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向量乘除
日期:
2023-01-03 17:15
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向量的数乘 向量的数乘指一个数乘以向量，例如 a+a+a=3a 向量乘除（内积与外积） 本文介绍向量之间的简单运算。 在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于“inner product”和“outer product”两个词汇有着五花八门的翻译。 在物理学科，一般翻译成“标积”和“矢积”，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上“数量积”和“向量积”也采用了这种意译的办法。 在数学学科，通常也可以翻译成“内积”和“外积”，是两个名词的直译。“点乘”和“叉乘”是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。 在“点乘”运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。 内积 内积的概念对于任意维数的向量都适用。已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，那么: $$ a \cdot b=|a||b| \cos \theta $$ 就是这两个向量的内积，也叫点积 或数量积。 其中称 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta$ 为 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影。  内积的几何意义即为：内积 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 等于 $\boldsymbol{a}$ 的模与 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影的乘积。可以发现，这种运算得到的结果是一个标量，并不属于向量的 线性运算。在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写。 内积的物理意义为一个物体在力 $F$ 的作用下，前进 $r$ 距离，其中 $F$ 和 $r$ 的夹角为 $\theta$ ，则功 $$ W=F r \cos \theta $$  内积运算有以下应用 判定两向量垂直 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Longleftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ 判定两向量共线 $$ \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b} \Longleftrightarrow|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| $$ 数量积的坐标运算 若 $\boldsymbol{a}=(m, n), \boldsymbol{b}=(p, q)$, 则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=m p+n q$ 向量的模 $$ |\boldsymbol{a}|=\sqrt{m^2+n^2} $$ 两向量的夹角 $$ \cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} $$
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2023-01-03 17:15
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