最后更新: 2025-05-31 11:13 查看: 4464 次反馈同步训练

椭圆的定义与标准方程

## 椭圆的定义

平面内与两个定点$F_1,F_2$ 的距离之和等于常数（记做 $2a$, 且大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这2个顶点叫做椭圆的**焦点**，两个焦点之间的距离叫做**焦距**。

下图给出了椭圆简单的做法：取一条绳索，绳索两段固定在$F_1$ 和$F_2$ ,用铅笔拉直绳索进行旋转，则笔芯的轨迹就是椭圆,其英文称作Ellipse。

![](/uploads/2022-10/249497.svg){width=250px}

在定义中，

①  $2a > |F_1F_2| $ 轨迹是椭圆
② $2a = |F_1F_2| $ 轨迹是$F_1F_2$线段
③ $2a < |F_1F_2| $ 轨迹不存在。

### 椭圆是圆锥曲线的一种

用平面去截圆锥面，可以得到圆、椭圆、抛物线和双曲线。因为这些图形都是从截取圆锥体得到的，古希腊几何学家将这类曲线统称为圆锥曲线"
参考下图，通过切割圆锥体，可以得到这四种图形。
![](/uploads/2022-10/345_202210030932.png)

## 椭圆标准方程

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：设椭圆上一点 $M$  到两个焦点的距离为$2a$

(1) 焦点在 $x$ 轴时，标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，焦点坐标分别是 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$ ，且 $a^2=b^2+c^2$
![](../uploads/2022-10/93156d.svg)

(2) 焦点在 $y$ 轴时，标准方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$

![图片](/uploads/2025-02/e93ecf.jpg)

> 下面我们根据椭圆的定义来建立椭圆的方程．在考试里，经常会出现考生要自建坐标系的题目，初学者可以细研究本题的思路。

设$F_1$、$F_2$是椭圆的两个焦点，取射线$F_1F_2$作为$X$轴的正半轴，$\overline{F_1F_2}$的垂直平分线作为$Y$轴（图6.1）．设焦距$\overline{F_1F_2}=2c\; (c>0)$，则 $F_1(-c,0),\qquad F_2(c,0) $
 ![图片](/uploads/2024-05/a51d6a.jpg)
 
  
设$P(x,y)$是椭圆上的任一点，它到$F_1$、$F_2$的距离之和等于常数
$2a\; (a>0)$, 则 $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a $
由求两点的距离公式得
 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a $
去根号，整理得
$$
  (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) ...(6.1)
$$
因$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}>\overline{F_1F_2}$, 所以$a>c,\; a^2-c^2>0$, 
设$a^2-c^2=b^2\; (b>0)$, 代入(6.1)式得
 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $
两边同除$a^2b^2$得
$$ 
\boxed{
 {\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}   ...(6.2)
 }
$$

这就是**椭圆的标准方程**．

## 根据方程推断椭圆性质

> **重要说明** 下面将根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$来推断椭圆的性质。利用所学过的函数的**奇偶性、对称性、单调性和导数的意义**的概念，即使我们从未接触过椭圆，但是根据他的函数特点，就应该能推断他的性质，这是新高考压轴题常见考点。

### 椭圆的对称性
首先，由于椭圆方程$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$中只含有$x,y$的平方，故把一个坐标变号，对于方程没有影响，这就表明：如果$M(x,y)$在椭圆上，那么，$M_1(x,-y)$, $M_2(-x,-y)$, $M_3(-x,y)$各点也都在椭圆上，所以**椭圆既是以$x$轴或$y$轴为对称轴的轴对称图形**，**又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，对称中心又叫做椭圆的中心**．

### 椭圆的范围
其次，由方程$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 得
 $\frac{x^2}{a^2}\le 1,\qquad \frac{y^2}{b^2}\le 1 $ 
 即
 $-a\le x\le a,\qquad -b\le y\le b $
这两个不等式表明椭圆全部包含在如图6.2所示的长方形内．
![图片](/uploads/2024-05/6603d1.jpg)

### 椭圆的形态
最后，我们来讨论椭圆在第I象限内的性态．由$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$得
$y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} $
在第I象限，椭圆方程可写为
 $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},\qquad 0\le x\le a $

当$x=0$时，$y=b$, 当$x$递增时，$y$递减，
当$x=a$时，$y=0$, 因此椭圆在第I象限内的轨迹大致是$B_2A_2$这部分曲线，再由对称性可画出整个椭圆的图象（图6.2）．
 
 
### 椭圆的长半轴与短半轴

当$y=0$, $x=\pm a$, 点$A_1(-a,0)$, $A_2(+a,0)$ 是$x$轴上距$y$轴最远的两个点.
当$x=0$, $y=\pm b$, 点$B_1(0,-b)$, $B_2(0,+b)$是$Y$轴上距$X$轴距离最远的两个点.

这四点，$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$叫做**椭圆的顶点**．

$\overline{A_1A_2},\overline{B_1B_2}$分别叫做椭圆的**长轴**和**轴短**．令 $\overline{A_1A_2}=2a$, $\overline{B_1B_2}=2b$, $a$和$b$分别叫做椭圆的**长半轴**长和**短半轴**长．
长轴和短轴的交点叫做**椭圆的中心**．

### 圆是特殊的椭圆
如果$a=b$, 那么椭圆方程就化为
 $x^2+y^2=a^2 $
这时椭圆成为圆，$c=\sqrt{a^2-b^2}=0$, 即椭圆的两个焦点重合于圆心，因此可以说**圆是椭圆的特殊情形**．

### 椭圆的离心率
由以上讨论可以看出，椭圆的形状依赖于$a$和$b$, 参考下图
$a,b,c$组成了一个直角三角形。
a:椭圆半长轴长
b:椭圆半短轴长
c:椭圆的焦点长
![](../uploads/2022-10/93156d.svg)

根据勾股定理，$c=\sqrt{a^2-b^2}$可表示出椭圆离开圆的偏差．由$c^2=a^2-b^2$
可得
 $\frac{c}{a}=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2},\qquad \frac{b}{a}=\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2} $
比值
 $$
 \boxed{
 e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} 
 }
 $$
 
叫做**椭圆的离心率**，用它可同样来表出椭圆的形状．由$c<a$, 可知$e<1$, 当离心率愈来愈大时，也就是愈来愈接近1时，$1-e^2$就越小，椭圆的形状就愈扁平；反之，就愈接近于圆，当$e=0$时，$a=b$椭圆就成为圆了．

> 看到“率”就要想到“比值”，

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【数学分析】从开普勒三大定律到万有引力定律【高中数学】为什么引入离心率【高中数学】椭圆极坐标方程【高中数学】椭圆的第二定义【高中数学】椭圆的参数方程

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