最后更新: 2024-10-27 08:14 查看: 583 次反馈刷题

事件的相互独立性

## 事件的独立性

独立性是概率论中又一个重要概念, 利用独立性可以简化概率的计算. 下面先讨论两个事件之间的独立性, 然后讨论多个事件之间的相互独立性, 最后讨论试验之间的独立性.

两个事件之间的独立性是指:一个事件的发生不影响另一个事件的发生. 这在实际问题中是很多的, 譬如在掷两颗骰子的试验中, 记事件 $A$ 为 “第一颗骰子的点数为 1 ”, 记事件 $B$ 为 “第二颗骰子的点数为 4 ”. 则显然 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的. 再如检测一批电灯的良品率，第一个产品的良品与否不影响第二个产品的良品与否。

相反，如果一个事件受到另外一个另外一个事件影响，则不能称为独立性，比如测量学生身高和体重，正常情况下，学生身高越高体重越重，我们就认为身高和体重并不具有独立性。

## 定义

从概率的角度看, 事件 $A$ 的条件概率 $P(A \mid B)$ 与无条件概率 $P(A)$ 的差别在于: 事件 $B$ 的发生改变了事件 $A$ 发生的概率, 也即事件 $B$ 对事件 $A$ 有某种“影响”.如果事件 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的, 则有 $P(A \mid B)=P(A)$ 和 $P(B \mid A)=P(B)$, 它们都等价于

$$
P(A B)=P(A) P(B)
$$

称两个事件 $A, B$ 是相互独立的。

**定义** 如果$P(A B)=P(A) P(B)$成立, 则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, 简称 $A$ 与 $B$ 独立. 否则称 $A$ 与 $B$ 不独立或相依.

在许多实际问题中, 两个事件相互独立大多是根据经验 (相互有无影响) 来判断的, 如上述郑两颗骰子问题中 $A$ 与 $B$ 的独立性. 但在有些问题中, 有时也用上式来判断两个事件间的独立性.

①有些事件比较容易判断是否独立，例如扔骰子，第一次扔的点数和第二次扔的点数显然没有关系，因此我们可以得到 $P(A B)=P(A) P(B)$

②有些事件判断是否独立比较困难，但是，如果我们能得到 $P(A B)=P(A) P(B)$ 我们就认为他们独立。

请仔细体会上面两句话的区别，这有点类似初中学习的：两直线平行则内错角相等 和 内错角相等则两直线平行。 一个是结论，一个是推断。

例1  抛郑两枚均匀硬币次次, $A=\{$ 第一枚出现正面 $\}, B=\{$ 第二枚出现正面 $\}$  ，判断事件 $A$ 与 $B$ 是否独立的.
解 不难计算

$$
\begin{gathered}
P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{2}, P(B \mid A)=\frac{1}{2}, P(A B)=\frac{1}{4} \\
\text { 可见 } \quad P(B)=P(B \mid A), P(A B)=P(A) P(B)
\end{gathered}
$$

即事件 $A$ 与 $B$ 是独立的.

**定义2**  若事件 $A$ 与 $B$ 独立，则
$A$ 与 $\bar{B} ; \bar{A}$ 与 $B ; \bar{A}$ 与 $\bar{B} ;$
也相互独立. 即有

$$
\begin{aligned}
& P(A B)=P(A) P(B) \\
& P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) P(\bar{B})
\end{aligned}
$$

相应可列出其它等式.

**定义3** 称事件组 $A, B, C$ 是两两独立的，有

$$
\begin{aligned}
& P(A B)=P(A) P(B) \\
& P(B C)=P(B) P(C) \\
& P(A C)=P(A) P(C)
\end{aligned}
$$

**定义4** 称事件组 $A, B, C$ 是相互独立的，有

$$
\begin{gathered}
P(A B)=P(A) P(B) \\
P(B C)=P(B) P(C) \\
P(A C)=P(A) P(C) \\
P(A B C)=P(A) P(B) P(C)
\end{gathered}
$$

独立性的定义可推广到 $n$ 个事件上去.
特别地，当事件 $A_1, A_2, \ldots A_n$, 相互独立时，有

$$
P\left(A_1 A_2 \ldots A_n\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) \ldots P\left(A_n\right)
$$

$$
P\left(\bar{A}_1 \bar{A}_2 \ldots \bar{A}_n\right)=P\left(\bar{A}_1\right) P\left(\bar{A}_2\right) \ldots P\left(\bar{A}_n\right)
$$

**例2** 两射手彼此独立地向同一目标射击, 设甲射中目标的概率为 0.9 , 乙射中目标的概率为 0.8 , 求目标被击中的概率是多少?

解 记 $A$ 为事件 “甲射中目标”, $B$ 为事件 “乙射中目标”. 注意到事件 “目标被击中” $=A \cup B$, 故

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A) P(B)=0.9+0.8-0.9 \times 0.8=0.98 .
$$

此题也可用对立事件公式求解, 具体是

$$
\begin{aligned}
P(A \cup B) & =1-P(\overline{A \cup B})=1-P(\bar{A} \bar{B}) \\
& =1-P(\bar{A}) P(\bar{B})=1-(1-0.9)(1-0.8) \\
& =1-0.1 \times 0.2=0.98 .
\end{aligned}
$$

**例3**  某零件用两种工艺加工, 第一种工艺有三道工序, 各道工序出现不合格品的概率分别为 $0.3,0.2,0.1$; 第二种工艺有两道工序, 各道工序出现不合格品的概率分别为 $0.3,0.2$. 试问:
(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些?
（2）第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时, 情况又如何?
解 以 $A_i$ 记事件 “用第 $i$ 种工艺加工得到合格品”, $i=1,2$.
(1) 由于各道工序可看作是独立工作的, 所以

$$
\begin{aligned}
& P\left(A_1\right)=0.7 \times 0.8 \times 0.9=0.504, \\
& P\left(A_2\right)=0.7 \times 0.8=0.56,
\end{aligned}
$$

即第二种工艺得到合格品的概率较大些. 这个结果也是可以理解的, 因为第二种工艺前两道工序出现不合格品的概率与第一种工艺相同, 但少了一道工序, 所以减少了出现不合格品的机会.
(2) 当第二种工艺的两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时,

$$
P\left(A_2\right)=0.7 \times 0.7=0.49,
$$

即第一种工艺得到合格品的概率较大些.

