最后更新: 2025-01-04 17:25 ● 参与者查看: 349 次纠错分享参与项目词条搜索

基变换与坐标变换(过渡矩阵)

## 基变换与坐标变换
**定义** 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两个基，存在系数矩阵 $P_{n \times n}$ ，使得

$$
\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) P \text {, }
$$

矩阵 $\boldsymbol{P}_{n \times n}$ 称为从基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵.
显然，从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵 $P_{n \times n}$ 是可逆矩阵.

`例` 取定 $R ^3$ 中两组基 $\alpha _1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \alpha _2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\beta _1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \beta _3=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$, 求从基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵 $P$.

解 记矩阵 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) ， B =\left( \beta _1, \beta _2, \beta _3\right)$ ，则从自然基 $e _1, e _2, e _3$ 到基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 的过渡矩阵就是 $A$ ，
从基 $e _1, e _2, e _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵就是 $B$.
于是有:
$\left( \beta _1, \beta _2, \beta _3\right)=\left( e _1, e _2, e _3\right) B =\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) A ^{-1} B$.
 
记 $P=A^{-1} B$ ， 则矩阵 $P$ 就是从基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵.

$$
(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})=\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -2 & 3 & 1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2
\end{array}\right),
$$

因此，

$$
\boldsymbol{P}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right)
$$

`例`已知向量$\alpha \in R^3$ 在基 
$$
 \alpha _1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \alpha _2=\binom{1}{0}, \alpha _2=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right) \text { 下的坐标是 }\binom{8}{1} \text {, 求 } \alpha \text { 在基 } \beta =\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-2
\end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
-2 \\
3
\end{array}\right), \beta =\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
1
\end{array}\right) \text { 下的坐标. }
$$

设 $\alpha$ 在基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, y_3\right)^{ T }$ ，从基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 的过渡矩阵为 $P=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，
易求得 $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)$,

于是 $\begin{array}{l}\left(\begin{array}{l}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{array}\right)= P ^{-1}\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}8 \\ -2 \\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) .\end{array}$

## 基变换的几何意义

#### 基变换及坐标变换的图解

在直角平面坐标系（实际上为单位正交基 $i , j$ ）的空间中，有两个向量 $\alpha =(2,1)$ 和 $\beta =(1,4)$ ，如图 4-28（a）所示。这两个向量线性无关（不成倍数关系），让它们构成平面空间一对新基。有另外一个向量 $\gamma=(7,7)$, 则可以把它拼凑为这两个新基的线性组合（而且组合是唯一的）:

$$
\gamma=3 \alpha+\beta
$$

那么, 向量 $\gamma$ 相对于基 $\alpha , \beta$ 的坐标向量为 $(3,1)$ 。
 ![图片](/uploads/2024-10/f944c3.jpg)
 
 
 图 4-28 (a) 为原坐标系下的三个向量, 向量 $\gamma$ 可以通过扩张 $\alpha$ 到三倍, 并与 $\beta$ 合并而成;图4-28（b）为重新划分的坐标网络，可以看出，向量 $\gamma$ 在新网络下的坐标值确实是 $(3,1)$ 。
#### 基变换及坐标变换的公式

前面的讨论告诉我们，在一个 $n$ 维的线性空间中，可以取不同的 $n$ 元素无关向量组作为基。那么这个线性空间的任意两个基之间必有关联，这个关联是什么？还有，一个向量 $a$ 在一个确定的基下有一个确定的坐标，这个向量在不同的基下有不同的坐标。第二个问题是，任意两个基上的坐标之间有什么关联？

一个 $n$ 维线性空间 $V, \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 是 $V$ 的两个基。先将 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 作为空间的基, 那么向量组 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 线性表示为

$$
\begin{aligned}
&\begin{gathered}
\beta _1=a_{11} \alpha _1+a_{12} \alpha _2+\cdots+a_{1 n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
\vdots \\
a_{1 n}
\end{array}\right)=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right)\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right) \\
\beta _2=a_{21} \alpha _1+a_{22} \alpha _2+\cdots+a_{2 n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c}
a_{21} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{2 n}
\end{array}\right)=\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}\right)\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right) \\
\vdots \\
\beta _n=a_{n 1} \alpha _1+a_{n 2} \alpha _2+\cdots+a_{n n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c}
a_{n 1} \\
a_{n 2} \\
\vdots \\
a_{n n}
\end{array}\right)=\left(a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots, a_{n n}\right)\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right)
\end{gathered}\\
&\text { 将以上 } n \text { 个表示式合并为 }\\
&\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n 1} \\
a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n 2} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right] ...(4.1)
\end{aligned}
$$

或者

$$
\left(\begin{array}{c} 
\beta _1 \\
\beta _2 \\
\vdots \\
\beta _n
\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right) ...(4.2)
$$

式（4-1）或式（4-2）称为由基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 的基变换公式，其中，矩阵 $P =$

