日期: 2024-04-21 17:17 查看: 277 次编辑导出

复数概念、几何意义与共轭复数

## 引入意义

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 $x^2+a=0(a>0)$ 有没有解，进而可以归结为方程 $x^2+1=0$ 有没有解。
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^2-2=0$ 这样的方 程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规 定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。
依照这种思想，为了解决 $x^2+1=0$ 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 $i$ ，使得 $x=i$ 是方程 $x^2+1=0$ 的解， 即使得 $i^2=-1$ 。
思考：把新引进的数 添加到实数集中，我们希望数 $i$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、 结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢?
依照以上设想，把实数 $b$ 与 $i$ 相乘，结果记作 $b i$ ；把实数 $a$ 与 $b i$ 相加，结果记作 $a+b i$ 。注意到所有实数以及 $i$ 都可以写成 $a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbb{R})$ 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

## 定义

我们定义形如 $a+b \mathrm{i}$ ，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ 的数叫做复数，其中 $i$ 被称为 虚数单位，全体复数的集合叫做复数集。
复数通常用 $z$ 表示，即 $z=a+b \mathrm{i}$ 。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 $a$ 称为复数 $z$ 的 实部， $b$ 称为复数 $z$ 的 虚部。如无特殊说 明，都有 $a, b \in \mathbb{R}$ 。
对于一个复数 $z$ ，当且仅当 $b=0$ 时，它是实数，当 $b \neq 0$ 时，它是虚数，当 $a=0$ 且 $b \neq 0$ 时，它是纯虚数。
纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。
![](../uploads/2022-10/78bb15.svg)

## 复数的几何意义

我们知道了 $a+b \mathrm{i}$ 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。
我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。
首先我们定义 复数相等: 两个复数 $z_1=a+b \mathrm{i}, z_2=c+d \mathrm{i}$ 是相等的，当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$ 且。
这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。
也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 $(a, b)$ 表示一个复数 $a+b \mathrm{i}$ 。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了，我们找 到了复数的一种几何意义。
那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义一一表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面， $x$ 轴称为 实轴， $y$ 轴称 为 虚轴。我们进一步地说: 复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的。
我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 $(a, b)$ ，显然，复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 对应复平面内的点 $Z(a, b)$ ，那么它还对应平面向量 $\overrightarrow{O Z}=(a, b)$ ，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 0 与零向量对应) 。
于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 。
于是为了方便，我们常把复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 称为点 $Z$ 或向量 $\overrightarrow{O Z}$ ，并规定相等的向量表示同一个复数。
并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。

## 共轭复数

一般地, 如果两个复数的实部相等, 而虚部互为相反数, 则称这两个复数互为共轭复数. 复数 $z$ 的共轭复数用 $\bar{z}$ 表示, 因此, 当 $z=a+b \mathrm{i}(a$, $b \in \mathbf{R})$ 时, 有

$$
\bar{z}=a-b \mathrm{i} .
$$

显然, 在复平面内, 表示两个共轭复数的点关于实轴对称; 反之, 如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称, 则这两个复数互为共轭复数.

复数还有另外一种几何意义: 因为平面直角坐标系中的点 $Z(a, b)$ 能唯一确定一个以原点 $O$ 为始点、 $Z$ 为终点的向量 $\overrightarrow{O Z}$, 所以复数也可用向量 $\overrightarrow{O Z}$ 来表示, 这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以 $O$ 为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系, 即
复数 $z=a+b \mathrm{i} \leftrightarrow$ 向量 $\overrightarrow{O Z}=(a, b)$.
因此我们也就能借助向量来描述复数. 一般地, 向量 $\overrightarrow{O Z}=(a, b)$ 的长度称为复数 $z=a+b \mathrm{i}$ 的模 (或绝对值), 复数 $z$ 的模用 $|z|$ 表示, 因此

$$
|z|=\sqrt{a^2+b^2} .
$$

## 虚数
虚数是指可以写作实数与虚数单位 $i$ 乘积的复数，并定义其性质为 $i^2=-1$ ，以此定义，0可视为同时是实数也是虚数。

虚数的英文是imaginary number，其意思是虚构的意思。

## 虚数不能比较大小

不同的虚数都是不能比较大小的:
$1<2$ 成立，但 $1+i<2+i$ 和 $i<2 i$ 却均不成立。

举例说明: (反证法)
假设 $i>0$
平方得 $i^2>0$
得 $-1>0$ 即可看出矛盾。
再举例: 假设 $i<0$
平方得 $i^2>0$ (不等式两侧同乘假设为负的 $i$ ，不等式由小于变为大于)
得 $-1>0$ 即可看出矛盾。
因此虚数或者说虚部不为 0 的复数不能比较大小。

##i的周期

因为 $i^0=1 ， i^1=i ， i^2=-1 ， i^3=-i ， i^4=1 ， \cdots$ ，很容易知道 $i^n$ 是关于指数 $n$ 的周期函数，最小正周期是 4 。于是，我们有

$$
i^1+i^2+i^3+i^4=0
$$

这表示 $i$ 为方程 $x+x^2+x^3+x^4=0$ 的一个根，另三个根分别为 $-i,-1$ 及 0 。

另外可以证明

$$
\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i
$$

和

$$
\bar{\omega}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i
$$

为下列方程的根

$$
\begin{aligned}
& x^2+x+1=0 \\
& x^3=1
\end{aligned}
$$

其中， $\bar{\omega}$ 称为 $\omega$ 的共轭虚数 (或共轭复数)。

## 几何意义

在几何学上，复数平面的垂直轴表示虚数，它们与代表实数的水平轴垂直。

在该呈现图示中，乘以一对应于以原点为中心 180 度的旋转。 $i$ 的乘法对应于“逆时针" 方向的 90 度旋转，而方程式 $i^2=-1$ 可被解释为，如果我们对原点应用两个 90 度旋转，则终了结果是单一个 180 度旋转。注意，“顺时针" 方向的 90 度旋转也满足这种解释。这反映了 $-i$ 也解出了方程 $x^2=-1$ 。一般来说，乘以复数与以复数辐角围绕原点的旋转相同，然后按其大小进行缩放。

下图显示，一个数乘以$i$相当于逆时针旋转了90度

![图片](/uploads/2023-11/f51168.svg)

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