最后更新: 2025-07-20 06:43 查看: 541 次反馈同步训练

基变换与坐标变换(过渡矩阵)

## 为什么会有基变换与坐标变换
对于基变换，最容易理解的是“火车模型”，想象火车以 $100m/s$ 匀速**向东**行驶，火车里有一个水杯，$A$站在地面上，对于$A$而言，他看到水杯在以$100m/s$匀速运动，而对于坐在火车里的$B$而言，水杯是静止的，根据运动的相对论，那么$A,B$对于水杯的速度描述，会有一个转换“公式”，这就是坐标变换。

进一步，如果地面的基准速度为$0m/s$，火车的速度为$100m/s$，地面上另一个人$C$以速度$v=30m/s$ 向东运动时， 则$v'=100-v=70m/s$ ，这意味在$A$看到火车速度为$100m/s$ 在$C$看来火车速度为$70m/s$ ,我们甚至可以写出简单的速度转换公式 $v_x'=v_x-v$ ,其中$v$是坐标系转换速度。

![图片](/uploads/2025-07/2c555b.jpg){width=550px}

其实上面**语境**有一个陷阱，当我们一开始说火车以$100m/s$ 匀速向东行驶时，隐含着我们以地面为参照物，如果我们以$B$为参照物，我们可以说，火车是静止的，地面上的$A$在以$100m/s$ **向西**运动。 这就是运动的相对性。 详见[伽利略变换与洛伦兹变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1087)

> **基变换可以通俗理解就是高中物理课中说的“参照物”改变了,而坐标变化就是在参照物变了的情况下，对同一运动运动变化的转化**

### 线性空间里的基变换

在一个有限维线性空间 $V$ 内，基的选取并不唯一，实际上有无穷多组不同的基．特别要指出的是，如果 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基，那么把它们按任意次序重排得 $\varepsilon_{i_1}, \varepsilon_{i_2}, \cdots, \varepsilon_{i_n}$ 仍为 $V$ 的一组基（因为它也是 $n$ 个线性无关向量），而且与原来的基不同（因为一个向量 $\alpha$ 在这两组基下的坐标是 $K^n$ 中两个不同向量）．由此立即需要解决一个问题：**找出 $V$ 中两组基之间的关系**．
## 基变换公式
设在 $n$ 维线性空间 $V$ 内给定两组基

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n, \\
& \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n,
\end{aligned}
$$

每个 $\eta_i$ 都能被 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 线性表示．设

$$
\begin{aligned}
& \eta_1=t_{11} \varepsilon_1+t_{21} \varepsilon_2+\cdots+t_{n 1} \varepsilon_n, \\
& \eta_2=t_{12} \varepsilon_1+t_{22} \varepsilon_2+\cdots+t_{n 2} \varepsilon_n, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \eta_n=t_{1 n} \varepsilon_1+t_{2 n} \varepsilon_2+\cdots+t_{n n} \varepsilon_n .
\end{aligned}
$$

再度借助矩阵乘法法则，把上面的公式形式地写成

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{cccc}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{array}\right] .
$$

命

$$
T=\left[\begin{array}{cccc}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{array}\right] .
$$

称 $T$ 为从基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 到基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 的**过渡矩阵**。

**定理**：在数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 内给定一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ ， $\cdots, \varepsilon_n . T$ 是 $K$ 上一个 $n$ 阶方阵。命

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T .
$$

则有
（i）如果 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组基，则 $T$ 可逆；
（ii）如果 $T$ 可逆，则 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组基。
证 设 $T=\left(t_{i j}\right)$ 的列向量组为

$$
T_1=\left[\begin{array}{c}
t_{11} \\
t_{21} \\
\vdots \\
t_{n 1}
\end{array}\right], \quad T_2=\left[\begin{array}{c}
t_{12} \\
t_{22} \\
\vdots \\
t_{n 2}
\end{array}\right], \cdots, T_n=\left[\begin{array}{c}
t_{1 n} \\
t_{2 n} \\
\vdots \\
t_{n n}
\end{array}\right]
$$

则有

$$
\begin{gathered}
\eta_1=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T_1, \\
\eta_2=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\eta_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T_n .
\end{gathered}
$$

$\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组基的充分必要条件是 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 线性无关，这等价于 $T_1, T_2, \cdots, T_n$ 在 $K^n$ 内线性无关，而后者又等价于 $T$ 满秩或可逆．

**根据上面的命题，两组基之间的过渡矩阵是可逆矩阵．反过来，从一组给定的基出发，借助于某一可逆矩阵 $T$ ，就可以获得一组新的基．**

## 坐标变换公式
设 $V$ 中一个向量 $\alpha$ 在第一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标为 $x_1, x_2$ ， $\cdots, x_n$ ，即

$$
\alpha=x_1 \varepsilon_1+x_2 \varepsilon_2+\cdots+x_n \varepsilon_n=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right] .
$$

又设 $\alpha$ 在第二组基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 下的坐标为 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ ，即

$$
\alpha=y_1 \eta_1+y_2 \eta_2+\cdots+y_n \eta_n=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right] .
$$

现设两组基间的过渡矩阵为 $T$ ，即

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T .
$$

令

$$
\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{y}=\left[\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right]
$$

那么

$$
\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) \boldsymbol{x}=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right) \boldsymbol{y} .
$$

以关系式

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T
$$

代入，得

$$
\begin{aligned}
\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) \boldsymbol{x} & =\left[\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T\right] \boldsymbol{y} 
  =\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)(T \boldsymbol{y}) .
\end{aligned}
$$

由于 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是一组基，线性无关，它们的两个线性组合相等时，对应系数相等，故得

$$
\boldsymbol{x}=T \boldsymbol{y}
$$

这就是我们所寻求的**坐标变换公式**．

>最后，将本段落的内容概括如下。
1）基变换公式：$\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T, \quad|T| \neq 0 $
> 2）坐标变换公式：若 $\alpha=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) \boldsymbol{x}=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right) \boldsymbol{y}$ ，则 $\boldsymbol{x}=T \boldsymbol{y}$ 或 $\boldsymbol{y}=T^{-1}\boldsymbol{x}$.
## 如何求$K^n$ 中的基变换

我们具体探讨一下如何求 $K^n$ 中两组基之间的过渡矩阵。
设第一组基为

$$
\begin{gathered}
\varepsilon_1=\left(a_{11}, a_{21}, \cdots, a_{n 1}\right), \\
\varepsilon_2=\left(a_{12}, a_{22}, \cdots, a_{n 2}\right), \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\varepsilon_n=\left(a_{1 n}, a_{2 n}, \cdots, a_{n n}\right) .
\end{gathered}
$$

第二组基为

$$
\begin{aligned}
& \eta_1=\left(b_{11}, b_{21}, \cdots, b_{n 1}\right), \\
& \eta_2=\left(b_{12}, b_{22}, \cdots, b_{n 2}\right), \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \eta_n=\left(b_{1 n}, b_{2 n}, \cdots, b_{n n}\right) .
\end{aligned}
$$

而

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T .
$$

按定义，$T$ 的第 $i$ 个列向量的分量是 $\eta_i$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 下的坐标。以 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 作列向量排成矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right] .
$$

那么，按照 $K^n$ 中向量坐标的求法 ，把 $\eta_1, \eta_2$ ， $\cdots, \eta_n\left(\right.$ 每个 $\eta_i$ 相当于的 $\left.\beta\right)$ 作列向量组排成一个 $n$ 阶方阵

$$
B=\left[\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\

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