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椭圆（高中）
日期:
2023-08-29 20:36
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### 椭圆的定义 平面内与两个定点$F_1,F_2$ 的距离之和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这2个顶点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 下图给出了椭圆简单的做法：取一条绳索，绳索两段固定在$F_1$ 和$F_2$ ,用铅笔拉直绳索进行旋转，则笔芯的轨迹就是椭圆,其英文称作Ellipse。  ### 椭圆是圆锥曲线的一种 圆，椭圆，抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线，参考下图，通过切割圆锥体，可以得到这四种图形。  ### 椭圆标准方程 在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：设椭圆上一点 $M$ 到两个焦点的距离为$2a$ (1) 焦点在 $x$ 轴时，标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，焦点坐标分布是 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$ ，且 $a^2=b^2+c^2$ (2) 焦点在 $y$ 轴时，标准方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 下面给出证明：  设 $M(x, y)$ 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 $2 c(c>0)$ ，那么焦点 $F_1, F_2$ 的坐标分别是 $(-c, 0),(c, 0)$ ， 又设 $M$ 与 $F_1, F_2$ 的距离的和为 $2 a$ ，由椭圆定义可知 $$ \left|M F_1\right|+\left|M F_2\right|=2 a $$ 因为 $\left|M F_1\right|=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\left|M F_2\right|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 所以 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2 a$ 将坐标一个根式移到右边，得到 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2 a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 将上式两边平方并化简得到 $$ a^2-c x=a \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$ 将上式平方整理得 $$ \left(a^2-c^2\right) x^2+a^2 y^2=a^2\left(a^2-c^2\right) $$ 两边同除以 $a^2-c^2$ 得 $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 $$ 令 $b=\sqrt{a^2-c^2}$ 即得椭圆标准方程: $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $$ ### 离心率的定义 椭圆离心率的定义为: 椭圆的焦距和长轴长的比，即 $\frac{c}{a}$  因 $a>c>0$ 所以， $0<e<1$ ，且 $e$ 越接近1，则 $c$ 月接近 $a$ ，此时椭圆就越扁。 反之， $e$ 越接近 0 ，从而 $b$ 就越接近于 $a$ ，此时椭圆就越接近于圆。 当且晋档 $a=b$ 时，此时 $c=0$ ，椭圆就变成了圆。 参考上图，可以得到离心率的另外一个变形： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} $ 小技巧 如何记住 $e$ 的特性? 看字母，仔细观察， $e$ 接近 0 时，因为 0 是圆的，可以类比记忆，此时椭圆接近圆。 ### 偏心率和准线性质 两条平行于短轴的直线，距离为 $d=\frac{a^2}{c}=\frac{a}{e}$ ，被称为椭圆的准线。  对于任意一点 $P$ 对于椭圆，到一个焦点和相应准线(见图)的距离的商等于偏心率: $$ \frac{\left|P F_1\right|}{\left|P l_1\right|}=\frac{\left|P F_2\right|}{\left|P l_2\right|}=e=\frac{c}{a} . $$ 这一对的证据 $F_1, l_1$ 源于这样一个事实 $\left|P F_1\right|^2=(x-c)^2+y^2,\left|P l_1\right|^2=\left(x-\frac{a^2}{c}\right)^2$ 和 $y^2=b^2-\frac{b^2}{a^2} x^2$ 满足等式 $$ \left|P F_1\right|^2-\frac{c^2}{a^2}\left|P l_1\right|^2=0 \text {. } $$ 对于任何一点 $F$ (焦点)，任何一行 $l$ (准线)不通过 $F$ ，和任何实数 e随着 $0<e<1$, 椭圆是点到直线的距离的商为的点的轨迹 $e$, 那就是: $$ E=\left\{P \mid \frac{|P F|}{|P l|}=e\right\} . $$ 延伸到 $e=0$ ，即圆的偏心率，在欧几里得平面中的这种情况下是不允许的。然而，人们可以认为圆的准线是圆的顶点无限远处的线在椭圆里射影平面. (选择 $e=1$ 产生一条抛物线，如果 $e>1$ ，一条双曲线。)  证明 让 $F=(f, 0), e>0$ ，并假设 $(0,0)$ 是曲线上的一点。准线 $l$ 有等式 $x=-\frac{f}{e}$ 。随着 $P=(x, y)$ ，关系 $|P F|^2=e^2|P l|^2$ 产生方程式 $$ (x-f)^2+y^2=e^2\left(x+\frac{f}{e}\right)^2=(e x+f)^2 \text { 和 } x^2\left(e^2-1\right)+2 x f(1+e)-y^2=0 . $$ 替代品 $p=f(1+e)$ 生产 $$ x^2\left(e^2-1\right)+2 p x-y^2=0 . $$ 这是一个方程式椭圆 $(e<1)$ ，或者一个抛物线 $(e=1)$ ，或者一个双曲线 $(e>1)$. 所有这些非退化二次曲线都 有一个顶点作为原点(见图)。 如果 $e<1$ ，引入新的参数 $a, b$ 以便 $1-e^2=\frac{b^2}{a^2}$, and $p=\frac{b^2}{a}$ ，然后上面的等式就变成了 $$ \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ 哪一个是有圆心的椭圆的方程式 $(a, 0)$ ，的 $x$-轴作为长轴，长/短半轴 $a, b$. 准线的构造 因为 $c \cdot \frac{a^2}{c}=a^2$ 要点 $L_1$ 准线的 $l_1$ (见图表)并聚焦 $F_1$ 相对于圆形反转在圆圈处 $x^2+y^2=a^2$ (在绿色图表中)。 因此 $L_1$ 可以如图所示进行构造。准线 $l_1$ 是点处主轴的垂线 $L_1$. 普通椭圆 如果焦点是 $F=\left(f_1, f_2\right)$ 准线呢 $u x+v y+w=0$ ，我们得到以下等式 $$ \left(x-f_1\right)^2+\left(y-f_2\right)^2=e^2 \frac{(u x+v y+w)^2}{u^2+v^2} $$ 
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