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邻域
日期:
2022-12-27 11:52
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**定义** 设 $a$ 与 $\delta$ 为两个实数， 且 $\delta>0$ ，数集 $\{x \| x-a \mid<\delta\}$ 称为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(a, \delta)$ ，即 $U(a, \delta)=\{x \| x-a \mid<\delta\}$ ，其中 $a$ 称作 $U(a, \delta)$ 的中心， $\delta$ 称作 $U(a, \delta)$ 的半径. 在数轴上， $|x-a|$ 表示点 $x$ 与点 $a$ 的距离，因此点 $a$ 的 $\delta$ 邻域 $U(a, \delta)=\{x \| x-a \mid<\delta\}$ 在数轴上就表示与点 $a$ 距离小于 $\delta$ 的点 $x$ 的全体. 由于 $|x-a|<\delta$ 等价于 $-\delta<x-a<\delta$, 即 $a-\delta<x<a+\delta$ ，所以 $$ U(a, \delta)=\{x \mid a-\delta<x<a+\delta\} $$ 因此， $U(a, \delta)$ 也就是开区间 $(a-\delta, a+\delta)$. 见图1-15，显然，这个开区间以点 $a$ 为中心，而长度为 $2 \delta$.  有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），  点 $a$ 的 $\delta$ 邻域去掉中心 $a$ 后， 称为点 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\stackrel{o}{U}(a, \delta)$ ，即 $$ \stackrel{\circ}{U}(a, \delta)=\{x|0<| x-a \mid<\delta\} $$ 这里 $0<|x-a|$ 就表示 $x \neq a$. 为了方便，有时将开区间 $(a-\delta, a)$ 称为 $a$ 的左邻域，而将开区间 $(a, a+\delta)$ 称为 $a$ 的右邻域.如果不强调半径，以点 $a$ 为中心的任何开区间称为点 $a$ 的邻域，记 作 $U(a)$.
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搭建，最后更新于
2022-12-27 11:52
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