全概率公式与贝叶斯公式

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 37 次更新导出Word

完备事件组
设 $E$ 为随机试验, $\Omega$ 为相应的样本空间， $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为事件组，若满足
(1) $A_i A_j=\varnothing(i \neq j)$,
(2) $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n=\Omega$,
则称该事件组为完备事件组.

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定理1 全概率公式

$$
B=\bigcup_{i=1}^n B A_i \quad \text { 则有 } \quad P(B)=\sum_{i=1}^n P\left(B A_i\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)
$$

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定理2 贝叶斯公式
当 $P(B)>0$ 时，

$$
P\left(A_i \mid B\right)=\frac{P\left(A_i B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)}{\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)} .
$$

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例 8 有三只箱子:
第一个箱子中有四个黑球和一个白球;
第二个箱子中有三个黑球和三个白球;
第三个箱子中有三个黑球和五个白球。
任取一箱, 再从中任取一个球.
求 (1) 取到白球的概率;
（2）已知取到的是白球，则这个白球属于第二个箱子的的概率。
解 以 $A_i=(i=1,2,3)$ 分别表示取到的是第 $i$ 个箱子， $B$ 表示取到的是白球， 则事件组 $A_1, A_2, A_3$ 构成一个完备事件组.

$$
\begin{aligned}
& \text { 且 } \quad P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=P\left(A_3\right)=\frac{1}{3} \\
& \text { 又 } P\left(B \mid A_1\right)=\frac{1}{5}, P\left(B \mid A_2\right)=\frac{1}{2}, P\left(B \mid A_3\right)=\frac{5}{8} \\
& \text { 所以，由全概率公式得 } P(B)=\sum_{i=1}^3 P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right)=\frac{1}{3} *\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{5}{8}\right)=\frac{53}{150} \\
& \text { 再由贝叶斯公式得 } \\
& P\left(A_2 \mid B\right)=\frac{P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)}{P(B)}=\frac{20}{53} \\
&
\end{aligned}
$$

例 9
某种疾病的患病率为 $0.1 \%$ ，某项血液医学检查的误诊率为 $1 \%$ ，即非患者中有 $1 \%$ 的人验血结果为阳性. 患者中有 $1 \%$ 的人验血结果为阴性。 现知某人验血结果是阳性，求他确实患有该种疾病的概率.
解 以 $B$ 表示验血结果为阳性， $A$ 表示该人患此疾病

$$
\begin{aligned}
& P(A)=0.001, P(\bar{A})=0.999, \quad P(B \mid A)=0.99, P(B \mid \bar{A})=0.01 \\
& P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})=0.01098
\end{aligned}
$$

因此所求概率为

$$
P(A \mid B)=\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(B)} \approx 0.09
$$

总结：
两个概念: 随机事件与概率
基本理论：随机事件的性质与运算
随机事件的相互独立性与乘法公式
几类概率模型: 等可能概型 (包括古典概型、几何概率)
条件概率
全概率公式；贝叶斯公式

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