泰勒公式

日期: 2022-12-28 09:24 查看: 99 次

**多项式逼近函数**
对一些较复杂的函数，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的 函数来近似表达. 比如，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \sim x$ ， 即 $\sin x=x+o(x)$. 对于 $o(x)$ ，我们非常好奇，它究竟是 $x$ 的几阶无穷小? 能不能再精确一 些? 如果我们事先约定允许的误差范围， 能不能找到对应的简单函数(比 如多项式)，使得 $\sin x=a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots+a_n x^n+o\left(x^n\right)$ ? 其中 $n \in Z^{+}$. 如果这个多项式存在，那么这个多项式的系数和函数之间存在什么关系? 这一节就来探讨这个问题. 此节内容可作为对导数要求较高的专业的选 学内容.

假设函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的开区间内具有直到 $(n+1)$ 阶的导数，取一 个关于 $x-x_0$ 的 $n$ 次多项式

$$
P_n(x)=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n
$$

来近似表达函数 $f(x)$ ，要求 $f(x)-P_n(x)=o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)$.
假设 $P_n\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) ， P_n^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right) ， P_n^{\prime \prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \quad ， \ldots \ldots$ ， $P_n^{(n)}\left(x_0\right)=f^{(n)}\left(x_0\right)$.
则可按这些条件来确定多项式中的系数 $a_0, a_1, \ldots, a_n$.

由 $P_n\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$ 得 $a_0=f\left(x_0\right)$ ，
对 $P_n(x)=a_0+a_1(x-x)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)$ 求各阶导数，有

$$
P_n^{\prime}(x)=a_1+2 a_2\left(x-x_0\right)+3 a_3\left(x-x_2\right)^2+\cdots+n a_n\left(x-x_0\right)^{n-1}
$$

故 $P_n^{\prime}\left(x_0\right)=a_1=f^{\prime}\left(x_0\right)$

$$
\begin{aligned}
& P_n^{\prime \prime}(x)=2 a_2+2 \cdot 3 a_3\left(x-x_2\right)+\cdots+n(n-1) a_n\left(x-x_0\right)^{n-2} \\
& P_n^{\prime \prime}\left(x_0\right)=2 a_2=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)
\end{aligned}
$$

即

$$
a_2=\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}\left(x_0\right), \ldots \ldots, a_n=\frac{1}{n !} f^{(n)}\left(x_0\right)
$$

因此

$$
P_n(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)(x-x)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n
$$

下面的定理告诉我们，上述确定的多项式正是我们要找的 $n$ 次多项式.

定理1 (泰勒中值定理) 设函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的开区间 $(a, b)$ 内具有直 到 $(n+1)$ 阶的导数，则当 $x \in(a, b)$ 时， $f(x)$ 可以表示为 $\left(x-x_0\right)$ 的一个 $n$ 次多项式与一个余项 $R_n(x)$ 之和.

$$
f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)(x-x)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x)
$$

其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1} ，$ 这里 $\xi$ 介于 $x_0 ， x$ 之间.

证明 记 $R_n(x)=f(x)-P_n\left(x_1\right)$ 其中

$$
P_n(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)(x-x)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n
$$

只要证明 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}$ ，其中 $\xi$ 介于 $x_0 ， x$ 之间即可.

由于 $P_n(x) ， f(x)$ 在 $(a, b)$ 内具有直到 $(n+1)$ 阶的导数，则 $R_n(x)$ 在 $(a, b)$ 内也具有直到 $(n+1)$ 阶的导数，且

$$
R_n\left(x_0\right)=R_n^{\prime}\left(x_0\right)=R_n^{\prime \prime}\left(x_0\right)=\cdots=R_n^{(n)}\left(x_0\right)=0
$$

函数 $P_n(x)$ 与 $\left(x-x_0\right)^n$ 在 $\left[x_0, x\right]$ 或 $\left[x, x_0\right]$ 上满足柯西中值定理条件， 运用柯西中值定理得

$$
\frac{R_n(x)}{\left(x-x_0\right)^{n+1}}=\frac{R_n(x)-0}{\left(x-x_0\right)^{n+1}-0}=\frac{R_n(x)-R_n\left(x_0\right)}{\left(x-x_0\right)^{n+1}-\left(x_0-x_0\right)^{n+1}}=\frac{R_n^{\prime}\left(\xi_1\right)}{(n+1)\left(\xi_1-x_0\right)^n}
$$

其中 $\xi_1$ 介于 $x_0 ， x$ 之间.

