最后更新: 2025-02-13 11:22 查看: 1342 次反馈刷题

复数的基本概念与几何意义

## 引入意义

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 $x^2+a=0(a>0)$ 有没有解，进而可以归结为方程 $x^2+1=0$ 有没有解。
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^2-2=0$ 这样的方 程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规 定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。
依照这种思想，为了解决 $x^2+1=0$ 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 $i$ ，使得 $x=i$ 是方程 $x^2+1=0$ 的解， 即使得 $i^2=-1$ 。
思考：把新引进的数 添加到实数集中，我们希望数 $i$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、 结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢?
依照以上设想，把实数 $b$ 与 $i$ 相乘，结果记作 $b i$ ；把实数 $a$ 与 $b i$ 相加，结果记作 $a+b i$ 。注意到所有实数以及 $i$ 都可以写成 $a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbb{R})$ 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

## 定义

我们定义形如 $a+b \mathrm{i}$ ，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 的数叫做**复数**，其中 $i$ 被称为 **虚数单位**，全体复数的集合叫做**复数集**，并用字母$C$表示。
复数通常用 $z$ 表示，即 $z=a+b \mathrm{i}$ 。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 $a$ 称为复数 $z$ 的 **实部**， $b$ 称为复数 $z$ 的 **虚部**。如无特殊说 明，都有 $a, b \in \mathbb{R}$ 。
对于一个复数 $z$ ，当且仅当 $b=0$ 时，它是实数，当 $b \neq 0$ 时，它是虚数，当 $a=0$ 且 $b \neq 0$ 时，它是**纯虚数**。
纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。
![](../uploads/2022-10/78bb15.svg)

`例` 当 $m$ 为何实数时，复数 $z=m^2+m-2+\left(m^2-1\right) i$ 分别是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数；
（4） 0 ？
解（1）当 $m^2-1=0$ ，即 $m= \pm 1$ 时，复数 $z$ 是实数．
（2）当 $m^2-1 \neq 0$ ，即 $m \neq \pm 1$ 时，复数 $z$ 是虚数．
（3）当 $m^2+m-2=0$ 且 $m^2-1 \neq 0$ ，即 $m=-2$ 时，复数 $z$ 是纯虚数．
（4）当 $m^2+m-2=0$ 且 $m^2-1=0$ ，即 $m=1$ 时，复数 $z=0$ ．

## 复数的几何意义

我们知道了 $a+b \mathrm{i}$ 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。
我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。
首先我们定义 复数相等: 两个复数 $z_1=a+b \mathrm{i}, z_2=c+d \mathrm{i}$ 是相等的，当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$ 且。
这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。
也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 $(a, b)$ 表示一个复数 $a+b \mathrm{i}$ 。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了，我们找 到了复数的一种几何意义。
那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义一一表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面， $x$ 轴称为 实轴， $y$ 轴称 为 虚轴。我们进一步地说: **复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的。**

![图片](/uploads/2024-11/3c497b.jpg)
 
我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 $(a, b)$ ，显然，复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 对应复平面内的点 $Z(a, b)$ ，那么它还对应平面向量 $\overrightarrow{O Z}=(a, b)$ ，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 0 与零向量对应) 。
于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，

`例` 设 $z \in \mathbb{C}$, 试说明满足下列条件的点 Z 的集合组成什么样的图形?
(1) $|z|=a$
(2) $2<|z| \leq 4$

解:
(1) 复数 $z$ 的模等于 $a \geq 0$, 就是说它对应于复平面上的向量 $\overrightarrow{O Z}$ 的长度为 $a$, 也就是说它对应于复平面上的点 $Z$ 到原点的距离为 $a$. 所以, 满足条件 $|z|=a$ 的点的集合, 当 $a>0$ 时组成一个以 $O$ 为圆心、以 $a$ 为半径的圆;当 $a=0$ 时, 就是一个点 (原点)。

(2)
 先将条件化为
 $$
 \left\{\begin{array}{l}
|z|>2 \\
|z| \leq 4
\end{array}\right.
$$

再分别考虑: 满足 $|z|>2$ 的点集组成圆 $|z|=2$ 的外部; 满足 $|z| \leq 4$的点集组成圆 $|z|=4$ 的内部（包含边界）。同时满足以上两条件的点集，就是已求两集合的交集，也就是所要求的集合.
因此, 满足 $2<|z| \leq 4$ 的点的集合是以 $O$ 为圆心, 以 2 及 4 为半径的两图所夹的圆环, 其中包含外边界,但不包括内边界（图 1.4）。
 ![图片](/uploads/2024-09/8b1969.jpg)

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【复变函数与积分变换】复数及其四则运算

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