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第一类换元法(凑微分法)
日期:
2022-12-29 18:57
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本节主要讨论复合函数和乘积函数的积分. 在学习换元法和分部法 之前, 我们要先复习一下本节会用到的微分公式和三角函数的积化和 差公式. 微分计算: $$ \begin{aligned} & k \mathrm{~d} x=\mathrm{d} k x ; \quad x \mathrm{~d} x=\mathrm{d}\left(\frac{x^2}{2}\right) ; \\ & \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{d} \ln |x| ; \quad \mathrm{e}^x \mathrm{~d}^2=\mathrm{de}^x ; \\ & \frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\mathrm{d} \sqrt{x} ; \quad \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\mathrm{d} \arctan x ; \\ & \sin x \mathrm{~d} x=\mathrm{d}(-\cos x) ; \quad \cos x \mathrm{~d} x=\mathrm{d} \sin x . \end{aligned} $$ 积化 和 差 $$ \begin{aligned} & \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)] \\ & \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] \\ & \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)] . \end{aligned} $$ 利用上节介绍的不定积分的性质及基本积分公式表, 所能计算的不定积分 是很有限的, 必须进一步研究不定积分的求法. 本节把复合函数的微分法反过来 用于求不定积分, 利用中间变量的代换, 得到复合函数的积分法, 称为换元积分 法, 简称换元法. 换元法通常分为两类, 即第一类换元法与第二类换元法. 定理 1 设 $f(u)$ 具有原函数 $F(x), u=\varphi(x)$ 可导,则 $F[\varphi(x)]$ 是 $f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)$ 的原函数, 有换元公式 $$ \int f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left[\int f(u) \mathrm{d} u\right]_{u=\varphi(x)} . $$ 证明 因为 $F(x)$ 是 $f(u)$ 的原函数, 故 $\int f(u) \mathrm{d} u=F(u)+C$. 又 $u=\varphi(x)$ 可微, 故由复合函数微分法, 有 $\mathrm{d} u=\varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) d x$, 从而由不定积分定义得 $$ \int f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F[\varphi(x)]+C=\left[\int f(u) d u\right]_{u=\varphi(x)} . $$ 注 第一类换元法的关键是:在求 $\int g(x) \mathrm{d} x$ 时,如何将 $g(x)$ 化为 $g(x)=f[\phi(x)] \phi^{\prime}(x)$ 的形式. 其具体作法可按如下步骤进行. (1)变换积分形式(或称凑微分),即 $\int f(x) \mathrm{d} x=\int g[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x$; (2)作变量代换 $u=\varphi(x)$, 有 $\int f(x) \mathrm{d} x=\int g(u) \mathrm{d} u$; (3)利用常用的积分公式求出 $g(u)$ 的原函数 $F(u)$, 即得 $\int g(u) \mathrm{d} u=F(u)+C$, 从而 $\int f(x) \mathrm{d} x=F(u)+C$; (4)回到原来的变量, 将 $u=\varphi(x)$ 代入即得 $\int f(x) \mathrm{d} x=F[\varphi(x)]+C$. 读者在熟练了这四个步骤以后,也可不必引入中间变量 $u=\varphi(x)$. 这和我们 学习过的复合函数求导法则相类似,请看下面的例题. 例 1 求 $\int(3 x+2)^5 \mathrm{~d} x$. 解 (1)变换积分形式: 因为 $3 \mathrm{~d} x=\mathrm{d}(3 x)=\mathrm{d}(3 x+2)$, 所以 $$ \int(3 x+2)^5 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int(3 x+2)^5 \cdot 3 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int(3 x+2)^5 \mathrm{~d}(3 x+2) \text {; } $$ (2)设变量代换:令 $u=3 x+2$, 得 $\mathrm{d} u=\mathrm{d}(3 x+2)=3 \mathrm{~d} x$, 即有 $$ \int(3 x+2)^5 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int u^5 \mathrm{~d} u $$ 例 1 求 $\int(3 x+2)^5 \mathrm{~d} x$. (3)利用基本积分公式求上式右端积分: $\frac{1}{3} \int u^5 \mathrm{~d} u=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} u^6+C$, 从而 $\int(3 x+2)^5 \mathrm{~d} x=\frac{1}{18} u^6+C$; (4)回到原来变量, 将 $u=3 x+2$ 代入上式, 得所求积分为 $$ \int(3 x+2)^5 \mathrm{~d} x=\frac{1}{18}(3 x+2)^6+C . $$ 例 1 求 $\int(3 x+2)^5 \mathrm{~d} x$. 以后我们就不用写出中间变量 $u$, 从求积分的第一步的式子中,将 $(3 x+2)$ 当作 中间变量 $u$, 直接得到第四步的结果. 