复数的加、减、乘、除

日期: 2023-11-05 21:25 查看: 72 次更新导出Word

## 加法与减

我们规定，复数的加法规则如下:
设 $z_1=a+b \mathrm{i}, z_2=c+d \mathrm{i}$ ，那么 $z_1+z_2=(a+c)+(b+d) \mathrm{i}$
很明显，两个复数的和仍为复数。
考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。
同样可以验证，复数的加法满足交换律和结合律。即:

$$
z_1+z_2=z_2+z_1\left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right)
$$

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

$$
z_1-z_2=(a-c)+(b-d) \mathbf{i}
$$

这同样符合向量的减法运算。

## 乘法与除法

我们规定，复数的乘法规则如下：设 $z_1=a+b \mathrm{i}, z_2=c+d \mathrm{i}$ ，那么

$$
\begin{aligned}
z_1 z_2 & =(a+b \mathbf{i})(c+d \mathrm{i}) \\
& =a c+b c \mathbf{i}+a d \mathrm{i}+b d \mathrm{i}^2 \\
& =(a c-b d)+(b c+a d) \mathbf{i}
\end{aligned}
$$

可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把 $\mathrm{i}^2$ 换成 $-1$ ，并将实部与虚部分别合并即可。
复数的乘法与向量的向量积形式类似，于是容易知道，复数乘法满足交换律，结合律和对加法的分配律，即：

$$
\begin{aligned}
& z_1 z_2=z_2 z_1 \\
& \left(z_1 z_2\right) z_3=z_1\left(z_2 z_3\right) \\
& z_1\left(z_2+z_3\right)=z_1 z_2+z_1 z_3
\end{aligned}
$$

由于满足运算律，我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用。
除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：

$$
\begin{array}{rlr}
\frac{a+b \mathrm{i}}{c+d \mathrm{i}} & =\frac{(a+b \mathrm{i})(c-d \mathrm{i})}{(c+d \mathrm{i})(c-d \mathrm{i})} \\
& =\frac{a c+b d}{c^2+d^2}+\frac{b c-a d}{c^2+d^2} \mathrm{i} & (c+d \mathrm{i} \neq 0)
\end{array}
$$

为了分母实数化，我们乘了一个 $c-d \mathrm{i}$ ，这个式子很有意义。
我们定义，当两个虚数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为 共轭复数。通常记 $z=a+b \mathrm{i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}=a-b \mathrm{i}$ 。我们可以发现，两个复数互为共轭复数，那么 它们 关于实轴对称。
由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系。

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