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椭圆（漫谈）
日期:
2023-05-23 21:37
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### 椭圆漫谈 椭圆常见于物理学, 天文学和工程。例如，在轨道地球上每个星球的太阳系大约是一个椭圆，太阳在一个焦点上(更准确地说，焦点是重心太阳-行星对)。同样的道理也适用于围绕行星运行的卫星和所有其他两个天体的系统。 行星和恒星的形状经常被描述为椭圆体。从侧面看，圆看起来像椭圆:也就是说，椭圆是下面的圆的像平行的或者透视投影。椭圆也是最简单Lissajous curve图形。 在解析几何里，椭圆被定义为二次曲面里点的集合，即点的集合 $(X, Y)$ 在笛卡尔平面在下面方程的解的集合， $$ A X^2+B X Y+C Y^2+D X+E Y+F=0 $$ 假如 $B^2-4 A C<0$. 令 $$ \Delta=\left|\begin{array}{ccc} A & \frac{1}{2} B & \frac{1}{2} D \\ \frac{1}{2} B & C & \frac{1}{2} E \\ \frac{1}{2} D & \frac{1}{2} E & F \end{array}\right|=\left(A C-\frac{1}{4} B^2\right) F+\frac{1}{4} B E D-\frac{1}{4} C D^2-\frac{1}{4} A E^2 $$ 在数学里，定义 当长轴固定，短轴不断缩小时，椭圆退化为线段 当短轴固定，长轴不断变大时，椭圆退化为直线 当长轴和短轴不断接近或两焦点不断靠近时，椭圆退化为圆。 因此 椭圆是非退化椭圆当且仅当 $\Delta< 0 $. 如果 $\Delta > 0 $，我们有一个椭圆，如果 $\Delta = 0 $，我们有一个点椭圆。 ### 椭圆的参数方程 使用三角函数可以表示椭圆，标准椭圆的直角坐标系里方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$， 参考下图  如果采用三角函数，则点左边可以表示为 $$ (x, y)=(a \cos t, b \sin t), 0 \leq t<2 \pi $$ 参数t在天文学中被称作偏近点角 如果令 $u=\tan \left(\frac{t}{2}\right)$ 根据三角变换和万能公式，可以得到 $$ \cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2}, \quad \sin t=\frac{2 u}{1+u^2} $$ 则椭圆可以表示为 $$ \begin{aligned} & x(u)=a \frac{1-u^2}{1+u^2}, \quad-\infty<u<\infty \\ & y(u)=b \frac{2 u}{1+u^2} \end{aligned} $$ 覆盖了椭圆的任意一点 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 但是不包含左边的顶点 $(-a, 0)$. 当 $u \in[0,1]$, 此公式表示椭圆的右上四分之一随着增加而逆时针移动 $u$. 左边的顶点是极限 $\lim _{u \rightarrow \pm \infty}(x(u), y(u))=(-a, 0)$. 如果参数 $[u: v]$ 被认为是实射影线 $\mathbf{P}(\mathbf{R})$ ，则相应的有理参数化为 $$ [u: v] \mapsto\left(a \frac{v^2-u^2}{v^2+u^2}, b \frac{2 u v}{v^2+u^2}\right) \text {. } $$ 然后 $[1: 0] \mapsto(-a, 0)$. 圆锥曲线的有理表示通常用于计算机辅助设计，比如在计算机里常用的贝塞尔曲线 ### 椭圆仿射变换 任何的椭圆都可以看成是单位圆方程 $x^2+y^2=1$进行的空间仿射变换.  欧几里得平面的仿射变换具有以下形式 $\vec{x} \mapsto \vec{f}_0+A \vec{x}$ ，在那里 $A$ 是正常矩阵(非零值) 和 $\vec{f}_0$ 是任意向量。如果 $\vec{f}_1, \vec{f}_2$ 是矩阵的列向量 $A$ ， 单位圆 $(\cos (t), \sin (t)), 0 \leq t \leq 2 \pi$ ，映射到 椭圆上: $$ \vec{x}=\vec{p}(t)=\vec{f}_0+\vec{f}_1 \cos t+\vec{f}_2 \sin t $$ 这里 $\vec{f}_0$ 是中心和 $\vec{f}_1, \vec{f}_2$ 是两个方向共轭直径，一般不垂直。 ### 极坐标形式 （1）原点在椭圆的中心点的极坐标形式 在椭圆采用极坐标时，原点在椭圆的中心，角坐标为 $\theta$ 从长轴开始测量，椭圆的极坐标方程式为 $$ r(\theta)=\frac{a b}{\sqrt{(b \cos \theta)^2+(a \sin \theta)^2}}=\frac{b}{\sqrt{1-(e \cos \theta)^2}} $$  注意：这里 $e$ 是偏心率，不是欧拉数 （2）原点在椭圆的焦点的极坐标形式 如果我们使用极坐标，原点在一个焦点，角度坐标 $\theta=0$ 仍然从长轴测量，椭圆的方程式是 $$ r(\theta)=\frac{a\left(1-e^2\right)}{1 \pm e \cos \theta} $$ 其中分母中的符号为负，如果参考方向 $\theta=0$ 指向中心(如右图所示)，如果该方向远离中心，则为正。 在一个焦点在原点而另一个焦点在角坐标的椭圆的稍微更一般的情况下 $\phi$ ，极性形式是 $$ r(\theta)=\frac{a\left(1-e^2\right)}{1-e \cos (\theta-\phi)} . $$ 角度 $\theta$ 在这些公式中称为真近点角的重点。这些公式的分子是圆锥曲线$\ell=a\left(1-e^2\right)$.  ### 焦点对焦点反射特性 椭圆具有以下特性: 某一点的法线 $P$ 平分两条线之间的角度 $\overline{P F_1}, \overline{P F_2}$. 证明 因为切线垂直于法线，所以该陈述对于切线和焦点线之间的夹角的补角也是正确的(见图)。  让 $L$ 成为线上的点 $\overline{P F_2}$ 随着距离 $2 a$ 聚焦 $F_2 ， a$ 是椭圆的半长轴。让线 $w$ 是两条线之间的夹角的补角的平分线 $\overline{P F_1}, \overline{P F_2}$ 。为了证明这一点 $w$ 是点的切线 $P$ ，检查任何一点 $Q$ 在线的 $w$ 这不同于 $P$ 不能在椭圆上。因此 $w$ 只有一点 $P$ 与椭圆相同，因此是点的切线 $P$. 从图表和三角不等式人们认识到 $2 a=\left|L F_2\right|<\left|Q F_2\right|+|Q L|=\left|Q F_2\right|+\left|Q F_1\right|$ 保持，这意味着: $\left|Q F_2\right|+\left|Q F_1\right|>2 a$ 。平等 $|Q L|=\left|Q F_1\right|$ 是真实的角平分线定理因为 $\frac{|P L|}{\left|P F_1\right|}=\frac{|Q L|}{\left|Q F_1\right|}$ 和 $|P L|=\left|P F_1\right|$ 。但是如果 $Q$ 是椭圆的一个点，总和应该是 $2 a$. 应用 来自一个焦点的光线被椭圆反射到第二个焦点。这种特性在光学和声学方面的应用类似于抛物线的反射特性。 ### 共轭直径 平行弦的中点位于直径上。  仿射变换保持平行度和线段的中点，因此该属性对任何椭圆都成立。(注意，平行弦 和直径不再正交。) 定义 两种直径 $d_1, d_2$ 椭圆的长度是共轭的如果弦的中点平行于 $d_1$ 依赖 $d_2$. 从图中我们可以发现: 两种直径 $\overline{P_1 Q_1}, \overline{P_2 Q_2}$ 椭圆的切线是共轭的 $P_1$ 和 $Q_1$ 平行于 $\overline{P_2 Q_2}$. 椭圆中共轭直径概括了圆中的正交直径。 在上面给出的一般椭圆的参数方程中， $$ \vec{x}=\vec{p}(t)=\vec{f}_0+\vec{f}_1 \cos t+\vec{f}_2 \sin t $$ 任何一对点 $\vec{p}(t), \vec{p}(t+\pi)$ 属于一个直径，和一对 $\vec{p}\left(t+\frac{\pi}{2}\right), \vec{p}\left(t-\frac{\pi}{2}\right)$ 属于它的共轭直径。 对于公共参数表示 $(a \cos t, b \sin t)$ 椭圆的方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 一是得分 $$ \begin{array}{ll} \left(x_1, y_1\right)=( \pm a \cos t, \pm b \sin t) & \text { (符号:(+、) 或 }(--)) \\ \left(x_2, y_2\right)=(\mp a \sin t, \pm b \cos t) & \text { (符号:(-+)或 }(+-)) \end{array} $$ 是共轭的 $$ \frac{x_1 x_2}{a^2}+\frac{y_1 y_2}{b^2}=0 \text {. } $$ 在圆形的情况下，最后一个等式折疍成 $x_1 x_2+y_1 y_2=0$. ### 正交切线 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的交叉点直角的切线位于圆上 $x^2+y^2=a^2+b^2$. 这个圆圈叫做直视圆 
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