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最后更新: 2023-12-24 06:31    查看: 480 次    高考专区    考研专区    公式专区    刷题专区    词条搜索       

全概率公式

完备事件组

E 为随机试验, Ω 为相应的样本空间, A1,A2,,An 为事件组,若满足
(1) AiAj=(ij),
(2) A1A2An=Ω,
则称该事件组为完备事件组。 比如,扔骰子,观察出现的点数的概率,那么出现,1点,2点,... 到6点的概率就是一个完备事件组,示意图如下

图片

特别是,在实际意义里,我们多取事物的两面性:比如硬币的正面和反面,产品的合格和不合格,成绩的及格和不及格等。他们都满足完备事件组。

全概率公式

全概率公式的定义为

B=i=1nBAi 则有 P(B)=i=1nP(BAi)=i=1nP(Ai)P(BAi)

图片

最简单的形式

全概率公式的最简单形式 假如 0<P(B)<1, 则

P(A)=P(B)P(AB)+P(B¯)P(AB¯).

例1 有三只箱子:
第一个箱子中有四个黑球和一个白球;
第二个箱子中有三个黑球和三个白球;
第三个箱子中有三个黑球和五个白球。
任取一箱, 再从中任取一个球,求取到白球的概率;

解 以 Ai=(i=1,2,3) 分别表示取到的是第 i 个箱子, B 表示取到的是白球, 则事件组 A1,A2,A3 构成一个完备事件组.

 且 P(A1)=P(A2)=P(A3)=13 又 P(BA1)=15,P(BA2)=12,P(BA3)=58 所以,由全概率公式得 P(B)=i=13P(Ai)P(BAi)=13(15+12+58)=53150

例2 (摸彩模型) 设在 n 张彩票中有一张可中奖. 求第二人摸到中奖彩票的概率是多少?

解 设 Ai 表示事件 “第 i 人摸到中奖彩票”, i=1,2,,n. 现在目的是求 P(A2). 因为 A1 是否发生直接关系到 A2 发生的概率, 即

P(A2A1)=0,P(A2A1)=1n1.

A1A¯1 是两个概率大于 0 的事件:

P(A1)=1n,P(A¯1)=n1n.

于是由全概率公式得

P(A2)=P(A1)P(A2A1)+P(A1)P(A2A1)=1n0+n1n1n1=1n.

这表明: 摸到中奖彩票的机会与先后次序无关. 因后者可能处于 “不利状况” (前者已摸到中奖彩票), 但也可能处于 “有利状况” (前者没摸到中奖彩票, 从而增加后者摸到中奖彩票的机会), 两种状况用全概率公式综合 (加权平均) 所得结果 (机会均等) 既公平又合情理.
用类似的方法可得

P(A3)=P(A4)==P(An)=1n.

如果设 n 张彩票中有 k(n) 张可中奖,则可得

P(A1)=P(A2)==P(An)=kn.

这说明,购买彩票时, 不论先买后买, 中奖机会是均等的.

例3 保险公司认为某险种的投保人可以分成两类: 一类为易出事故者,另一类为安全者. 统计表明: 一个易出事故者在一年内发生事故的概率为 0.4 , 而安全者这个概率则减少为 0.1 . 若假定易出事故者占此险种投保人的比例为 20%.现有一个新的投保人来投保此险种, 问该投保人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大?

解 记 A= “投保人在一年内出事故”, B= “投保人为易出事故者,则 B¯= “投保人为安全者”, 且 P(B¯)=0.8. 由全概率公式得

P(A)=P(B)P(AB)+P(B¯)P(AB¯)=0.2×0.4+0.8×0.1=0.16.

例4 (敏感性问题调查) 学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影响其身心健康发展. 但这些都是避着教师与家长进行的, 属个人隐私行为. 现在要设计一个调查方案, 从调查数据中估计出学生中看过黄色书刊或影像的比率 p.

像这类敏感性问题的调查是社会调查的一类, 如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率、经营者中偷税漏税户的比率、学生中考试作弊的比率等等.

对敏感性问题的调查方案, 关键要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.一旦调查方案设计有误, 被调查者就会拒绝配合, 所得调查数据将失去真实性. 经过多年研究和实践, 一些心理学家和统计学家设计了一种调查方案, 在这个方案中被调查者只需回答以下两个问题中的一个问题, 而且只需回答 “是” 或 “否”.
问题 A : 你的生日是否在 7 月 1 日之前?
问题 B: 你是否看过黄色书刊或影像?
这个调查方案看似简单, 但为了消除被调查者的顾虑, 使被调查者确信他 (她) 参加这次调查不会泄露个人秘密,在操作上有以下关键点:
(1)被调查者在没有旁人的情况下,独自一人在一个房间内操作和回答问题.
(2) 被调查者从一个罐子中随机抽一只球, 看过颜色后即放回. 若抽到白球, 则回答问题 A; 若抽到红球, 则回答问题 B. 且罐中只有白球和红球.
被调查者无论回答问题 A 或问题 B, 只需在答卷 (见图 ) 上认可的方框内打钩, 然后把答卷放人一只密封的投票箱内.
图片

如此的调查方法, 主要在于旁人无法知道被调查者回答的是问题 A 还是问题 B, 由此可以极大地消除被调查者的顾虑.

现在的问题是如何分析调查的结果.很显然,我们对问题 A 是不感兴趣的.
首先我们设有 n 张答卷 ( n 较大,譬如 1000 以上), 其中有 k 张回答 “是”. 而我们又无法知道此 n 张答卷中有多少张是回答问题 B 的, 同样无法知道 k 张回答 “是” 的答卷中有多少张是回答问题 B 的. 但有两个信息我们是预先知道的, 即
(1) 在参加人数较多的场合, 任选一人其生日在 7 月 1 日之前的概率为 0.5 .
(2)罐中红球的比率 π 已知. 现在就要利用这 4 个数据 (n,k,0.5,π) 求出 p. 因为由全概率公式得

P( 是 )=P( 白球 )P( 是 | 白球 )+P( 红球 )P (是 | 红球 ).

所以, 将 P( 红球 )=π,P( 白球 )=1π,P( 白球 )=0.5,P (是 红球 )=p 代人上式右边, 而上式左边用频率 k/n 代替, 得

kn=0.5(1π)+pπ.

由此得

p=k/n0.5(1π)π.

因为我们用频率 k/n 代替了概率 P (是), 所以从上式得到的是 p 的估计.

例如, 在一次实际调查中, 罐中放有红球 30 个、白球 20 个, 则 π=0.6, 调查结束后共收到 1583 张有效答卷, 其中有 389 张回答 “是”, 由此可计算得

p=389/15830.5×0.40.6=0.0762.

这表明: 约有 7.62% 的学生看过黄色书刊或影像.

例5 甲、乙、丙三个厂家生产同一种产品, 其市场份额分别为 20%50%30%, 由长期经验知,三家的次品率分别为 0.02,0.01 和 0.025 , 现从市场买一件这样的产品, 则买到正品的概率为?

P(A1)=0.2;P(BA1)=0.02P(A2)=0.5,P(BA2)=0.01P(A3)=0.3;P(BA3)=0.025A1+A2+A3=Ω

由全概率公式

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(BA1)P(A1)+P(BA2)P(A2)+P(BA3)P(A3)=0.0165

上面求的是次品的概率,所以最终得到正品的概率为 10.0165=0.9835


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