最后更新: 2025-03-13 12:24 查看: 604 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

二次型的规范形与惯性定理

##  一句话解释惯性定理
我们在物理学里都学过牛顿惯性定律，惯性是指物体**具有保持其运动状态的性质**。在《线性代数》里，也有一个惯性定理：二次型标准型虽然形式不一，但是其正负项个数是**保持**固定的，不因为你所采用的变换而改变，故称为**二次型的惯性定理**。

> 农村有一句谚语：龙生龙凤生凤，老鼠的儿子会打洞。这就是龙无论怎么变都还是龙，不可能变成风，凤无论怎么线性变换都不可能变成老鼠。

比如$ax^2+by^2=r^2 (a>0,b>0)$ 表示的是椭圆，不论采用何种变换，他变来变去仍是椭圆，不可能变成抛物线，也不可能变成双曲线。
同样如果$ax^2+by^2=r^2 (a>0,b<0)$ 表示的是双曲线，不论怎么变，都还是双曲线，不可能变成椭圆。 也就是 $x,y$前的正负号保持不变。

## 西尔维斯特 Sylvester惯性定理
**定理1**
设有二次型 $f(x)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} A \boldsymbol{x}$ ，它的秩为 $r$ ，有两个可逆变换
$x=C y$ 及 $x=P z$ 使
$f=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+\cdots+k_r y_r^2 \quad\left(k_i \neq 0\right),$ 及 $f=\lambda_1 z_1^2+\lambda_2 z_2^2+\cdots+\lambda_r z_r^2 \quad\left(k_i \neq 0\right),$

则 $k_1, \cdots, k_r$ 中正数的个数与 $\lambda_1, \cdots, \lambda_r$ 中正数的个数相等.
这个定理称为**惯性定理**，这里不予证明.

标准形中非零系数个数、正系数个数、负系数个数都是不变的, 此即西尔维斯特(Sylvester)惯性定理:

`例` 证明曲线 $x^2+x y+y^2=1$ 是椭圆。
解: 对于给定一个二次型，写出他的二次型矩阵的方法是：
（1）平方项系数直接放到主对角线上。题目里$x^2,y^2$的系数都是1，所以，放到矩阵的主对角线上。
（2）交叉项的系数的一般放在矩阵的相应位置。题目里$xy$的系数是$1$,他的一半是$\frac{1}{2}$。
因此
二次型 $x^2+x y+y^2$ 的矩阵是 $\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1\end{array}\right)$ ，
所以特征值是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{2}$ ，单位化特征向量拼成的正交矩阵 $P=\binom{\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2}}$ ，它对应于 $45^{\circ}$ 角的旋转矩阵。

也就是说，通过正交变换，我们可以得到在旋转 $45^{\circ}$ 的正交坐标系下，曲线的方程可以转化为 $\frac{1}{2} x^2+\frac{3}{2} y^2=1$ 因此这个曲线是一个椭圆。
也就是说，之前特别难证明的一个东西，被线性代数一下子就解决了!
下图显示了其图形

![图片](/uploads/2024-10/9bea41.jpg){width=500px}

`例` 用配方法求 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+x_2{ }^2$ 的标准形。

解:

$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2\right) & =x_1^2-4 x_1 x_2+x_2{ }^2 \\
& =\left(x_1{ }^2-4 x_1 x_2+4 x_2{ }^2\right)-3 x_2{ }^2 \\
& =\left(x_1-2 x_2\right)^2-3 x_2{ }^2
\end{aligned}
$$

作可逆线性变换 $\left\{\begin{array}{l}y_1=x_1-2 x_2 \\ y_2=\quad x_2\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x_1=y_1+2 y_2 \\ x_2=\quad y_2\end{array}\right.$ ，得 $f$ 的标准形 $f=y_1{ }^2-3 y_2{ }^2$
注意：用配方法得到的 $f$ 的标准形称为 $f$ 的合同标准形，这种标准形的系数当然不一定是 $f$ 的矩阵的特征值。例如本例所得标准形的系数 $1$ ， $-3$ 就不是 $f$ 的矩阵的特征值，实际上它的特征值为$3$ ， $-1$ 。

