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概率论与数理统计
第二篇 一维随机变量及其分布
离散型随机变量函数的分布
最后
更新:
2025-02-26 07:27
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离散型随机变量函数的分布
> 初学者疑惑,已经学了连续型分布了,怎么又有随机变量函数的分布。随机变量函数的分布可以说是对随机变量再次定义随机变量。怎么比喻呢?比如函数$y=f(x)$,对它导数,可以得一阶导数 $y'=f'(x)$ ,如果把一阶导数再次求导,就得到二阶导数$y''=f''(x)$ ,这个二阶导数就可以看成原函数的导数的导数。随机变量函数的分布和此类似,他类似求复合的随机变量。比如我们已经知道随机变量半径为$X$的圆的分布,现在要求面积的,因为面积是$S=\pi X^2$,此时就可以看成是求“$\pi X^2$” 的分布。 ## 离散型随机变量函数的分布 设随机变量 $X$ ,定义一个函数 $g(x)$ ,则 $Y=g(X)$ 是随机变量 $X$ 的函数,也是 一个随机变量。问题: 已知 $X$ 的分布,如何求 $Y=g(X)$ 的分布. 设离散型随机变量 $X$ 的分布律为  则 $Y=g(X)$ 的分布律为  > 但要注意的是,与 $g\left(x_i\right)$ 取相同值对应的那些概率应合并相加。这其实很好理解,比如 产品包装超2g的占比3%,不足2g占比4%,如果求$X^2$的分布,自然要把超过和不足合起来算。 请参见例题 `例`设随机变量 $X$ 的分布律为  (1)求 $Y=X+2$ 的分布律; (2)求 $W=X^2$ 的分布律。 解:(1)随机变量 $Y=X+2$ 的取值为 $0,1,2,4$ 且 $P(Y=y)=P(X=y-2)$ . 由此得到相应的分布律:  (2) 随机变量 $W=X^2$ 的取值为 $0,1,4$ , 同理可得对应的分布律为:  `例`已知随机变量 $X$ 的分布律如表 2-15 所示.求 $Y=X^2+X$ 的分布律.  解 $Y=X^2+X$ 的分布律如表 所示.  再对相等的值合并,得表 
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