再对 $R_n^{\prime}(x) ，(n+1)\left(x-x_0\right)^n$ 在 $\left[x_0, \xi_1\right]$ 或 $\left[\xi_1, x_0\right]$ 上运用柯西中值定理得

$$
\frac{R_n^{\prime}\left(\xi_1\right)}{(n+1)\left(\xi_1-x_0\right)^n}=\frac{R_n^{\prime}\left(\xi_1\right)-R_n^{\prime}\left(x_0\right)}{(n+1)\left[\left(\xi_1-x_0\right)^n-\left(x_0-x_0\right)^n\right]}=\frac{R_n^{\prime \prime}\left(\xi_2\right)}{(n+1) n\left(\xi_2-x_0\right)^{n-1}}
$$

其中 $\xi_2$ 介于 $x_0 ， \xi_1$ 之间.

依此类推，经过 $n+1$ 次，则得 $\frac{R_n(x)}{\left(x-x_0\right)^{n+1}}=\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}$ ，其中 $\xi$ 介于 $x_0$ ， $\xi_n$ 之间，当然也介于 $x_0, x$ 之间.
由于 $R_n^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)-P_n^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)-0=f^{(n+1)}(x)$
因此 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}$
其中 $\xi$ 介于 $x_0 ， x$ 之间.

注 $\quad \xi$ 可写成 $\xi=x_0+\theta\left(x-x_0\right)$ ， 其中 $0<\theta<1$ 。我们称多项式

$$
P_n(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)(x-x)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n
$$

为 $f(x)$ 按 $x-x_0$ 的幂展开的 $n$ 次近似多项式. 称

$$
f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+R_n(x)
$$

为 $f(x)$ 按 $x-x_0$ 的幂展开到 $n$ 次的泰勒公式，称 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}$
为拉格朗日型余项.

当取 $n=0$ 时，泰勒公式为 $f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}(\xi)\left(x-x_0\right)$ ，其中 $\xi$ 介于 $x_0 ， x$ 之间，即为拉格朗日中值定理.
因此可以说，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
若存在 $M>0$ ， 使 $\left|f^{(n+1)}(x)\right| \leq M ， x \in(a, b)$ ，则

$$
\left|R_n(x)\right|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1}\right| \leq \frac{M}{(n+1) !}\left|x-x_0\right|^{n+1}
$$

故

$$
0 \leq\left|\frac{R_n(x)}{\left(x-x_0\right)^n}\right|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)\right| \leq \frac{M}{(n+1) !}\left|x-x_0\right| \rightarrow 0,\left(x \rightarrow x_0\right)
$$

即

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{R_n(x)}{\left(x-x_0\right)^n}=0 \text { ，即 } R_n(x)=o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)
$$

从而

$$
f(x)-P_n(x)=o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)
$$

这样泰勒公式也可写成

这个公式也可称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式.
注 对于带有皮亚诺型余项的泰勒公式的推导，条件还可以减弱.

定理2 若函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的开区间 $(a, b)$ 内具有直到 $n$ 阶的导数，则 当 $x \in(a, b)$ 时，有
$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+o\left(x-x_0\right)^n$
证明 由于带有拉格朗日型余项的泰勒公式为

$$
\begin{aligned}
f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+ & \frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+ \\
& \cdots+\frac{f^{(n-1)}\left(x_0\right)}{(n-1) !}\left(x-x_0\right)^{n-1}+\frac{f^{(n)}(\xi)}{n !}\left(x-x_0\right)^n
\end{aligned}
$$

其中 $\xi$ 介于 $x_0 ， x$ 之间.

由于 $f^{(n)}(x)$ 在 $x_0$ 处连续，故 $f^{(n)}(\xi)=f^{(n)}\left(x_0\right)+\alpha_{\text {～其中 }} \lim _{x \rightarrow x_0} \alpha=0$ ，因此， $f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+\frac{\alpha}{n !}\left(x-x_0\right)^n$
由 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{\frac{\alpha}{n !}\left(x-x_0\right)^n}{\left(x-x_0\right)^n}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{\alpha}{n !}=0$ ，得 $\frac{\alpha}{n !}\left(x-x_0\right)^n=o\left(\left(x-x_0\right)^n\right)$ ，因此

在泰勒公式中若取 $x_0=0$ ，则有

$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1}
$$

其中 $0<\theta<1$ ，称为麦克劳林公式.
由此可得近似公式

$$
f(x) \approx f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n
$$

其误差为 $\left|R_n(x)\right| \leq \frac{M}{(n+1) !}|x|^{n+1}$ (若存在 $M>0 ，$ 使 $\left|f^{(n+1)}(x)\right| \leq M$ ).

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