概率论与数理统计

最后更新: 2023-12-24 06:31 查看: 480 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

全概率公式

完备事件组

设 $E$ 为随机试验, $Ω$ 为相应的样本空间， $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 为事件组，若满足
(1) $A_{i} A_{j} = \emptyset (i \neq j)$ ,
(2) $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = Ω$ ,
则称该事件组为完备事件组。比如，扔骰子，观察出现的点数的概率，那么出现，1点，2点，... 到6点的概率就是一个完备事件组，示意图如下

特别是，在实际意义里，我们多取事物的两面性：比如硬币的正面和反面，产品的合格和不合格，成绩的及格和不及格等。他们都满足完备事件组。

全概率公式

全概率公式的定义为

B = ⋃_{i = 1}^{n} B A_{i} 则有 P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (B A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})

最简单的形式

全概率公式的最简单形式假如 $0 < P (B) < 1$ , 则

P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\bar{B}) P (A ∣ \bar{B}) .

例1 有三只箱子:
第一个箱子中有四个黑球和一个白球;
第二个箱子中有三个黑球和三个白球;
第三个箱子中有三个黑球和五个白球。
任取一箱, 再从中任取一个球，求取到白球的概率;

解以 $A_{i} = (i = 1, 2, 3)$ 分别表示取到的是第 $i$ 个箱子， $B$ 表示取到的是白球，则事件组 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 构成一个完备事件组.

\begin{aligned} 且 P (A_{1}) = P (A_{2}) = P (A_{3}) = \frac{1}{3} \\ 又 P (B ∣ A_{1}) = \frac{1}{5}, P (B ∣ A_{2}) = \frac{1}{2}, P (B ∣ A_{3}) = \frac{5}{8} \\ 所以，由全概率公式得 P (B) = \sum_{i = 1}^{3} P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) = \frac{1}{3} * (\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{5}{8}) = \frac{53}{150} \end{aligned}

例2 (摸彩模型) 设在 $n$ 张彩票中有一张可中奖. 求第二人摸到中奖彩票的概率是多少?

解设 $A_{i}$ 表示事件 “第 $i$ 人摸到中奖彩票”, $i = 1, 2, \dots, n$ . 现在目的是求 $P (A_{2})$ . 因为 $A_{1}$ 是否发生直接关系到 $A_{2}$ 发生的概率, 即

P (A_{2} ∣ A_{1}) = 0, P (A_{2} ∣ \overset{―}{A_{1}}) = \frac{1}{n - 1} .

而 $A_{1}$ 与 ${\bar{A}}_{1}$ 是两个概率大于 0 的事件:

P (A_{1}) = \frac{1}{n}, P ({\bar{A}}_{1}) = \frac{n - 1}{n} .

于是由全概率公式得

P (A_{2}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) + P (\overset{―}{A_{1}}) P (A_{2} ∣ \overset{―}{A_{1}}) = \frac{1}{n} \cdot 0 + \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{1}{n - 1} = \frac{1}{n} .

这表明: 摸到中奖彩票的机会与先后次序无关. 因后者可能处于 “不利状况” (前者已摸到中奖彩票), 但也可能处于 “有利状况” (前者没摸到中奖彩票, 从而增加后者摸到中奖彩票的机会), 两种状况用全概率公式综合 (加权平均) 所得结果 (机会均等) 既公平又合情理.
用类似的方法可得

P (A_{3}) = P (A_{4}) = \dots = P (A_{n}) = \frac{1}{n} .

如果设 $n$ 张彩票中有 $k (⩽ n)$ 张可中奖,则可得

P (A_{1}) = P (A_{2}) = \dots = P (A_{n}) = \frac{k}{n} .

这说明,购买彩票时, 不论先买后买, 中奖机会是均等的.

例3 保险公司认为某险种的投保人可以分成两类: 一类为易出事故者,另一类为安全者. 统计表明: 一个易出事故者在一年内发生事故的概率为 0.4 , 而安全者这个概率则减少为 0.1 . 若假定易出事故者占此险种投保人的比例为 $20 %$ .现有一个新的投保人来投保此险种, 问该投保人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大?

解记 $A =$ “投保人在一年内出事故”, $B =$ “投保人为易出事故者,则 $\bar{B} =$ “投保人为安全者”, 且 $P (\bar{B}) = 0.8$ . 由全概率公式得

P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\bar{B}) P (A ∣ \bar{B}) = 0.2 \times 0.4 + 0.8 \times 0.1 = 0.16 .

例4 (敏感性问题调查) 学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影响其身心健康发展. 但这些都是避着教师与家长进行的, 属个人隐私行为. 现在要设计一个调查方案, 从调查数据中估计出学生中看过黄色书刊或影像的比率 $p$ .

