为 $$ a =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\left(\begin{array}{c} a _1 \\ a _2 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{array}\right)=\left( a _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) ...(4.3) $$ 同时, 向量 $a$ 在基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 上表示为 $$ a =\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)\left(\begin{array}{c} \beta _1 \\ \beta _2 \\ \vdots \\ \beta _n \end{array}\right)=\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)\left(\begin{array}{c} x_1^{\prime} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n^{\prime} \end{array}\right) ...(4.4) $$ 把前面的基变换公式(4-2)和公式(4-1)代入式(4-4)得到 $$ a =\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right) P ^{\prime}\left(\begin{array}{c} \alpha _1 \\ \alpha _2 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{array}\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) P \left(\begin{array}{c} x_1^{\prime} \\ x_2^{\prime} \\ \vdots \\ x_n^{\prime} \end{array}\right) ...(4.5) $$ 因为一个向量在同一个基下的坐标是唯一的, 所以, 对比式(4-5)和式(4-3)中的坐标部分,得到 $$ \left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right) P^{\prime} ...(4.6) $$ 或 $$ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)= P \left(\begin{array}{c} x_1^{\prime} \\ x_2^{\prime} \\ \vdots \\ x_n^{\prime} \end{array}\right) ...(4.7) $$ 至此,我们得到了坐标转换的公式。 假设已知坐标 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$ ,直接使用式(4-7)即得到新基下的坐标 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 。反之,如果已知 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 求 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$ ,即公式 $$ \left(\begin{array}{c} x_1^{\prime} \\ x_2^{\prime} \\ \vdots \\ x_n^{\prime} \end{array}\right)= P ^{-1}\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) ...(4.8) $$ 在上述推导中,一并给出了行向量和列向量的情形。不过大多教材只处理列向量的情形,我们以后也只处理列向量, 或把向量统统默认为列向量。 >基过渡矩阵和向量转换矩阵请注意一个容易搞错的地方:在列向量的习惯下,由旧基矩阵计算得到新基矩阵的变换矩阵是基过渡矩阵或转换矩阵 $P$ ,公式为式(4-1),右乘旧基矩阵;而任一个向量由其㥵坐标计算新坐标的公式是式(4-8),其向量坐标的转换矩阵是 $P ^{-1}$ 左乘向量,用的是基过渡矨阵的逆阵。 下面我们举例说明具体的基过渡矩阵和坐标转换计算。 如图 4-29 所示,二维平面空间的一组基为 $a _1 、 \alpha _2$ (没有具体值),平面有一向量 $a$ ,由图知 $a =(-2,2)^{ T }$ 。我们再取一组基 $\beta _1 、 \beta _2$, 新基在原来基 $\alpha _1$ 、 $\alpha _2$ 上的坐标分别是 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)^{ T }$, $(-1,-1)^{ T }$ 。把它们按顺序排列起来,得到了由基 $\alpha _1 、 \alpha _2$ 过渡到基 $\beta _1 、 \beta _2$ 的过渡矩阵为 $$ P =\left[\begin{array}{c:c} -\frac{1}{2} & -1 \\ \frac{3}{2} & -1 \end{array}\right] $$ ![图片](/uploads/2024-10/701b44.jpg) 过渡矩阵也可以由列出的基的表示式方程组得到。把 $\beta _1=-\frac{1}{2} \alpha _1+\frac{3}{2} \alpha _2, \beta _2=- \alpha _1- \alpha _2$ 按列向量排列即可析出过渡矩阵 $$ \left( \beta _1, \beta _2\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2\right)\left[\begin{array}{rr} -\frac{1}{2} & -1 \\ \frac{3}{2} & -1 \end{array}\right] $$ 过渡矩阵对不对,我们验证一下。用过渡矩阵求向量 $a =(-2,2)^{ T }$ 在新基 $\beta _1, \beta _2$ 上的坐标,用坐标转换公式: $$ \binom{x_1^{\prime}}{x_2^{\prime}}= P ^{-1}\binom{x_1}{x_2}=\left[\begin{array}{rr} -\frac{1}{2} & -1 \\ \frac{3}{2} & -1 \end{array}\right]^{-1}\binom{-2}{2}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right]\binom{-2}{2}=\binom{2}{1} $$ 看看图 4-29, 向量 $a$ 在基 $\beta _1 、 \beta _2$ 的坐标网络中的坐标正是 $\binom{2}{1}$ ,过渡矩阵和坐标转换公式得到验证。 更详细请参考[矩阵的等价相似与合同](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)
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