对任意一个 $n$ 元实二次型，可以有两种方法得到二次型的标准形，由于所作的线性变换不同，标准形也未必相同，例如上例中，二次型 $f=x_1{ }^2-4 x_1 x_2+x_2{ }^2$ 用配方法得到 $f$ 的标准形是 $f=y_1{ }^2-3 y_2{ }^2$ ，而若用正交变换，得到 $f$ 的标准形是 $f=3 y_1{ }^2-y_2{ }^2$ ，因此**二次型的标准形不是唯一的**，但是同一个二次型化为标准形后，**标准形中系数不为零的平方项个数和正系数的平方项个数都是相同的**，为深入讨论后面我们引入二次型的**规范形**的概念。

`例` 用配方法求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$ 的标准形。
解：本题中二次型没有出现平方项，为配出完全平方，我们先作如下可逆线性变换产生平方项。

$$
\text { 令 }\left\{\begin{array}{l}
x_1=y_1+y_2 \\
x_2=y_1-y_2 \\
x_3=\quad y_3
\end{array}\right.
$$

它把原二次型化为: $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$

$$
\begin{aligned}
& =2\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)+2\left(y_1+y_2\right) y_3-6\left(y_1-y_2\right) y_3 \\
& =2{y_1^2}^2-4 y_1 y_3-2{y_2}^2+8 y_2 y_3 \\
& =2\left(y_1-y_3\right)^2-2{y_2^2}^2-2 y_3^2+8 y_2 y_3 \\
& =2\left(y_1-y_3\right)^2-2\left(y_2-2 y_3\right)^2+6 y_3^2
\end{aligned}
$$

再作可逆线性变换 $\left\{\begin{array}{lr}z_1=y_1 & -y_3 \\ z_2= & y_2-2 y_3 \\ z_3= & y_3\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{lr}y_1=z_1 & +z_3 \\ y_2= & z_2+2 z_3 \\ y_3= & z_3\end{array}\right.$
也就有可逆线性变换 $\left\{\begin{array}{l}x_1=z_1+z_2+3 z_3 \\ x_2=z_1-z_2-z_3 \\ x_3=\quad z_3\end{array}\right.$ ，则 $f$ 的合同标准形 $f=2 z_1{ }^2-2 z_2{ }^2+6 z_3{ }^2$ 。

`例` 设四元二次型 $f=X^T A X$ 的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，用正交变换把它化为标准形。

解: A的特征多项式: $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda-1 & -1 & 1 \\ -1 & \lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1 & \lambda & -1 \\ 1 & -1 & -1 & \lambda\end{array}\right|=(\lambda-1)^3(\lambda+3)$
$A$ 的四个特征值为 $\lambda_1=-3, \lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=1$ ，属于 $\lambda_1=-3$ 的特征向量满足方程组 $(-3 E-A) X=0$
由 $-3 E-A=\left(\begin{array}{cccc}-3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -3\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，可得单位特征向量 $\eta_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，属于
$\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=1$ 的特征向量满足方程组 $(E-A) X=0$
由 $E-A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，即应满足方程组 $x_1-x_2-x_3+x_4=0$ ，可以由直观法求出三个两两正交且单位特征向量
$$
\eta_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), \quad \eta_3=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \eta_4=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right)
$$

于是，有正交矩阵
$$
 P=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2}
\end{array}\right)
$$
得正交变换 $X=P Y$，经这个正交变换二次型 $f$化为标准形。
$f=-3 y_1{ }^2+y_2{ }^2+y_3{ }^2+y_4{ }^2$

## 二次型的规范形与惯性定理
同一个二次型所做的线性变换不同其得到的标准型是不同的。但是，同一个二次型的不同标准型有其共性，即标准型中所含系数不为零的平方数的个数是相同的，且正(负)平方项的个数是相同的。而且不论通过那种方法将二次型化为标准型后，都可以进一步化简称平方项系数只有1,-1,0的标准型，即二次项的**规范形**。

### 定义1：规范形定义
 $n$ 元二次型 $f$ 的标准形中，所有平方项的系数仅为 $1 ，-1$ 或 0 ，即形如 $y_1{ }^2+\cdots+y_p{ }^2-y_{p+1}{ }^2-\cdots-y_r{ }^2,(p \leq r \leq n)$ 把这种标准形称为二次型 $f$ 的规范形。