像这类敏感性问题的调查是社会调查的一类, 如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率、经营者中偷税漏税户的比率、学生中考试作弊的比率等等.

对敏感性问题的调查方案, 关键要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.一旦调查方案设计有误, 被调查者就会拒绝配合, 所得调查数据将失去真实性. 经过多年研究和实践, 一些心理学家和统计学家设计了一种调查方案, 在这个方案中被调查者只需回答以下两个问题中的一个问题, 而且只需回答 “是” 或 “否”.
问题 $A$ : 你的生日是否在 7 月 1 日之前?
问题 $B$ : 你是否看过黄色书刊或影像?
这个调查方案看似简单, 但为了消除被调查者的顾虑, 使被调查者确信他 (她) 参加这次调查不会泄露个人秘密,在操作上有以下关键点：
（1）被调查者在没有旁人的情况下,独自一人在一个房间内操作和回答问题.
(2) 被调查者从一个罐子中随机抽一只球, 看过颜色后即放回. 若抽到白球, 则回答问题 $A$ ; 若抽到红球, 则回答问题 $B$ . 且罐中只有白球和红球.
被调查者无论回答问题 $A$ 或问题 $B$ , 只需在答卷 (见图 ) 上认可的方框内打钩, 然后把答卷放人一只密封的投票箱内.

如此的调查方法, 主要在于旁人无法知道被调查者回答的是问题 A 还是问题 $B$ , 由此可以极大地消除被调查者的顾虑.

现在的问题是如何分析调查的结果.很显然,我们对问题 $A$ 是不感兴趣的.
首先我们设有 $n$ 张答卷 ( $n$ 较大,譬如 1000 以上), 其中有 $k$ 张回答 “是”. 而我们又无法知道此 $n$ 张答卷中有多少张是回答问题 $B$ 的, 同样无法知道 $k$ 张回答 “是” 的答卷中有多少张是回答问题 $B$ 的. 但有两个信息我们是预先知道的, 即
(1) 在参加人数较多的场合, 任选一人其生日在 7 月 1 日之前的概率为 0.5 .
（2）罐中红球的比率 $π$ 已知. 现在就要利用这 4 个数据 $(n, k, 0.5, π)$ 求出 $p$ . 因为由全概率公式得

P (是) = P (白球) P (是 | 白球) + P (红球) P (是 | 红球) .

所以, 将 $P ($ 红球 $) = π, P ($ 白球 $) = 1 - π, P ($ 是 $∣$ 白球 $) = 0.5, P$ (是 $∣$ 红球 $) = p$ 代人上式右边, 而上式左边用频率 $k / n$ 代替, 得

\frac{k}{n} = 0.5 (1 - π) + p \cdot π .

由此得

p = \frac{k / n - 0.5 (1 - π)}{π} .

因为我们用频率 $k / n$ 代替了概率 $P$ (是), 所以从上式得到的是 $p$ 的估计.

例如, 在一次实际调查中, 罐中放有红球 30 个、白球 20 个, 则 $π = 0.6$ , 调查结束后共收到 1583 张有效答卷, 其中有 389 张回答 “是”, 由此可计算得

p = \frac{389 / 1583 - 0.5 \times 0.4}{0.6} = 0.0762 .

这表明: 约有 $7.62 %$ 的学生看过黄色书刊或影像.

例5 甲、乙、丙三个厂家生产同一种产品, 其市场份额分别为 $20 % ， 50 %$ 和 $30 %$ , 由长期经验知，三家的次品率分别为 $0.02, 0.01$ 和 0.025 , 现从市场买一件这样的产品, 则买到正品的概率为？

解

\begin{matrix} P (A_{1}) = 0.2; P (B ∣ A_{1}) = 0.02 \\ P (A_{2}) = 0.5, P (B ∣ A_{2}) = 0.01 \\ P (A_{3}) = 0.3; P (B ∣ A_{3}) = 0.025 \\ A_{1} + A_{2} + A_{3} = Ω \end{matrix}

由全概率公式

\begin{aligned} P (B) = P (A_{1} B) + P (A_{2} B) + P (A_{3} B) \\ = P (B ∣ A_{1}) P (A_{1}) + P (B ∣ A_{2}) P (A_{2}) \\ + P (B ∣ A_{3}) P (A_{3}) \\ = 0.0165 \end{aligned}

上面求的是次品的概率，所以最终得到正品的概率为 $1 - 0.0165 = 0.9835$

## 完备事件组

设 $E$ 为随机试验, $\Omega$ 为相应的样本空间， $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为事件组，若满足
(1) $A_i A_j=\varnothing(i \neq j)$,
(2) $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n=\Omega$,
则称该事件组为完备事件组。 比如，扔骰子，观察出现的点数的概率，那么出现，1点，2点，... 到6点的概率就是一个完备事件组，示意图如下

