最后更新: 2025-02-26 07:43 查看: 342 次反馈刷题

连续型随机变量函数的分布

> 初学者疑惑，已经学了连续型分布了，怎么又有随机变量函数的分布。随机变量函数的分布可以说是对随机变量再次定义随机变量。怎么比喻呢？比如函数$y=f(x)$，对它导数，可以得一阶导数 $y'=f'(x)$ ，如果把一阶导数再次求导，就得到二阶导数$y''=f''(x)$ ，这个二阶导数就可以看成原函数的导数的导数。随机变量函数的分布和此类似，他类似求复合的随机变量。比如我们已经知道随机变量半径为$X$的圆的分布，现在要求面积的，因为面积是$S=\pi X^2$，此时就可以看成是求“$\pi X^2$” 的分布。

> 相比离散型随机变量函数的分布，连续型随机变量函数的分布要复杂的多，因为他涉及大量积分运算，对学生微积分基础要求比较高。

连续型通常分为两种情况，设 $X$ 是连续型随机变量，则随机变量 $Y=g(X)$ 可能是离散型的，也可能是连续型的．
（1）若 $Y$ 只有有限个或可列无限个可能值，则按照上述离散型情形处理；
（2）若 $Y$ 所有可能值的集合是（有限或无限）区间，则一般先求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ，再求导数 $F_Y^{\prime}(y)$ ，即可得到 $Y$ 的密度函数 $f_Y(y)$ ．

## 连续型随机变量函数的分布

`例`已知随机变量 $X$ 是区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，求 $Y=a X+b(a \neq 0)$ 的密度函数．

解（1）设 $a>0$ ，则

$$
F_Y(y)=P\{Y \leqslant y\} = P\{a X+b \leqslant y\}=P\left\{X \leqslant \frac{y-b}{a}\right\}=F_X\left(\frac{y-b}{a}\right) .
$$

两边对 $y$ 求导，可得

$$
f_Y(y)=f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)\left(\frac{y-b}{a}\right)_y^{\prime}=\frac{1}{a} f_X\left(\frac{y-b}{a}\right) .
$$

因 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 所以

$$
f_Y(y)= \begin{cases}\frac{1}{a}, & b<y<a+b, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

（2）设 $a<0$ ，则

$$
F_Y(y)=P\{Y \leqslant y\}=P\{a X+b \leqslant y\}=P\left\{X \geqslant \frac{y-b}{a}\right\}=1-F_X\left(\frac{y-b}{a}\right)
$$

两边对 $y$ 求导，可得

$$
f_Y(y)=-f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)\left(\frac{y-b}{a}\right)_y^{\prime}=-\frac{1}{a} f_X\left(\frac{y-b}{a}\right) .
$$

将已知的密度函数 $f_X(x)$ 代人上式，得

$$
f_Y(y)= \begin{cases}-\frac{1}{a}, & a+b<y<b, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

综合（1）（2），得

$$
f_Y(y)=\frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y-b}{a}\right) .
$$

`例`设 $\mathrm{X}$ 服从区间 $(1,3)$ 上的均匀分布，求 $X^2$ 的密度函数。

解 随机变量 $X$ 的取值范围 $(1,3)$ ，故随机变量 $Y=X^2$ 的取值范围为区间 $(1,9) ， Y$ 仍 然是一个连续型随机变量。因此需求解 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(y)$ 和概率密度函数 $f_Y(y)=F^{\prime}(y)$ 。
根据题意， $X$ 的概率密度函数为 $\quad f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 1<x<3 \\ 0 & \text { 其它 }\end{array}\right.$
$\mathrm{Y}$ 的分布函数 $\quad F_Y(y)=P(Y \leq y)=P\left(X^2 \leq y\right)$

Y 的分布函数 $\quad F_Y(y)=P(Y \leq y)=P\left(X^2 \leq y\right)$

当 $y<1$ 时，$F_Y(y)=0$ ；
当 $1 \leq y<9$ 时，$F_Y(y)=P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})=\int_1^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} d x=\frac{\sqrt{y}-1}{2}$ ；
当 $y \geq 9$ 时，$F_Y(y)=1$ 。

通过 $F_Y^{\prime}(y)=f_Y(y)$ 得到 Y 的密度函数

$$
f_Y(y)=F_Y^{\prime}(y)= \begin{cases}\frac{1}{4 \sqrt{y}}, & 1<y<9 ; \\ 0, & \text { 其他 } .\end{cases}
$$