注意两点:
注意两点:
（1） $P$ 和 $P ^{\prime}$ 互为转置矩阵，这取决于你将基向量 $\alpha _i$ 和 $\beta _i$ 看做是行向量还是列向量;
（2）过渡矩阵 $P$ 的列向量和 $P ^{\prime}$ 的行向量分别是 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上的坐标 (按序排列成矩阵), 换句话说, 把 $\beta _i$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上的坐标一列列地排列而成过渡矩阵 $P$ 。

以上得到的矩阵 $P$ 和 $P ^{\prime}$ 给出了第一个问题的答案, 就是线性空间的两个基之间是可以互相转换或变换的, 变换的矩阵称为过渡矩阵。下面我们看看一个向量的坐标的转换是什么?
设向量 $a$ 在两个基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 下的坐标分别是 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 和 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$, 则向量 $a$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上表示为

$$
a =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\left(\begin{array}{c} 
a _1 \\
a _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right)=\left( a _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) ...(4.3)
$$

同时, 向量 $a$ 在基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 上表示为

$$
a =\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)\left(\begin{array}{c} 
\beta _1 \\
\beta _2 \\
\vdots \\
\beta _n
\end{array}\right)=\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)\left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n^{\prime}
\end{array}\right) ...(4.4)
$$

把前面的基变换公式（4-2）和公式（4-1）代入式（4-4）得到

$$
a =\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right) P ^{\prime}\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) P \left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
\vdots \\
x_n^{\prime}
\end{array}\right) ...(4.5)
$$

因为一个向量在同一个基下的坐标是唯一的, 所以, 对比式（4-5）和式（4-3）中的坐标部分，得到

$$
\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right) P^{\prime} ...(4.6)
$$

或
$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)= P \left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
\vdots \\
x_n^{\prime}
\end{array}\right)  ...(4.7)
$$

至此，我们得到了坐标转换的公式。
假设已知坐标 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$ ，直接使用式（4-7）即得到新基下的坐标 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 。反之，如果已知 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 求 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$ ，即公式

$$
\left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
\vdots \\
x_n^{\prime}
\end{array}\right)= P ^{-1}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) ...(4.8)
$$

在上述推导中，一并给出了行向量和列向量的情形。不过大多教材只处理列向量的情形，我们以后也只处理列向量, 或把向量统统默认为列向量。

>基过渡矩阵和向量转换矩阵请注意一个容易搞错的地方：在列向量的习惯下，由旧基矩阵计算得到新基矩阵的变换矩阵是基过渡矩阵或转换矩阵 $P$ ，公式为式（4-1），右乘旧基矩阵；而任一个向量由其㥵坐标计算新坐标的公式是式（4-8），其向量坐标的转换矩阵是 $P ^{-1}$ 左乘向量，用的是基过渡矨阵的逆阵。

下面我们举例说明具体的基过渡矩阵和坐标转换计算。
如图 4-29 所示，二维平面空间的一组基为 $a _1 、 \alpha _2$ （没有具体值），平面有一向量 $a$ ，由图知 $a =(-2,2)^{ T }$ 。我们再取一组基 $\beta _1 、 \beta _2$, 新基在原来基 $\alpha _1$ 、 $\alpha _2$ 上的坐标分别是 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)^{ T }$, $(-1,-1)^{ T }$ 。把它们按顺序排列起来，得到了由基 $\alpha _1 、 \alpha _2$ 过渡到基 $\beta _1 、 \beta _2$ 的过渡矩阵为

$$
P =\left[\begin{array}{c:c}
-\frac{1}{2} & -1 \\
\frac{3}{2} & -1
\end{array}\right]
$$
 ![图片](/uploads/2024-10/701b44.jpg)
 
 过渡矩阵也可以由列出的基的表示式方程组得到。把 $\beta _1=-\frac{1}{2} \alpha _1+\frac{3}{2} \alpha _2, \beta _2=- \alpha _1- \alpha _2$ 按列向量排列即可析出过渡矩阵

$$
\left( \beta _1, \beta _2\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2\right)\left[\begin{array}{rr}
-\frac{1}{2} & -1 \\
\frac{3}{2} & -1
\end{array}\right]
$$

过渡矩阵对不对，我们验证一下。用过渡矩阵求向量 $a =(-2,2)^{ T }$ 在新基 $\beta _1, \beta _2$ 上的坐标，用坐标转换公式：

$$
\binom{x_1^{\prime}}{x_2^{\prime}}= P ^{-1}\binom{x_1}{x_2}=\left[\begin{array}{rr}
-\frac{1}{2} & -1 \\
\frac{3}{2} & -1
\end{array}\right]^{-1}\binom{-2}{2}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
-\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right]\binom{-2}{2}=\binom{2}{1}
$$

看看图 4-29, 向量 $a$ 在基 $\beta _1 、 \beta _2$ 的坐标网络中的坐标正是 $\binom{2}{1}$ ，过渡矩阵和坐标转换公式得到验证。

更详细请参考[矩阵的等价相似与合同](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772)

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