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正定二次型与正定阵

## 正定二次型定义
设有二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 。
- 若对任何 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$, 都有 $f(\boldsymbol{x})>0$, 则称 $f(\boldsymbol{x})$ 为正定二次型, 并称对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是正定矩阵, 记为 $\boldsymbol{A}>\mathbf{0}$ 。
- 若对任何 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$, 都有 $f(\boldsymbol{x})<0$, 则称 $f(\boldsymbol{x})$ 为负定二次型, 并称对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是负定矩阵, 记为 $\boldsymbol{A}<\mathbf{0}$ 。
- 若对任何 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$, 都有 $f(\boldsymbol{x}) \geqslant 0$, 则称 $f(\boldsymbol{x})$ 为半正定的; 若- $f(\boldsymbol{x})$ 为半正定的, 则称 $f(x)$ 为半负定 (负半定) 的; 若 $f(\boldsymbol{x})$ 既不是半正定又不是半负定的, 则称 $f(x)$ 为不定的。

显然 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$是正定型，而$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=-x_1^2-x_2^2-\cdots-x_n^2$是负定型

## 正定二次型是干什么用的

在欧氏空间 $\mathbf{R}^n$, 实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 作为定义在 $\mathbf{R}^n$ 的一个二次实函数 $z=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$,则当 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为正定时就是只要取 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为一组不全为 0 的实数, 均有 $z>0$ (只有当 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$ 时, $z=0$ ); 也就是说, 这个函数的值域是 $z \geqslant 0$, 但只有在 $\mathbf{R}^n$ 的原点取得 $z=0$,而在其他点上均有 $z>0$ 。这个地方好多人都忽略了。

半正定呢, 就是在此二次型在整个定义域 $\mathbf{R}^n$ 上也有值域 $z \geqslant 0$, 但除了原点使 $z=0$ 外, 尚有其他一些点也使 $z=0$, 此外便是 $z>0$ (负定和半负定相应地有类似的结果, 只是 $z \leqslant 0$ )。

当二次型为不定时, 则函数值域既有正实数也有负实数和 0 。

**例1** $z=f(x, y)=\frac{1}{4} x^2+y^2$ 是一个正定二次型, 它的图像如图  (a) 所示, 是一个开口向上的椭圆抛物面, 整个曲面除一点 (顶点) 在坐标平面 $x o y$ 的原点上, 其余均在 $x o y$ 平面的上方。
 ![图片](/uploads/2024-09/1dc0f8.jpg)

正定二次型有着明显的几何意义, 当 $f(x, y)$ 为二维的正定二次型时, 它可由可逆线性替换 (坐标变换) 化为系数全为正的标准形, 于是 $f(x, y)=c(c>0)$ 的图形是以原点为中心的椭圆,当把 $c$ 看做任意正常数时, 则是一族椭圆线, 这族椭圆随着 $c$ (沿着抛物线) 减小且趋于零而收缩到原点 (见图 7-11 (a)); 当 $f$ 为三维正定二次型时, $f(x, y, z)=c(c>0)$ 的图形则是一族椭球面, 这族椭球面随着 $c$ (沿着抛物面) 减小且趋于零而收缩到原点。

**例2** $z=f(x, y)=2 x^2$ 是半正定二次型, 它的图形如上图 (b) 所示, 是一个开口向上, 以 $x o y$ 面上的抛物线 $z=2 x^2$ 为准线, 以平行于 $y$ 轴的直线为母线的抛物柱面。整个曲面有一条母线在 $x o y$ 面上 (即 $y$ 轴, 轴上二次型等于零), 其余均在 $x o y$ 平面上方。

**例3** $z=f(x, y)=x y$ 是一个不定二次型, 其图形如上图  (c) 所示, 是一个过原点的马鞍面。显然, 马鞍面上正值、负值和零都有。

**知道了二次型的函数图形当然比较容易判定二次型的正定性, 但是一旦碰到超多元的二次型就麻烦了, 还是需要代数的计算手段**。我们知道了一个实二次型对应一个实对称矩阵, 是否从矩阵本身就可以知道这个二次型的正定性?

应该如此。因为合同变换不改变二次型函数的值, 原来大于零的还是大于零, 所以合同对角化矩阵就可以了, 如果对角线上的元素是大于零的数就是正定的了 (这说明标准形的系数都是正值)。

对角化判定方法之一是特征值法, 因为特征值是正交变换（也是合同变换）对角化矩阵的对角线上的元素。特征值大于零, 当然二次型也是正定的了。

还有个矩阵正定性判定的方法, 比如顺序主子式法:
(1) $\boldsymbol{A}$ 是正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于 0 。
(2) $\boldsymbol{A}$ 是负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于 0 , 并且它的所有偶数阶主子式都大于 0 。

顺序主子式图
 ![图片](/uploads/2024-09/3d02a1.jpg)