这样, 本例求积分过程可简化为 $$ \int(3 x+2)^5 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int(3 x+2)^5 \mathrm{~d}(3 x+2)=\frac{1}{18}(3 x+2)^6+C . $$ 一般地, 当被积函数形式为 $f(a x+b)$ 时, 可作变换 $u=a x+b$, 即若 $f(x)$ 有原 函数 $F(x)$, 则 $$ \int f(a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C . $$ 例 2 求不定积分 $\int \frac{1}{1+2 x} d x$. $$ \text { 解 } \begin{aligned} \int \frac{1}{1+2 x} \mathrm{~d} x & =\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+2 x} \cdot 2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+2 x} \cdot(1+2 x)^{\prime} \mathrm{d} x \\ & =\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+2 x} \mathrm{~d}(1+2 x) \underline{\underline{1+2 x=u}} \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \mathrm{~d} u \\ & =\frac{1}{2} \ln |u|+C \underline{\underline{u=1+2 x}} \frac{1}{2} \ln |1+2 x|+C . \end{aligned} $$ 例 3 求不定积分: (1) $\int \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$; 解 因为 $\frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{d} \ln x$, 故 $$ \int \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x=\int \ln x \mathrm{~d}(\ln x) \underline{\underline{\ln x=u}} \int u \mathrm{~d} u=\frac{1}{2} u^2+C \underline{\underline{u=\ln x}} \frac{1}{2} \ln ^2 x+C . $$ 注 $f(\ln x) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=f(\ln x) \mathrm{d}(\ln x)$. 例 3 求不定积分: (2) $\int \frac{1}{x \ln x \ln \ln x} d x$. $$ \int \frac{1}{x \ln x \ln \ln x} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{\ln x \ln \ln x} \mathrm{~d} \ln x=\int \frac{1}{\ln \ln x} \mathrm{~d} \ln \ln x=\ln |\ln \ln x|+C . $$ 例 4 求(1) $\int 2 x \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x$; $$ \int 2 x \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x=\int \sin \left(x^2\right) \mathrm{d}\left(x^2\right)=-\cos \left(x^2\right)+C $$ 例 4 求 (2) $\int x \sqrt{x^2+3} \mathrm{~d} x$. 解 因为 $\left.x \mathrm{~d} x=\left(\frac{1}{2} x^2\right)\right)^{\prime} \mathrm{d} x=\frac{1}{2}\left(x^2\right)^{\prime} \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \mathrm{~d}\left(x^2\right)=\frac{1}{2} \mathrm{~d}\left(x^2+3\right)$, 故 $$ \int x \sqrt{x^2+3} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int \sqrt{x^2+3} \mathrm{~d}\left(x^2+3\right)=\frac{1}{3}\left(x^2+3\right)^{\frac{3}{2}}+C \text {. } $$ 注 若 $f(x)$ 有原函数 $F(x)$, 则 $$ \int f\left(x^2\right) 2 x \mathrm{~d} x=F\left(x^2\right)+C . $$ 例 5 求下列不定积分：(1) $\int \frac{1}{1+\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x$; 解 $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\int \frac{1+\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\int\left(1-\frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}\right) \mathrm{d} x \\ & =\int \mathrm{d} x-\int \frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x=\int \mathrm{d} x-\int \frac{1}{1+\mathrm{e}^x} \mathrm{~d}\left(1+\mathrm{e}^x\right) \\ & =x-\ln \left(1+\mathrm{e}^x\right)+C . \end{aligned} $$ 例 5 求下列不定积分: (2) $\int \frac{\sin \frac{1}{x}}{x^2} d x$. $$ \begin{aligned} & \int \frac{\sin \frac{1}{x}}{x^2} \mathrm{~d} x=\int \sin \left(\frac{1}{x}\right) \cdot\left(-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=-\int \sin \left(\frac{1}{x}\right) \cdot \mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)=\cos \left(\frac{1}{x}\right)+C . \\ & \text { 注 } \int f\left(\mathrm{e}^x\right) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\int f\left(\mathrm{e}^x\right) \mathrm{d}\left(\mathrm{e}^x\right) ; \int f\left(\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\int f\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right) . \end{aligned} $$ 例 6 求 (1) $\int \frac{1}{a^2+x^2} \mathrm{~d} x(a>0)$; 解 $\int \frac{1}{a^2+x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a^2} \int \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \int \frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2} \mathrm{~d}\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$. 