### 定义2：惯性定理
任意一个$n$元二次型 $f=X^T A X$ 都可以经过可逆线性变换化为规范形，且规范形是唯一的。即规范形中， $p$ 和 $r$ 是由二次型 $f$ 唯一确的， $r$就是 $f$ 的秩，即对称矩阵A的秩。

`例` 设三元二次型 $f$ 的标准形是 $f=2 y_1{ }^2-y_2{ }^2+3 y_3{ }^2$ ，作可逆线性变换 $\left\{\begin{array}{l}y_1=\frac{1}{\sqrt{2}} z_1 \\ y_2= \\ y_3=\frac{1}{\sqrt{3}} z_2\end{array} z_3\right.$ ，则得到 $f$ 的规范形为 $f=z_1{ }^2+z_2{ }^2-z_3{ }^2$

## 惯性指数
规范形中的 $p$ 称为二次型 $f$ 的正惯性指数， $r-p$ 为 $f$ 的负惯性指数， $p-(r-p)=2 p-r$ 称为 $f$ 的符号差。
惯性定理指出：二次型 $f$ 的正惯性指数、负惯性指数是唯一的，而且惯性定理可用矩阵语言来叙述：
对于任意一个$n$阶实对称矩阵$A$，它必合同于对角矩阵 $\left(\begin{array}{lll}E_p & & \\ & -E_{r-p} & \\ & & 0\end{array}\right)$ ，其中 $p$ 为$A$的正惯性指数， $r$ 为 A 的秩。

### 判断两个矩阵合同
两个 $n$ 阶对称矩阵A与B合同的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的正惯性指数。

`例` 在以下四个矩阵中，哪些是合同矩阵？哪些是不合同矩阵？

$$
A=\left(\begin{array}{lll}
-1 & & \\
& 3 & \\
& & -2
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}
-1 & \\
& 1 \\
& & 1
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lll}
1 & & \\
& -2 & \\
& & -3
\end{array}\right), D=\left(\begin{array}{lll}
3 & & \\
& 2 & \\
& & -5
\end{array}\right)
$$

解：四个矩阵均为对角矩阵，容易看出它们的秩都同为 3 ，而 $A$ 与 $C$ 的正惯性指数同为 1 ，所以 $A$ 与 $C$ 合同， $B$ 与 $D$ 的正惯性指数同为 2 ，所以 $B$ 与 $D$ 合同，但 $A$ 与 $B$ 不合同， $B$ 与 $C$ 不合同。

>在二次型，规范形的“形”用的是“形”字表示的是形状。而不是“规范型”，一个“形”字就表示了他们外表是相似的。

## 惯性定理的几何及物理意义

任何一个实二次型都可以经过一个线性变换化为标准形。惯性定理是说, 标准形的正系数的个数与负系数的个数与标准形的坐标基选择无关, 二次型对满秩线性替换是不变量。正因为它们是不变量, 所以我们叫这个定理为惯性定理, 其中正系数个数称为正惯性指数 (可记为 $P$ ),负系数个数称为负惯性指数 (可记为 $N$ )。正惯性指数加上负惯性指数等于秩, 即 $P+N=r$ 。
### 惯性定理的几何意义 
惯性定理反映到几何上, 就是经过可逆的合同变换把二次曲线/面方程化成标准方程。**方程的系数与所作的线性变换有关; 而曲线的类型 (是椭圆型、双曲线型等) 是不会因为所作的线性变换的不同而改变的。**

> 这种更通俗的解释，比如平面解析几何里，$x^2+y^2=1$表示的是圆，通过坐标变换、挤压、拉伸、扭转，这个圆可以变成圆，椭圆甚至直线，但是他绝不可能变成双曲线。

曲线的类型在几何图形上就像是图形的轮廓, 这些不同的轮廓与基的选择无关。例如, 一个马鞍面无论选择的基是什么, 都是一个马鞍面, 尽管马鞍面可以变大变小, 变陡峭或平坦, 亦可横着、坚着、斜着、倒着等。马鞍面的这些改变取决于基向量的不同取法。
二次型图形的对称性是显然的, 从标准形的代数式 $f=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+\cdots+k_r y_r^2$ 可以看出,对于任一个坐标轴 $y_i, k_i y_i^2$ 的图形是关于坐标零点左右对称的, 这些平方项叠加起来仍然关于每个坐标轴对称。这些对称性图形可以通过观察后续的二次型的图形来体会。
上面几何意义的解释是比较常见的说法, 其实质是假定存在一个绝对的世界坐标系作为背景, 它是永远都是刻度不变的标准正交坐标系, 所变的是二次型的几何图形。