**例4**  有两名选手比赛射击, 轮流对同一目标进行射击, 甲命中目标的概率为 $\alpha$, 乙命中目标的概率为 $\beta$. 甲先射, 谁先命中谁得胜. 问甲、乙两人获胜的概率各为多少?

解法一 记事件 $A_i$ 为 “第 $i$ 次射击命中目标”, $i=1,2, \cdots$. 因为甲先射, 所以事件 “甲获胜”可以表示为

$$
A_1 \cup \overline{A_1} \overline{A_2} A_3 \cup \overline{A_1} \bar{A}_2 \bar{A}_3 \bar{A}_4 A_5 \cup \cdots .
$$

又因为各次射击是独立的, 所以得

$$
\begin{aligned}
P\{\text { 甲获胜 }\} & =\alpha+(1-\alpha)(1-\beta) \alpha+(1-\alpha)^2(1-\beta)^2 \alpha+\cdots \\
& =\alpha \sum_{i=0}^{\infty}(1-\alpha)^i(1-\beta)^i \\
& =\frac{\alpha}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} .
\end{aligned}
$$

同理可得

$$
\begin{aligned}
P\{\text { 乙获胜 }\} & =P\left(\bar{A}_1 A_2 \cup \bar{A}_1 \bar{A}_2 \bar{A}_3 A_4 \cup \cdots\right) \\
& =(1-\alpha) \beta+(1-\alpha)(1-\beta)(1-\alpha) \beta+\cdots \\
& =\beta(1-\alpha) \sum_{i=0}^{\infty}(1-\alpha)^i(1-\beta)^i \\
& =\frac{\beta(1-\alpha)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} .
\end{aligned}
$$

`例` 甲、 乙二人下象棋, 每局甲胜的概率为 $a$, 乙胜的概率为 $b$ ，为简化问题，设没有和局的情况，这意味着 $a+b=1$ 。

设想甲的棋艺高于乙，即 $a>b$ 。考虑到这一点，他们商定最终胜负的规则如下：到什么时候为止甲连胜了三局而在此之前乙从未连胜二局，则甲胜。反之，若到什么时候为止乙连胜了二局而在此之前甲从末连胜三局，则乙胜。现要求"甲最终取胜"这事件 $A$的概率 $P(A)$ ，及"乙最终取胜"这事件 $B$ 的概率 $P(B)$ 。

为方便计，分别以 $E$ 和 $F$ 表甲、乙在特定的一局取胜的事件，有 $P(E)=a, P(F)=b$ ，现考虑"甲取胜"的事件 $A$ ，分两种情况。
1. 第一局甲胜而最终甲胜了。

这一情况又可分解为许多子情况：对 $n=0,1,2 \cdots$ ，甲经过 $n$个"阶段"后才取胜，每个阶段是 $E F$ 或 $E E F$ ，然后接着来一个 $E E E$ 。例如，甲经过 4 个阶段后获胜的一种可能实战结果为

EEF EF EEF EEE即共下了 11 局甲才获胜, 其中第 $1,2,4,6,7,9,10,11$ 局甲胜, 其余乙胜。

每个阶段不是 $E F$ 就是 $E E F$, 这两种情况互斥, 又由独立性,知每个阶段概率为 $a b+a a b=a b(1+a)$. 再由独立性, 知 "经 $n$ 阶段后甲获胜"的概率，为 $[a b(1+a)]^n a^3 . n$ 可以为 $0,1,2, \cdots$ ，不同的 $n$ 互斥. 于是这部分概率总和为

$$
p=a^3 \sum_{n=0}^{\infty}[a b(1+a)]^n=a^3 /[1-a b(1+a)]
$$

2. 第一局乙胜而最终甲胜了。

既然第一局为 $F$ 而最终甲胜，第二局必须是 $E$ ，故从第二局作起点看。我们回到了情况1，从而这部分的概率为 $b p$ （请读者注意，这里事实上已用了概率的乘法定理： $P$ (第一局乙胜且最终甲胜） $=P$ （第一局乙胜） $P$ （第二局甲胜且最终甲胜），第一项为 $b$ 而后一项为 $p$ 。总合两个情况（它们互斥），用加法定理，得

$$
P(A)=a^3(1+b) /[1-a b(1+a)]
$$

直观上我们觉得，这个竞赛无限期拖下去分不出胜负是不可能的，这意味着 $P(B)=1-P(A)$ 。可是，上述直观看法仍须证明，不如直接算。方法与算 $P(A)$ 一样，但须分三种情况：(1)第一局乙胜。(2)第一局甲胜，第二局乙胜。(3)前两局甲胜，我们把具体计算留给读者（习题 16）。结果为

$$
P(B)=\left(1+\bar{a}+a^2\right) b^2 /[1-a b(1+a)]
$$

由于 $a+b=1$, 极易验证 $P(A)+P(B)=1$.

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