顺序 1 中, 一阶二次型是正定的等价于 $a_{11}>0$ 。
顺序 2 中，二阶二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过行和列同时的初等变换，得到了包含 $a_{11}$ 和 $d_2$ 的对角阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 。注意, $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{\Lambda}$ 的行列式是同符号的，因为 $|\boldsymbol{\Lambda}|=\left|\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}\right|=|\boldsymbol{C}|^2|\boldsymbol{A}|$ 。

显然, $a_{11}$ 和 $d_2$ 要同时大于 0 的话, 二次型就是正定; 反之亦然。
$a_{11}$ 和 $d_2$ 要同时大于 0 等价于 $a_{11}>0$ 和 $a_{11} d_2>0$ ，换句话说， $\boldsymbol{A}$ 的顺序主子式全大于 0 。
随着变量逐步地增加，显然各阶主子式必须大于 0 ，才是各阶二次型正定的充要条件。
我相信，通过仔细地比对上述的二次型函数式、顺序主子式，各位能顺利地理解正定的主子式判定定理。

另外, 表 7-1 给出了顺序 n 是为了和顺序 3 进行比对, 应该看出, 各阶顺序主子式也可认为是变量 $x_1 、 x_2 、 x_3$ 中批量取零得到矩阵行列式。如对于三阶二次型, 令 $x_3=0$ 得到二阶主子式,令 $x_2=x_3=0$ 得到一阶主子式。

**例4**  判别二次型 $f=-3 x^2-5 y^2-7 z^2+4 x y+4 x z$ 的正定性。
解 $f$ 的矩阵为

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
-3 & 2 & 2 \\
2 & -5 & 0 \\
2 & 0 & -7
\end{array}\right]
$$

因为

$$
a_{11}=-3<0,\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
-3 & 2 \\
2 & -5
\end{array}\right|=11>0,|\boldsymbol{A}|=-57<0
$$

故由上述顺序主子式法定理知 $f$ 为负定的。

## 正定二次型推理

**定理2** $  n$ 元二次型 $f(x)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 为正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 $n$ ，即它的规范形的 $n$ 个系数全为 1 .

证明 设可逆变换 $x=C y$ 使

$$
f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{C} \boldsymbol{y})=\sum_{i=1}^n k_i {y_i}^2
$$
$$
\begin{aligned}
&\text { 先证充分性. 设 } k_i>0(i=1,2, \cdots, n) \text {. 任给 } \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0} \text {, 则 } \boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0} \text {, 故 }\\
&f(x)=\sum_{i=1}^n k_i y_i^2>0 .
\end{aligned}
$$

再证必要性. 用反证法. 假设有 $k_i \leq 0$, 则当 $y=e_s$ (单位坐标向量) 时， $f\left(\boldsymbol{C e}_s\right)=k_s \leq 0$. 显然 $\boldsymbol{C e}_s=\mathbf{0}$,这与 $f$ 为正定相矛盾.
这就证明了 $k_i>0(i=1,2, \cdots, n)$.

### 推论

**推论1** 对称阵 $A$ 为正定的充分必要条件是: $A$ 与单位矩阵 $E$ 合同.
**推论2** 对称阵 $A$ 为正定的充分必要条件是: $A$ 的特征值全为正.
**定理3** 对称阵 $A$ 为正定的充分必要条件是: $A$ 的各阶主子式都为正，即

$$
a_{11}>0,\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|>0, \cdots,\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|>0,
$$

对称阵为负定的充分必要条件是: 奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正,即

$$
(-1)^r\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1 r} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & \cdots & a_{n r}
\end{array}\right|>0(r=1,2, \cdots, n) .
$$
定理3 称为**赫尔维茨定理**.

**例1** 判别二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=-2 x_1^2-6 x_2^2-4 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3$ 的正定性.

解 此二次型的矩阵为

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 1 \\
1 & -6 & 0 \\
1 & 0 & -4
\end{array}\right)
$$

它的各阶顺序主子式为:

$$
a_{11}=-2<0,\left|\begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
1 & -6
\end{array}\right|=11>0,\left|\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 1 \\
1 & -6 & 0 \\
1 & 0 & -4
\end{array}\right|=-38<0
$$

所以，该二次型是负定的.

**例2** 设 $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵，证明 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 也是正定矩阵.
证明 因为 $\boldsymbol{A}$ 正定，所以 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$ ，从而

$$
\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1},
$$

即 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 为实对称矩阵。
又由于 $\boldsymbol{A}$ 正定，存在可逆阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $P^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{E}$. 等式两端求逆，得到

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\boldsymbol{E} .
$$

令 $\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\boldsymbol{Q}$ ，则 $\boldsymbol{Q}$ 为可逆矩阵，且满足

$$
\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{E},
$$

所以 $A^{-1}$ 也是正定矩阵.

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