日期: 2023-11-03 20:35 查看: 243 次编辑导出

椭圆的定义与标准方程

## 椭圆的定义

平面内与两个定点$F_1,F_2$ 的距离之和等于常数（记做 $2a$, 且大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这2个顶点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

下图给出了椭圆简单的做法：取一条绳索，绳索两段固定在$F_1$ 和$F_2$ ,用铅笔拉直绳索进行旋转，则笔芯的轨迹就是椭圆,其英文称作Ellipse。

![](/uploads/2022-10/249497.svg)

在定义中，

①  $2a > |F_1F_2| $ 轨迹是椭圆
② $2a = |F_1F_2| $ 轨迹是$F_1F_2$线段
③ $2a < |F_1F_2| $ 轨迹不存在。

## 椭圆是圆锥曲线的一种

圆，椭圆，抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线，参考下图，通过切割圆锥体，可以得到这四种图形。
![](/uploads/2022-10/345_202210030932.png)

## 椭圆标准方程

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：设椭圆上一点 $M$  到两个焦点的距离为$2a$

(1) 焦点在 $x$ 轴时，标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，焦点坐标分布是 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$ ，且 $a^2=b^2+c^2$

(2) 焦点在 $y$ 轴时，标准方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$

下面给出证明：
![](../uploads/2022-10/93156d.svg)
设 $M(x, y)$ 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 $2 c(c>0)$ ，那么焦点 $F_1, F_2$ 的坐标分别是 $(-c, 0),(c, 0)$ ， 又设 $M$ 与 $F_1, F_2$ 的距离的和为 $2 a$ ，由椭圆定义可知

$$
\left|M F_1\right|+\left|M F_2\right|=2 a
$$

因为 $\left|M F_1\right|=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\left|M F_2\right|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
所以 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2 a$
将坐标一个根式移到右边，得到
$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2 a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
将上式两边平方并化简得到

$$
a^2-c x=a \sqrt{(x-c)^2+y^2}
$$

将上式平方整理得

$$
\left(a^2-c^2\right) x^2+a^2 y^2=a^2\left(a^2-c^2\right)
$$

两边同除以 $a^2-c^2$
得

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1
$$

令 $b=\sqrt{a^2-c^2}$ 即得椭圆标准方程:

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)
$$

## 焦点位置的判断

在椭圆的两个标准方程里，
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，(a>b>0) $；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1，(a>b>0) $；

要分清焦点在在$x$轴或者$y$轴，只要看 $x^2$与 $y^2$ 分母的大小。

谁的分母大，焦点就在谁的轴上。

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