最后更新: 2025-02-13 11:26 查看: 539 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

复数的加、减、乘、除

## 加法与减法

我们规定，复数的加法规则如下:
设 $z_1=a+b \mathrm{i}, z_2=c+d \mathrm{i}$ ，那么 $z_1+z_2=(a+c)+(b+d) \mathrm{i}$
很明显，两个复数的和仍为复数。
考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。
同样可以验证，复数的加法满足交换律和结合律。即:

$$
z_1+z_2=z_2+z_1\left(z_1+z_2\right)+z_3=z_1+\left(z_2+z_3\right)
$$

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

$$
z_1-z_2=(a-c)+(b-d) \mathbf{i}
$$

这同样符合向量的减法运算。

## 复数的乘法

$(一)$ 乘法
复数的乘法运算按照以下规定的法则进行：设 $z_1=a+b i, z_2=c+d i$ 是任意两复数, 则

$$
z_1 \cdot z_2=(a+b i) \cdot(c+d i)=(a c-b d)+(a d+b c) i
$$

其中, 由于我们要求乘法运算仍应保持"运算通性", 因而, 这一规定说明复数的乘法与多项式乘法是类似的，只要将结果中的 $i^2$ 换成 -1 ，分别合并实部与虚部即可。

可见, 任意两个复数的乘积仍然是一个复数, 也就是说, 复数集对于乘法也是封闭的.

特别地, 根据这一规定, 对两个互为共轭复数 $z$ 与 $\bar{z}$, 我们有

$$
\boxed{
z \cdot \bar{z}=(x+y i) \cdot(x-y i)=x^2+y^2
}
$$
因此, 互为共轭的两复数之积是一个实数, 它等于每一复数的模的平方, 即

$$
z \cdot \bar{z}=|z|^2=|\bar{z}|^2
$$

容易验证, 复数乘法运算也具有"数系运算通性", 即对于任意 $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$,都有

$$
\begin{aligned}
 z_1 \cdot z_2 & =z_2 \cdot z_1 \\
 z_1 \cdot\left(z_2 \cdot z_3\right) & =\left(z_1 \cdot  z_2\right) \cdot z_3=z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 \\
 z_1 \cdot\left(z_2+z_3\right) & =z_1 \cdot z_2+z_1 \cdot z_3 \\
z_1 \cdot 0 & =0 \cdot z_1=0 \\
z_1 \cdot 1 & =1 \cdot z_1=z_1
\end{aligned}
$$

还应该指出，复数乘方运算、幂的概念与实数完全相同，而且由于复数的乘法满足交换律、结合律，所以在实数集 $\mathbb{R}$ 中的指数运算律，在复数集 $\mathbb{C}$ 中仍然成立，即

对任意 $z_1, z_2, z \in \mathbb{C}$ 及 $m, n \in \mathbb{N}$ ，都有

$$
\begin{aligned}
z^m \cdot z^n & =z^{m+n} \\
\left(z^m\right)^n & =z^{m \cdot n}
\end{aligned}
$$

$$
\left(z_1 \cdot z_2\right)^n=z_1^n \cdot z_2^n
$$

这样，我们由定义 $i^2=-1$ ，运用指数运算律可以得出：

$$
\begin{aligned}
& i^3=i \cdot i^2=-i \\
& i^4=i^2 \cdot i^2=(-1) \cdot(-1)=1 \\
& i^5=i^4 \cdot i=i \\
& \ldots \ldots
\end{aligned}
$$

一般地, 对任意 $n \in \mathbb{N}$, 我们可归纳出：

$$
\begin{aligned}
i^{4 n} & =\left(i^4\right)^n=1^n=1 \\
i^{4 n+1} & =\left(i^4\right)^n \cdot i=i \\
i^{4 n+2} & =\left(i^4\right)^n \cdot i^2=-1 \\
i^{4 n+3} & =\left(i^4\right)^n \cdot i^3=-i \\
\end{aligned}
$$

`例`计算 $(5-4 i)(1-i)(-2+3 i)$.
 
解:
$$
(5-4 i)(1-i)(-2+3 i)=(1-9 i)(-2+3 i)=25+21 i
$$

`例` 计算 $\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^6$
解:

$$
\begin{aligned}
\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^6 & =\left[\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2\right]^3 \\
& =\left(\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2} i+\frac{3 i^2}{4}\right)^3=\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3 \\
& =\left(-\frac{1}{2}\right)^3-3\left(\frac{-1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} i+3\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3 \\
& =-\frac{1}{8}-\frac{3 \sqrt{3}}{8} i+\frac{9}{8}+\frac{3 \sqrt{3}}{8} i=1
\end{aligned}
$$

## 复数的除法

复数的除法同样定义为乘法的逆运算, 即: 满足 $(c+d i)(x+y i)=a+$ $b i(c+d i \neq 0)$ 的复数 $x+y i$ 叫做复数 $a+b i$ 除以 $c+d i$ 的商, 记作

$$
x+y i=\frac{a+b i}{c+d i} \text { 或 }(a+b i) \div(c+d i)
$$

根据两个共轭复数的乘积是一个实数以及乘法运算法则, 可以得出复数的除法法则:

当 $c+d i \neq 0$ 时,

$$
\frac{a+b i}{c+d i}=\frac{(a+b i)(c-d i)}{(c+d i)(c-d i)}=\frac{a c+b d}{c^2+d^2}+\frac{b c-a d}{c^2+d^2} i
$$

其中由于 $c+d i \neq 0$, 因而 $c 、 d$ 不同时为零, 所以, $c^2+d^2 \neq 0$. 可见这样求得的商是唯一确定的一个复数, 也就是说, 复数集 $\mathbb{C}$ 对于除法（除数不为零）也是封闭的.

`例`计算 $(2-3 i) \div(-3+4 i)$
解:

$$
\begin{aligned}
(2-3 i) \div(-3+4 i) & =\frac{2-3 i}{-3+4 i}=\frac{(2-3 i)(-3-4 i)}{(-3+4 i)(-3-4 i)} \\
& =\frac{-18+i}{25}=-\frac{18}{25}+\frac{1}{25} i
\end{aligned}
$$

可以看出, 复数乘、除法法则的公式并不需要硬记, 乘法类似于多项式乘法, 除法可视为分式的分子、分母同乘以除数的共轭数, 并注意正确应用运算通性及 $i^2=-1$, 就可得出结果.

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