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010382fef30.png){width=300px}

特别是，在实际意义里，我们多取事物的两面性：比如硬币的正面和反面，产品的合格和不合格，成绩的及格和不及格等。他们都满足完备事件组。

## 全概率公式

全概率公式的定义为

$$
B=\bigcup_{i=1}^n B A_i \quad \text { 则有 } \quad P(B)=\sum_{i=1}^n P\left(B A_i\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103acead0b.png){width=300px}

## 最简单的形式

全概率公式的最简单形式 假如 $0<P(B)<1$, 则

$$
P(A)=P(B) P(A \mid B)+P(\bar{B}) P(A \mid \bar{B}) .
$$

**例1**  有三只箱子:
第一个箱子中有四个黑球和一个白球;
第二个箱子中有三个黑球和三个白球;
第三个箱子中有三个黑球和五个白球。
任取一箱, 再从中任取一个球，求取到白球的概率;

解 以 $A_i=(i=1,2,3)$ 分别表示取到的是第 $i$ 个箱子， $B$ 表示取到的是白球， 则事件组 $A_1, A_2, A_3$ 构成一个完备事件组.

$$
\begin{aligned}
& \text { 且 } \quad P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=P\left(A_3\right)=\frac{1}{3} \\
& \text { 又 } P\left(B \mid A_1\right)=\frac{1}{5}, P\left(B \mid A_2\right)=\frac{1}{2}, P\left(B \mid A_3\right)=\frac{5}{8} \\
& \text { 所以，由全概率公式得 } P(B)=\sum_{i=1}^3 P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)=\frac{1}{3} *\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{5}{8}\right)=\frac{53}{150} \\
\end{aligned}
$$

**例2**  (摸彩模型) 设在 $n$ 张彩票中有一张可中奖. 求第二人摸到中奖彩票的概率是多少?

解 设 $A_i$ 表示事件 “第 $i$ 人摸到中奖彩票”, $i=1,2, \cdots, n$. 现在目的是求 $P\left(A_2\right)$. 因为 $A_1$ 是否发生直接关系到 $A_2$ 发生的概率, 即

$$
P\left(A_2 \mid A_1\right)=0, \quad P\left(A_2 \mid \overline{A_1}\right)=\frac{1}{n-1} .
$$

而 $A_1$ 与 $\bar{A}_1$ 是两个概率大于 0 的事件:

$$
P\left(A_1\right)=\frac{1}{n}, \quad P\left(\bar{A}_1\right)=\frac{n-1}{n} .
$$

于是由全概率公式得

$$
P\left(A_2\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right)+P\left(\overline{A_1}\right) P\left(A_2 \mid \overline{A_1}\right)=\frac{1}{n} \cdot 0+\frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1}=\frac{1}{n} .
$$

$$
P\left(A_3\right)=P\left(A_4\right)=\cdots=P\left(A_n\right)=\frac{1}{n} .
$$

如果设 $n$ 张彩票中有 $k(\leqslant n)$ 张可中奖,则可得

$$
P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=\cdots=P\left(A_n\right)=\frac{k}{n} .
$$

这说明,购买彩票时, 不论先买后买, 中奖机会是均等的.

**例3** 保险公司认为某险种的投保人可以分成两类: 一类为易出事故者,另一类为安全者. 统计表明: 一个易出事故者在一年内发生事故的概率为 0.4 , 而安全者这个概率则减少为 0.1 . 若假定易出事故者占此险种投保人的比例为 $20 \%$.现有一个新的投保人来投保此险种, 问该投保人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大?

解 记 $A=$ “投保人在一年内出事故”, $B=$ “投保人为易出事故者,则 $\bar{B}=$ “投保人为安全者”, 且 $P(\bar{B})=0.8$. 由全概率公式得

$$
P(A)=P(B) P(A \mid B)+P(\bar{B}) P(A \mid \bar{B})=0.2 \times 0.4+0.8 \times 0.1=0.16 .
$$

**例4**  (敏感性问题调查) 学生阅读黄色书刊和观看黄色影像会严重影响其身心健康发展. 但这些都是避着教师与家长进行的, 属个人隐私行为. 现在要设计一个调查方案, 从调查数据中估计出学生中看过黄色书刊或影像的比率 $p$.

像这类敏感性问题的调查是社会调查的一类, 如一群人中参加赌博的比率、吸毒人的比率、经营者中偷税漏税户的比率、学生中考试作弊的比率等等.

