最后更新: 2023-12-24 06:31 查看: 585 次反馈同步训练

全概率公式

## 完备事件组

设 $E$ 为随机试验, $\Omega$ 为相应的样本空间， $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为事件组，若满足
(1) $A_i A_j=\varnothing(i \neq j)$,
(2) $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n=\Omega$,
则称该事件组为完备事件组。 比如，扔骰子，观察出现的点数的概率，那么出现，1点，2点，... 到6点的概率就是一个完备事件组，示意图如下

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010382fef30.png){width=300px}

特别是，在实际意义里，我们多取事物的两面性：比如硬币的正面和反面，产品的合格和不合格，成绩的及格和不及格等。他们都满足完备事件组。

## 全概率公式

全概率公式的定义为

$$
B=\bigcup_{i=1}^n B A_i \quad \text { 则有 } \quad P(B)=\sum_{i=1}^n P\left(B A_i\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103acead0b.png){width=300px}

## 最简单的形式

全概率公式的最简单形式 假如 $0<P(B)<1$, 则

$$
P(A)=P(B) P(A \mid B)+P(\bar{B}) P(A \mid \bar{B}) .
$$

**例1**  有三只箱子:
第一个箱子中有四个黑球和一个白球;
第二个箱子中有三个黑球和三个白球;
第三个箱子中有三个黑球和五个白球。
任取一箱, 再从中任取一个球，求取到白球的概率;

解 以 $A_i=(i=1,2,3)$ 分别表示取到的是第 $i$ 个箱子， $B$ 表示取到的是白球， 则事件组 $A_1, A_2, A_3$ 构成一个完备事件组.

$$
\begin{aligned}
& \text { 且 } \quad P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=P\left(A_3\right)=\frac{1}{3} \\
& \text { 又 } P\left(B \mid A_1\right)=\frac{1}{5}, P\left(B \mid A_2\right)=\frac{1}{2}, P\left(B \mid A_3\right)=\frac{5}{8} \\
& \text { 所以，由全概率公式得 } P(B)=\sum_{i=1}^3 P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)=\frac{1}{3} *\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{5}{8}\right)=\frac{53}{150} \\
\end{aligned}
$$

**例2**  (摸彩模型) 设在 $n$ 张彩票中有一张可中奖. 求第二人摸到中奖彩票的概率是多少?

解 设 $A_i$ 表示事件 “第 $i$ 人摸到中奖彩票”, $i=1,2, \cdots, n$. 现在目的是求 $P\left(A_2\right)$. 因为 $A_1$ 是否发生直接关系到 $A_2$ 发生的概率, 即

$$
P\left(A_2 \mid A_1\right)=0, \quad P\left(A_2 \mid \overline{A_1}\right)=\frac{1}{n-1} .
$$

而 $A_1$ 与 $\bar{A}_1$ 是两个概率大于 0 的事件:

$$
P\left(A_1\right)=\frac{1}{n}, \quad P\left(\bar{A}_1\right)=\frac{n-1}{n} .
$$

于是由全概率公式得

$$
P\left(A_2\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right)+P\left(\overline{A_1}\right) P\left(A_2 \mid \overline{A_1}\right)=\frac{1}{n} \cdot 0+\frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1}=\frac{1}{n} .
$$

这表明: 摸到中奖彩票的机会与先后次序无关. 因后者可能处于 “不利状况” (前者已摸到中奖彩票), 但也可能处于 “有利状况” (前者没摸到中奖彩票, 从而增加后者摸到中奖彩票的机会), 两种状况用全概率公式综合 (加权平均) 所得结果 (机会均等) 既公平又合情理.
用类似的方法可得

$$
P\left(A_3\right)=P\left(A_4\right)=\cdots=P\left(A_n\right)=\frac{1}{n} .
$$

如果设 $n$ 张彩票中有 $k(\leqslant n)$ 张可中奖,则可得

$$
P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=\cdots=P\left(A_n\right)=\frac{k}{n} .
$$

这说明,购买彩票时, 不论先买后买, 中奖机会是均等的.

**例3** 保险公司认为某险种的投保人可以分成两类: 一类为易出事故者,另一类为安全者. 统计表明: 一个易出事故者在一年内发生事故的概率为 0.4 , 而安全者这个概率则减少为 0.1 . 若假定易出事故者占此险种投保人的比例为 $20 \%$.现有一个新的投保人来投保此险种, 问该投保人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大?

解 记 $A=$ “投保人在一年内出事故”, $B=$ “投保人为易出事故者,则 $\bar{B}=$ “投保人为安全者”, 且 $P(\bar{B})=0.8$. 由全概率公式得

$$
P(A)=P(B) P(A \mid B)+P(\bar{B}) P(A \mid \bar{B})=0.2 \times 0.4+0.8 \times 0.1=0.16 .
$$

**例4**  (敏感性问题调查) 学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影响其身心健康发展. 但这些都是避着教师与家长进行的, 属个人隐私行为. 现在要设计一个调查方案, 从调查数据

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