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邻域
日期:
2022-12-27 11:52
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**定义** 设 $a$ 与 $\delta$ 为两个实数, 且 $\delta>0$ ,数集 $\{x \| x-a \mid<\delta\}$ 称为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域,记作 $U(a, \delta)$ ,即 $U(a, \delta)=\{x \| x-a \mid<\delta\}$ ,其中 $a$ 称作 $U(a, \delta)$ 的中心, $\delta$ 称作 $U(a, \delta)$ 的半径. 在数轴上, $|x-a|$ 表示点 $x$ 与点 $a$ 的距离,因此点 $a$ 的 $\delta$ 邻域 $U(a, \delta)=\{x \| x-a \mid<\delta\}$ 在数轴上就表示与点 $a$ 距离小于 $\delta$ 的点 $x$ 的全体. 由于 $|x-a|<\delta$ 等价于 $-\delta<x-a<\delta$, 即 $a-\delta<x<a+\delta$ ,所以 $$ U(a, \delta)=\{x \mid a-\delta<x<a+\delta\} $$ 因此, $U(a, \delta)$ 也就是开区间 $(a-\delta, a+\delta)$. 见图1-15,显然,这个开区间以点 $a$ 为中心,而长度为 $2 \delta$.  有时用到的邻域需要将邻域中心去掉(见图1-16),  点 $a$ 的 $\delta$ 邻域去掉中心 $a$ 后, 称为点 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域,记作 $\stackrel{o}{U}(a, \delta)$ ,即 $$ \stackrel{\circ}{U}(a, \delta)=\{x|0<| x-a \mid<\delta\} $$ 这里 $0<|x-a|$ 就表示 $x \neq a$. 为了方便,有时将开区间 $(a-\delta, a)$ 称为 $a$ 的左邻域,而将开区间 $(a, a+\delta)$ 称为 $a$ 的右邻域.如果不强调半径,以点 $a$ 为中心的任何开区间称为点 $a$ 的邻域,记 作 $U(a)$.
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搭建,最后更新于
2022-12-27 11:52
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