例 7 求 $\int \frac{1}{x^2-a^2} \mathrm{~d} x(a>0)$. 解 先作分解 $\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2 a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)$,然后积分. $$ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2-a^2} \mathrm{~d} x & =\int \frac{1}{2 a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right) \mathrm{d} x \\ & =\frac{1}{2 a}\left(\int \frac{1}{x-a} \mathrm{~d}(x-a)-\int \frac{1}{x+a} \mathrm{~d}(x+a)\right) \\ & =\frac{1}{2 a}(\ln |x-a|-\ln |x+a|)=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C . \end{aligned} $$ 例 8 求不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{2 x+3}+\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$. 解 将分母有理化: $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\int \frac{\sqrt{2 x+3}-\sqrt{2 x-1}}{(\sqrt{2 x+3}+\sqrt{2 x-1})(\sqrt{2 x+3}-\sqrt{2 x-1})} \mathrm{d} x \\ & =\frac{1}{4} \int \sqrt{2 x+3} \mathrm{~d} x-\frac{1}{4} \int \sqrt{2 x-1} \mathrm{~d} x \\ & =\frac{1}{8} \int \sqrt{2 x+3} \mathrm{~d}(2 x+3)-\frac{1}{8} \int \sqrt{2 x-1} \mathrm{~d}(2 x-1) \\ & =\frac{1}{12}(\sqrt{2 x+3})^3-\frac{1}{12}(\sqrt{2 x-1})^3+C . \end{aligned} $$ 注 利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计算的常用手段之一. 例 9 求不定积分: (1) $\int \frac{\mathrm{e}^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$; 解 $\int \frac{\mathrm{e}^{3 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=2 \int \mathrm{e}^{3 \sqrt{x}} \mathrm{~d}(\sqrt{x})=\frac{2}{3} \int \mathrm{e}^{3 \sqrt{x}} \mathrm{~d}(3 \sqrt{x})=\frac{2}{3} \mathrm{e}^{3 \sqrt{x}}+C$; 例 9 求不定积分: (2) $\int \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$. 解 $\begin{aligned} \int \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x & =2 \int \tan \sqrt{x} \mathrm{~d}(\sqrt{x})=2 \int \frac{\sin \sqrt{x}}{\cos \sqrt{x}} \mathrm{~d}(\sqrt{x}) \\ & =-2 \int \frac{1}{\cos \sqrt{x}} \mathrm{~d}(\cos \sqrt{x})=-2 \ln |\cos \sqrt{x}|+C .\end{aligned}$ 例 10 求 $\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$. 解 注意到 $\mathrm{d} \sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ 即可. $$ \begin{aligned} \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x & =\int \frac{2 \arctan \sqrt{x}}{1+(\sqrt{x})^2} \mathrm{~d} \sqrt{x}=\int 2 \arctan \sqrt{x} \mathrm{darctan} \sqrt{x} . \\ & =(\arctan \sqrt{x})^2+C . \end{aligned} $$ 例 11 求不定积分 $\int \sin 2 x \mathrm{~d} x$. 解法一 原式 $=\frac{1}{2} \int \sin 2 x \mathrm{~d}(2 x)=-\frac{1}{2} \cos 2 x+C$; 解法二 原式 $=2 \int \sin x \cos x \mathrm{~d} x=2 \int \sin x \mathrm{~d}(\sin x)=(\sin x)^2+C$; 解法三 原式 $=2 \int \sin x \cos x \mathrm{~d} x=-2 \int \cos x \mathrm{~d}(\cos x)=-(\cos x)^2+C$. 注 $\quad f(\sin x) \cos x \mathrm{~d} x=f(\sin x) \mathrm{d}(\sin x)$; $f(\cos x) \sin x \mathrm{~d} x=-f(\cos x) \mathrm{d}(\cos x)$. 例 12 求 (1) $\int \tan x \mathrm{~d} x ;(2) \int \cot x \mathrm{~d} x$. 解 (1) $\int \tan x \mathrm{~d} x=\int \frac{\sin x}{\cos x} \mathrm{~d} x=-\int \frac{1}{\cos x} \mathrm{~d} \cos x=-\ln |\cos x|+C$. (2) 同理可得 $\int \cot x \mathrm{~d} x=\ln |\sin x|+C$. 