其实更好的解释和正交变换的坐标系旋转/镜像的几何解释类似: 二次型的几何图形不变,变的是坐标系: 原来的标准正交系变成了刻度和坐标轴夹角都不同的仿射坐标系。想象二次型所表示的几何图形是一个物理实体, 各种合同变换所变换的是坐标系。因为坐标系的变化向量之坐标和度量矩阵一起变, 因而二次型的函数表达式也相应地改变了一一每一个坐标系下对应着一个函数表达式; 然而仍要记住这个物理实体是不变的。这个说法看起来像二次型的物理意义的解释。

惯性定理又叫主轴定理, 因为二次型的图形在化成标准形体现出了最完美的对称性, 每一个基向量所在的直线都成为二次齐次函数图形的对称轴，我们称这些对称轴为二次型的主轴。

惯性定理或主轴定理的命名由来更像是直接来自于力学中的惯性张量矩阵二次型。惯性矩二次型是描述刚体绕定点转动的总惯量。转动物体的转动惯量和直线运动物体的质量一样都是描述惯性大小的标量, 因此具有不变性。惯性矩二次型经过正交变换得到了由三个主轴转动惯量所组成的对角阵。

**惯性定理在相对论中的应用**
正如前面所讲, 二次型惯性定理的更本质一些的几何意义是二次型图形本身可以看做不变的物理实体, 二次型在选择不同的基/坐标轴时并不能改变这个物理实体, 只是这个物理实体的数学描述式 $f=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+\cdots+k_r y_r^2$ 在随着不同的基而改变而已 (呵呵, 数学是不是有点唯心)。这个数学描述式再改变也是描述的同一个物理实体啊, 因此, 在线性映射下, 一个球体再怎么投影也就变成个小球、大球或椭圆球面, 不会变成马鞍面那样的波澜起伏的丘陵加山壑。

二次型的这个不变的 “惯性” 被闵可夫斯基成功地运用于描述㹨义相对论的四维时空线性空间 (被称为闵可夫斯基空间) 里的度规不变量, 这个二次型在不同的惯性系 (坐标系间保持静止或匀速直线运动) 变换下是不变量。

闵可夫斯基空间的二次型不变的来源是因为假设光速不变。假设三维空间坐标零点发出一个光脉冲, 光线向四面八方随着时间 $t$ 的延长而扩散开来, 最外面的光波阵面是一个迅速扩张的球面, 这个球面的半径等于光速和时间的积 $c t$, 因此这个球面方程为
两边平方得到

$$
\sqrt{x^2+y^2+z^2}=c t
$$

$$
x^2+y^2+z^2=c^2 t^2
$$

那么我们把这个关系式定义为一个二次型

$$
f(x, y, z, t)=x^2+y^2+z^2-c^2 t^2=0
$$

在洛仑兹变换 (坐标变换) 下, 坐标系从 $\{o, x, y, z, t\}$ 变换为 $\left\{o, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}\right\}$, 这个二次型 $f$ 的值仍然等于 0 , 也就是总有

$$
f(x, y, z, t)=x^2+y^2+z^2-c^2 t^2=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2 t^{\prime 2}=f\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}\right)
$$

## 旋转曲面

1.定义
以一条曲线绕一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.
2. 常见二次曲面及其图形
(1) 椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$ ，如图 (a)。
(2) 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (b).
(3) 单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (c).
(4) 双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (d).
(5) 椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$, 如图 (e).
(6) 双曲抛物面 (马鞍面) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$, 如图 $(f)$.
(7) 椭圆柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 如图 (g).
(8) 双曲柱面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, 如图(h).
(9) 抛物柱面 $y^2=a x$, 如图 (i).

![图片](/uploads/2024-10/4036bd.jpg){width=500px}

$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline \text { 二次曲面 } & \text { 标准方程 } & \text { 二次型 } f & \begin{array}{c}
\text { 正惯性 } \\
\text { 指数 }
\end{array} & \begin{array}{c}
\text { 负惯性 } \\
\text { 指数 }
\end{array} \\
\hline \text { 粗圆锥面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z^2 & 2 & 1 \\
\hline \text { 椭球面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} & 3 & 0 \\
\hline

\hline \text { 单叶双曲面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} & 2 & 1 \\
\hline \text { 双叶双曲面 } & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} & 1 & 2 \\
\hline \text { 椭圆柱面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} & 2 & 0 \\
\hline \text { 双曲柱面 } & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} & 1 & 1 \\
\end{array}
$$

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