最后更新: 2025-01-04 17:24 查看: 436 次反馈刷题

线性空间的性质

## 线性空间的性质
**性质1** 零元素是唯一的.
证明 设 $0_1, 0_2$ 是线性空间 $V$ 中的两个零元素，即对任何 $\alpha \in V$ ，有 $\alpha+0_1=\alpha, \alpha+0_2=\alpha$ ， 于是有

$$
\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2, \mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_1
$$

所以

$$
\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2
$$

**性质2** 任一元素的负元素是唯一的 (以后将 $\boldsymbol{\alpha}$ 的负元素记作 $-\boldsymbol{\alpha}$ ) .
证明 设 $\boldsymbol{\alpha}$ 有两个负元素 $\beta, \gamma$ ，即 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma}=\mathbf{0}$. 于是

$$
\beta=\beta+0=\beta+(\alpha+\gamma)=(\beta+\alpha)+\gamma=0+\gamma=\gamma .
$$

**性质3** $0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ;(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha} ; \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0}$.
证明 $\boldsymbol{\alpha}+0 \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}+0 \boldsymbol{\alpha}=(1+0) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ ，所以 $0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ， \boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}=[1+(-1)] \boldsymbol{\alpha}=0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$,
所以 $(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha}$ ；

$$
\lambda \mathbf{0}=\lambda[\boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}]=\lambda \boldsymbol{\alpha}+(-\lambda) \boldsymbol{\alpha}=[\lambda+(-\lambda)] \boldsymbol{\alpha}=0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} \text {. }
$$

**性质4** 如果 $\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，则 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$.
证明 若 $\lambda \neq 0$ ，在 $\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 两边乘 $\frac{1}{\lambda}$, 得
而

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{\lambda}(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\frac{1}{\lambda} \boldsymbol{0}=\mathbf{0}, \\
\frac{1}{\lambda}(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\left(\frac{1}{\lambda} \lambda\right) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha},
\end{gathered}
$$

所以 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$.

## 子空间的性质
让我们从一个简单的例子看起。考察 $R ^2$ 中的子集：
－ $L _1=\{(x, 0) \mid x \in R \}$ 也是一个向量空间。
－ $L _2=\{(x, x+1) \mid x \in R \}$ 不是一个向量空间。
显然并不是所有的子集都是向量空间。我们称这样的子集为子空间。

定义 
给定一个向量空间 $V$ ，如果 $W$ 是 $V$ 的一个非空子集，并且 $W$ 满足如下两个条件：
1．对于任意的 $u , v \in W , u + v \in W$ 。
2．对于任意的 $c \in R$ 和 $u \in W , c u \in W$ 。
则称 $W$ 是 $V$ 的一个子空间。

定理  
如果 $W$ 是向量空间 $V$ 的一个子空间，则 $W$ 对于 $V$ 上定义的加法和数乘运算构成一个向量空间。

考察如下集合：

$$
\begin{aligned}
V & = R ^3 \\
W & =\{(x, y, 0) \mid x, y \in R \}
\end{aligned}
$$

则 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，原因在于：
－对于任意的 $u =\left(x_1, y_1, 0\right), v =\left(x_2, y_2, 0\right) \in W , u + v =\left(x_1+x_2, y_1+y_2, 0\right) \in W$ 。
－对于任意的 $c \in R$ 和 $u =(x, y, 0) \in W , c u =(c x, c y, 0) \in W$ 。

### 子空间定理
如果 $W$ 是向量空间 $V$ 的一个子空间，则 $0 \in W$ ．
证明．取 $w \in W , 0 w=0 \in W$ ．

令 $u , v \in W$ ，则所有 $u , v$ 的线性组合 $c u +d v$ 均在 $W$ 中。

证明．由子空间的定义，对于任意的 $c , d \in R$ ，均有：

$$
cu, d v \in W
$$

从而：

$$
c u +d v \in W
$$

令 $V$ 是一个向量空间， $W$ 是 $V$ 的一个子集。则 $W$ 是 $V$ 的一个子空间当且仅当：对于任意的 $k \geqslant 0, c_1, \cdots, c_k \in R$ 和 $v_1, \ldots, v_k \in W$ 均有：

$$
c _1 v _1+\cdots+c_{k} v _{k} \in W
$$

特别的，当 $k=0$ 时我们令上述和为 0 ．

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