最后更新: 2025-03-11 08:58 查看: 555 次反馈刷题

特征值计算举例

## 特征值计算举例
在上面介绍的特征值与特征向量的意义，主要是方便读者理解，线性代数的奇妙之处就在于，你哪怕完全不理解其意义，按照固定的套路，也能作对题目。

我们将求 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值与特征向量的步骤总结如下:

**第一步** 求矩阵 $A$ 的特征多项式 $|\lambda E-A|$, 并解特征方程 $|\lambda E-A|=0$,得到 $A$ 的全部特征值。设 $A$ 有 $s$ 个互异的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{\text {， }}$ $(s \leqslant n)$.

**第二步** 对于 $A$ 的每一个特征值 $\lambda_i(i=1,2, \cdots, s)$, 求齐次线性方程组 $\left(\lambda_i E-A\right) X=O$ 的基础解系。

**第三步** 设它的一个基础解系为 $\alpha_{i 1}$, $\alpha_2, \cdots, \alpha_{i_i}$ (其中 $r_i=n-r\left(\lambda_i E-A\right)$ ), 那么 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_i$的全部特征向量为
$$
c_1 \alpha_{i 1}+c_2 \alpha_{i 2}+\cdots+c_{r_i} \alpha_{i_i}
$$

其中 $c_1, c_2, \cdots, c_{r_i}$ 是不全为零的常数.

`例`求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{array}\right]$ 的特征值与特征向量.
**解：**
解 矩阵 $A$ 的特征多项式为

$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & 2 & -2 \\
2 & \lambda+2 & -4 \\
-2 & -4 & \lambda+2
\end{array}\right|
$$

这是一个行列式，如果完全展开，他将是一个$\lambda^3$方程，对于三次方程我们是没有公式计算的，因此，此时，前面学的行列式的性质就能派上用场。一定要把行列式先化简，转为有公因子的二次。考试时，不会考二次，也不会考四次，二次太简单，四次太复杂，一定会考三次的。

现在，把第2行加到第3行

$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & 2 & -2 \\
2 & \lambda+2 & -4 \\
0 & \lambda-2 & \lambda-2
\end{array}\right|
$$

仔细看，第三行有一个$\lambda-2$,可以把他提取出来，一旦提取出一个$\lambda$,其余的最高次幂为2次，就能解出。 然后按照第三行展开，继续化简就可以得到 [行列式展开](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=472)

$$
(\lambda+7)(\lambda-2)^2=0
$$

令 $|\lambda E-A|=0$, 得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=-7, \lambda_2=\lambda_3=2$.

对于 $\lambda_1=-7$, 解齐次线性方程组 $(-7 E-A) X=0$, 即

$$
\left[\begin{array}{ccc}
-8 & 2 & -2 \\
2 & -5 & -4 \\
-2 & -4 & -5
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$

此时就需要解方程的问题，通常要化为[行简化阶梯形](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461) ,然后得出[基础解系](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486)

基础解系为 $\left[\begin{array}{r}1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right]$, 故 $A$ 的对应于 $\lambda_1=-7$ 的全部特征向量为 $c_1\left[\begin{array}{r}1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right]$, 其中 $c_1$ 为任意非零常数.

对于 $\lambda_2=\lambda_3=2$, 解齐次线性方程组 $(2 E-A) X=O$, 即

$$
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -2 \\
2 & 4 & -4 \\
-2 & -4 & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$

其基础解系为 $\left[\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$, 故 $A$ 的对应于 $\lambda_2=\lambda_3=2$ 的全部特征向量为

$$
c_2\left[\begin{array}{r}
-2 \\
1 \\
0
\end{array}\right]+c_3\left[\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

其中 $c_2, c_3$ 是不全为零的任意常数.

`例`求$$B=\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
5 & -4 & 1 \\
2 & -4 & 2 \\
-1 & 4 & 3
\end{array}\right]$$ 得特征向量与特征值
**解：**

(2)

$$
\begin{aligned}
& |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-5 & 4 & -1 \\
-2 & \lambda+4 & -2 \\
1 & -4 & \lambda-3
\end{array}\right| \xlongequal{c_1-c_3}\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-4 & 4 & -1 \\
0 & \lambda+4 & -2 \\
4-\lambda & -4 & \lambda-3
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-4)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
0 & \lambda+4 & -2 \\
-1 & -4 & \lambda-3
\end{array}\right| \xlongequal{r_3+r_1}(\lambda-4)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
0 & \lambda+4 & -2 \\
0 & 0 & \lambda-4
\end{array}\right| \\
& =(\lambda+4)(\lambda-4)^2
\end{aligned}
$$

故 $\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $\lambda_1=-4, \lambda_2=\lambda_3=4$ 。

当 $\lambda_1=-4$ 时, $\lambda_1 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}=-4 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}-9 & 4 & -1 \\ -2 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & -7\end{array}\right]$ 初等行变换 $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
因此 $\lambda_1=-4$ 对应的特征向量为 $k[-1,-2,1]^{\mathrm{T}}, k \neq 0$;
当 $\lambda_2=\lambda_3=4$ 时, $\lambda_2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}=4 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & -1 \\ -2 & 8 & -2 \\ 1 & -4 & 1\end{array}\right]$ 行 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$;
故 $\lambda_2=\lambda_3=4$ 对应的特征向量为 $k_1[4,1,0]^{\mathrm{T}}+k_2[-1,0,1]^{\mathrm{T}},\left|k_1\right|+\left|k_2\right| \neq 0$ 。 因此特征值 4 的代数重数是 2 , 其几何重数也是 2 , 也就是它的几何重数与代数重数相等。

`例`已知如下矩阵A，求解其特征值和特征向量。
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & -3 & 3 \\
3 & -5 & 3 \\
6 & -6 & 4
\end{array}\right]
$$
**解：** 首先构造特征方程 $\operatorname{det}(\lambda E-A)$
 ![图片](/uploads/2024-09/f6568a.jpg)
 
 ①特征值 $\lambda_1=\lambda_2=-2$ 时解方程组 $(-2 E-A) X=0$ ，即得:

$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{ccc}
-3 & 3 & -3 \\
-3 & 3 & -3 \\
-6 & 6 & -6
\end{array}\right]} \\
& {\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]}
\end{aligned}
$$

经过若干步可简化为

于是得同解方程组 $x_1-x_2+x_3=0$ ，解为 $x_1=x_2-x_3$ (这里 $x_2, x_3$ 为自由未知量)。
分别令自由未知量 $x_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right], x_3=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]$
进而得到基础解系为：

$$
\xi_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \quad \xi_2=\left[\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

所以 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_1=\lambda_2=-2$ 的全部特征向量为 $x=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2\left(k_1, k_2\right.$ 不全为零 $)$

② 特征值 $\lambda_3=4$ 时解方程组 $(4 E-A) X=0$ ， 即得
 ![图片](/uploads/2024-09/8841d8.jpg)

进而得到同解方程组 $x_1-\frac{1}{2} x_3=0, x_2-\frac{1}{2} x_3=0$通解为 $x_1=\frac{1}{2} x_3, x_2=\frac{1}{2} x_3$

令自由未知量 $x_3=2$ 得基础解系 $\xi_3=(1,1,2)^{\top}$, 所以A的对于特征值 $\lambda_3=4$ 得全部特征向量为 $x=\mathrm{k}_3 \xi_3$ 。

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