对敏感性问题的调查方案, 关键要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密.一旦调查方案设计有误, 被调查者就会拒绝配合, 所得调查数据将失去真实性. 经过多年研究和实践, 一些心理学家和统计学家设计了一种调查方案, 在这个方案中被调查者只需回答以下两个问题中的一个问题, 而且只需回答 “是” 或 “否”.
问题 ${A}$ : 你的生日是否在 7 月 1 日之前?
问题 ${B}$: 你是否看过黄色书刊或影像?
这个调查方案看似简单, 但为了消除被调查者的顾虑, 使被调查者确信他 (她) 参加这次调查不会泄露个人秘密,在操作上有以下关键点：
（1）被调查者在没有旁人的情况下,独自一人在一个房间内操作和回答问题.
(2) 被调查者从一个罐子中随机抽一只球, 看过颜色后即放回. 若抽到白球, 则回答问题 $A$; 若抽到红球, 则回答问题 $B$. 且罐中只有白球和红球.
被调查者无论回答问题 $\mathrm{A}$ 或问题 $\mathrm{B}$, 只需在答卷 (见图 ) 上认可的方框内打钩, 然后把答卷放人一只密封的投票箱内.
![图片](/uploads/2023-12/image_20231224317f579.png)

如此的调查方法, 主要在于旁人无法知道被调查者回答的是问题 A 还是问题 $\mathrm{B}$, 由此可以极大地消除被调查者的顾虑.

现在的问题是如何分析调查的结果.很显然,我们对问题 $A$ 是不感兴趣的.
首先我们设有 $n$ 张答卷 ( $n$ 较大,譬如 1000 以上), 其中有 $k$ 张回答 “是”. 而我们又无法知道此 $n$ 张答卷中有多少张是回答问题 $\mathrm{B}$ 的, 同样无法知道 $k$ 张回答 “是” 的答卷中有多少张是回答问题 $\mathrm{B}$ 的. 但有两个信息我们是预先知道的, 即
(1) 在参加人数较多的场合, 任选一人其生日在 7 月 1 日之前的概率为 0.5 .
（2）罐中红球的比率 $\pi$ 已知. 现在就要利用这 4 个数据 $(n, k, 0.5, \pi)$ 求出 $p$. 因为由全概率公式得

$$
P(\text { 是 })=P(\text { 白球 }) P(\text { 是 | 白球 })+P(\text { 红球 }) P \text { (是 | 红球 }) .
$$

所以, 将 $P($ 红球 $)=\pi, P($ 白球 $)=1-\pi, P($ 是 $\mid$ 白球 $)=0.5, P$ (是 $\mid$ 红球 $)=p$ 代人上式右边, 而上式左边用频率 $k / n$ 代替, 得

$$
\frac{k}{n}=0.5(1-\pi)+p \cdot \pi .
$$

由此得

$$
p=\frac{k / n-0.5(1-\pi)}{\pi} .
$$

因为我们用频率 $k / n$ 代替了概率 $P$ (是), 所以从上式得到的是 $p$ 的估计.

例如, 在一次实际调查中, 罐中放有红球 30 个、白球 20 个, 则 $\pi=0.6$, 调查结束后共收到 1583 张有效答卷, 其中有 389 张回答 “是”, 由此可计算得

$$
p=\frac{389 / 1583-0.5 \times 0.4}{0.6}=0.0762 .
$$

这表明: 约有 $7.62 \%$ 的学生看过黄色书刊或影像.

**例5** 甲、乙、丙三个厂家生产同一种产品, 其市场份额分别为 $20 \% ， 50 \%$ 和 $30 \%$, 由长期经验知，三家的次品率分别为 $0.02,0.01$ 和 0.025 , 现从市场买一件这样的产品, 则买到正品的概率为？

解

$$
\begin{gathered}
P\left(A_1\right)=0.2 ; \quad P\left(B \mid A_1\right)=0.02 \\
P\left(A_2\right)=0.5, \quad P\left(B \mid A_2\right)=0.01 \\
P\left(A_3\right)=0.3 ; \quad P\left(B \mid A_3\right)=0.025 \\
A_1+A_2+A_3=\Omega
\end{gathered}
$$

由全概率公式

$$
\begin{aligned}
& P(B)=P\left(A_1 B\right)+P\left(A_2 B\right)+P\left(A_3 B\right) \\
& =P\left(B \mid A_1\right) P\left(A_1\right)+P\left(B \mid A_2\right) P\left(A_2\right) \\
& +P\left(B \mid A_3\right) P\left(A_3\right) \\
&=0.0165
\end{aligned}
$$

上面求的是次品的概率，所以最终得到正品的概率为 $1-0.0165=0.9835 $

上一篇：乘法公式与罐子模型

下一篇：贝叶斯公式

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)