### 问题总结
$Y=g(X)$ 的分布函数与密度函数求解的一般步骤：

1 由随机变量 $x$ 的取值范围 $\Omega_x$ 确定随机变量 $y$ 的取值范围 $\Omega_x$ ；

2 对任意一个 $y \in \Omega_Y$ ，求出 $F(y)=P(Y \leq y)=P(g(X) \leq y)=P\left\{X \in G_y\right\}=\int_{G_Y} f(x) d x$ ．
其中 $\left\{X \in G_y\right\}$ 是与 $\{g(X) \leq y\}$ 等价的随机事件，而 $G_y=\{x: g(x) \leq y\}$ 是实数轴上的某个集合（通常是一个区间或若干个区间的并集）。

3 按分布函数的定义写出 $F_Y(y),-\infty<y<+\infty$
4 通过对分布函数求导，得到 $f_Y(y)=F_Y^{\prime}(y), ~-\infty<y<+\infty$ 。

`例`设 $X \sim N(0,1)$ ，求随机变量 $Y=|X|$ 的密度函数.
解 易得随机变量 $Y=|X|$ 的取值范围为区间 $[0,+\infty) ， Y$ 仍然是一个连续 型随机变量。当 $y \geq 0$ 时， $Y$ 的分布函数为

$$
F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(|X| \leq y)=P(-y \leq X \leq y)=\Phi(y)-\Phi(-y)
$$

直接对上式求导有 $f_Y(y)=F_y^{\prime}(y)=\Phi^{\prime}(y)-\Phi^{\prime}(-y)=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}$
所以， $Y$ 的概率密度函数为 $\quad f_Y(y)= \begin{cases}\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}, & y>0, \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases}$

`例`设连续型随机变量 $X$ 具有密度函数 $f_X(x)(-\infty<x<+\infty)$ ，求 $Y=g(X)=$ $X^2$ 的密度函数。

解 先求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 。因为 $Y=g(X)=X^2 \geqslant 0$ ，所以当 $y \leqslant 0$ 时，事件 $\{Y \leqslant y\}$的概率为 0 ，即 $F_Y(y)=P\{Y \leqslant y\}=0$ ；

当 $y>0$ 时，有

$$
F_Y(y)=P\{Y \leqslant y\} \leqslant P\left\{X^2 \leqslant y\right\}=P\{-\sqrt{y} \leqslant X \leqslant \sqrt{y}\}=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f_X(x) d x
$$

将上述所得的 $F_Y(y)$ 关于 $y$ 求导，即得 $Y$ 的密度函数为

$$
f_Y(y)= \begin{cases}\frac{1}{2 \sqrt{y}}\left[f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right], y>0 \\ 0, & y \leqslant 0\end{cases}
$$

例如，当 $X \sim N(0,1)$ 时，则 $Y=X^2$ 的密度函数为

$$
f_Y(y)= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, y>0 \\ 0, & y \leqslant 0\end{cases}
$$

此时称 $Y$ 服从自由度为 1 的 $\chi^2$ 分布．

上例 中关键的一步在于将事件 $Y \leq y\}$ 由其等价事件 $\{-\sqrt{y} \leqslant X \leqslant \sqrt{y}\}$ 代替，即将事件 $\{Y \leqslant y\}$ 转换为关于 $X$ 的范围所表示的等价事件。下面我们仅对 $Y=g(X)$［函数 $g(x)$ 为严格单调的］写出一般结论．

## 定理
**定理1** 设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f_X(x) ， Y=g(X)$ 是连续型随机变量， 若 $y=g(x)$ 为严格单调函数， $x=g^{-1}(y)$ 为相应的反函数，且为可导函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为

$$
f_Y(y)=f_X\left(g^{-1}(y)\right) \cdot\left|\left[g^{-1}(y)\right]\right|
$$

证明：略。

**定理2** 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则当 $k \neq 0$ 时， $Y=k X+b \sim N\left(k \mu+b, k^2 \sigma^2\right)$ ， 特别地， $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

`例`设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求随机变量 $Y=\mathrm{e}^X$ 的密度函数.
解 因 $y=\mathrm{e}^x$ 的反函数为 $x=\ln y$ ；当 $y>0$ 时单增， $x^{\prime}=\frac{1}{y}$ ，所以当 $y>0$ 时

$$
f_Y(y)=f_X(\ln y)(\ln y)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \mathrm{e}^{-\frac{(\ln y-\mu)^2}{2 \sigma^2}}
$$

所以 $Y=\mathrm{e}^X$ 的密度函数为

$$
f_Y(y)= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \mathrm{e}^{-\frac{(\ln y-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, & y>0, \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases}

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