例 13 求 (1) $\int \sin ^3 x \mathrm{~d} x$; 解 因为 $\sin ^3 x=\sin ^2 x \cdot \sin x=\sin ^2 x \cdot(-\cos x)^{\prime}=\left(1-\cos ^2 x\right) \cdot(-\cos x)^{\prime}$, 所以 $$ \int \sin ^3 x \mathrm{~d} x=-\int\left(1-\cos ^2 x\right) \mathrm{d} \cos x=-\cos x+\frac{1}{3} \cos ^3 x+C . $$ 例 13 求 (2) $\int \sin ^2 x \cos ^3 x d x$; 解 因为 $\sin ^2 x \cos ^3 x=\sin ^2 x \cos ^2 x \cdot \cos x=\sin ^2 x\left(1-\sin ^2 x\right) \cdot \cos x$, 所以 $$ \begin{aligned} \int \sin ^2 x \cos ^3 x \mathrm{~d} x & =\int \sin ^2 x\left(1-\sin ^2 x\right) \cdot \cos x \mathrm{~d} x=\int \sin ^2 x\left(1-\sin ^2 x\right) \mathrm{d} \sin x \\ & =\int\left(\sin ^2 x-\sin ^4 x\right) \mathrm{d} \sin x \\ & =\frac{1}{3} \sin ^3 x-\frac{1}{5} \sin ^5 x+C . \end{aligned} $$ 例 13 求 (3) $\int \cos ^2 x \mathrm{~d} x$; $$ \text { 解 } \begin{aligned} \int \cos ^2 x \mathrm{~d} x & =\int \frac{1+\cos 2 x}{2} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{2}(1+\cos 2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int(1+\cos 2 x) \mathrm{d} x \\ & =\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2} \sin 2 x\right)+C=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C . \end{aligned} $$ 例 13 求 (4) $\int \sec ^4 x \mathrm{~d} x$. $$ \text { 解 } \begin{aligned} \int \sec ^4 x \mathrm{~d} x & =\int \sec ^2 x \cdot \sec ^2 x \mathrm{~d} x=\int \sec ^2 x \mathrm{~d} \tan x=\int\left(1+\tan ^2 x\right) \mathrm{d} \tan x \\ & =\tan x+\frac{1}{3} \tan ^3 x+C . \end{aligned} $$ 例 14 求 (1) $\int \csc x \mathrm{~d} x$; $$ \text { 解 } \begin{aligned} & \int \csc x \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{2} \frac{\sec ^2 \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \mathrm{~d} \tan \frac{x}{2} \\ &=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C \\ & \text { 又 } \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{\sin x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\csc x-\cot x \text {, 故 } \\ & \int \csc x \mathrm{~d} x=\ln |\csc x-\cot x|+C ; \end{aligned} $$ 例 14 求 (2) $\int \sec x \mathrm{~d} x$. $$ \text { 解 } \begin{aligned} \int \sec x \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{\cos x} \mathrm{~d} x & =\int \frac{\mathrm{d}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)}=\ln \left|\csc \left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cot \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right|+C \\ & =\ln |\sec x+\tan x|+C . \end{aligned} $$ 例 14 求 (2) $\int \sec x \mathrm{~d} x$. 也可以用下列方法解决： $$ \begin{aligned} \int \sec x \mathrm{~d} x & =\int \frac{1}{\cos x} \mathrm{~d} x=\int \frac{\cos x}{1-\sin ^2 x} \mathrm{~d} x \\ & =\int \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}\right] \mathrm{d} \sin x=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C \\ & =\frac{1}{2} \ln \left|\frac{(1+\sin x)^2}{\cos ^2 x}\right|+C=\ln \left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|+C \\ & =\ln |\sec x+\tan x|+C . \end{aligned} $$ 例 15 求 (1) $\int \cos 3 x \cos x \mathrm{~d} x$; 解 利用三角函数的积化和差公式 $$ \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)] \text {, } $$ 可得 $$ \begin{aligned} \int \cos 3 x \cos x \mathrm{~d} x & =\int \frac{1}{2}(\cos 4 x+\cos 2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} \sin 4 x+\frac{\sin 2 x}{2}\right)+C \\ & =\frac{1}{8} \sin 4 x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C . \end{aligned} $$ 例 15 求 (2) $\int \sin 3 x \cos x \mathrm{~d} x$; 解 利用三角函数的积化和差公式 $$ \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)], $$ 可得 $\int \sin 3 x \cos x \mathrm{~d} x=\int \frac{1}{2}(\sin 4 x+\sin 2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 4 x}{4}-\frac{\cos 2 x}{2}\right)+C$ $$ =-\frac{\cos 4 x}{8}-\frac{\cos 2 x}{4}+C \text {. } $$ 注 第一类换元法也称凑微分法, 有时也需要一定的技巧, 这需要读者进一步练习.
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