最后更新: 2025-04-12 08:09 查看: 464 次反馈刷题

条件概率

## 条件概率的引入
在实际生活中，有时会遇到在事件 $A$ 发生的条件下计算事件 $B$ 的概率问题．怎样解决这类问题呢？我们先来考察下面两个问题。

**问题 1** 掷一个骰子，求掷出的点数为 3 的概率．
本次试验的样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ，设 $B=$＂掷出的点数为 3 ＂，则 $B$ 中样本点个数为 1 ，由古典概型知识可得

$$
P(B)=\dfrac{B \text { 中样本点个数 }}{\Omega \text { 中样本点个数 }}=\dfrac{1}{6} \text {. }
$$

**问题 2** 掷一个骰子，**已知掷出的点数为奇数**，求这个奇数是 3 的概率．
设 $A=$＂掷出的点数为奇数＂，事件 $A$ 包含的结果只有 3 个，它们是 $1,3,5$ 。因而样本空间已经不是 $\Omega$ ，而变为 $A=\{1,3,5\}$ ，这时相对于问题 1 ，我们称试验的条件已经改变，称 $A$ 是新的试验条件下的样本空间．

由于 $A$ 中的 3 个样本点处于相等的地位，所以发生的可能性是相同的，用 $B$ 表示＂掷出点数 3 ＂，$A$ 中样本点个数是 $3$, $B$ 中样本点个数是 1 ，则由古典概型知识可得

$$
P(B)=\dfrac{B \text { 中样本点个数 }}{A \text { 中样本点个数 }}=\dfrac{1}{3} \text {. }
$$

问题 2 与问题 1 都是求掷出点数 3 的概率，为什么结果不一样？
问题 1 的结果是在原有条件（即掷出点数 $1,2,3,4,5,6$ 的等可能情形）下求得的，而问题 2 是一种新的提法，它的结果是在原有条件下又增加一个附加条件（ $A$发生）求得的。

## 条件概率的定义
什么是条件概率（conditional probability）？在古典概率模型中，事件 $A$ 发生之后，随机现象的结果就剩下事件 $A$ 中的样本点，所以事件 $A$ 变成了由这些样本点所构成的新的样本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件 $B$ 发生的概率称为事件 $B$ 关于 $A$ 的条件概率，或在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率，或已知事件 $A$ 发生，事件 $B$ 发生的概率，记为 $P(B \mid A)$ ．事实上，这等于是在一个样本空间为 $A$ 的随机试验中，求事件 $A \cap B$ 发生的概率，即

$$
P(B \mid A)=\frac{|A \cap B|}{|A|}
$$

我们可以借助图 3．1－1 来理解上述计算公式．

![图片](/uploads/2025-02/e3b904.jpg)
 
 用 $n(A), n(A B)$ 分别表示 $A, A B$ 中的样本点个数，由条件概率的定义可知，在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率，等于在事件 $A$ 发生的条件下事件 $A$ 和事件 $B$ 同时发生的概率，即

$$
P(B \mid A)=\frac{n(A B)}{n(A)}=\frac{P(A B)}{P(A)}
$$

下述即是 **条件概率公式**
 
$$
\boxed{
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} ...(1)
}
$$

现在我们再来以投掷骰子理解一下上面公式：
掷一个骰子，已知掷出的点数为奇数，求这个奇数是 3 的概率
记：A:骰子的骰子是奇数。
记：B:骰子的点数为3

等号左边：$P(B \mid A)$ 表示在在骰子为奇数的情况下，发生3点的概率（这里样本空间为3），即为$\frac{1}{3}$。

等号右边：$P(AB)$ 表示骰子即是奇数又是3点的概率（为$\frac{1}{6}$ ,这里要注意样本空间6)。 $P(A)$表示骰子是奇数的概率（$\frac{1}{2}$，因为总共有6个点，奇数是1,2,3， 偶数是2,4,6， 所以奇数的概率为$\frac{1}{2}$）。
可以看到两个计算结果相等。

上式用语言表述就是：**在骰子点数是奇数情况下发生3点的概率等于 骰子即是奇数又是3点的概率除以骰子是奇数的概率**

`例`某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，且每人能否获得冠军是等可能的．已知只有一名女生获得冠军，求高一女生获得冠军的概率．
解 设 $A=$＂一名女生获得冠军＂，$B=$＂高一女生获得冠军＂．已知 $A$ 发生的条件下，$A$ 成为试验的样本空间，$A$ 中样本点具有等可能性，$B$ 是 $A$ 的子集，$A$ 中样本点个数为 $3, B$ 中样本点个数为 1 ．

因此，$\quad P(B \mid A)=\frac{B \text { 中样本点个数 }}{A \text { 中样本点 }=\frac{1}{3} \text { ．} \text { ．} \text { 数 }}=$

例1 中因为 $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, P(A B)=\frac{1}{6}$ ，所以有 
$$
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}
$$

`例`  从一副扑克的 52 张牌（去掉两张王牌后）中任取 1 张，求抽到梅花的条件下，抽到的是梅花 5 的概率．

解 设 $A=$＂抽到梅花＂，$B=$＂抽到梅花 5 ＂。已知 $A$ 发生的条件下，$A$ 成为试验的样本空间，$A$ 中的样本点具有等可能性，$B$ 是 $A$ 的子集，所以

$$
P(B \mid A)=\frac{B \text { 中样本点个数 }}{A \text { 中样本点个数 }}=\frac{1}{13} \text {. }
$$

例 2 中，因为 $P(A)=\frac{13}{52}, P(A B)=\frac{1}{52}$ ，所以也有 $P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}$ ．
一般地，在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的条件概率为：

$$
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} \quad(P(A)>0)
$$

例 3 有圆形零件 100 个，其中有 98 个直径合格，有 96 个光洁度合格，两个指标都合格的有 94 个．从这 100 个零件中，任意抽取 1 个．
（1）如果此零件光洁度合格，求直径也合格的概率（结果保留三位小数）；
（2）如果此零件直径合格，求光洁度也合格的概率（结果保留三位小数）．
解 设 $A=\{$ 直径合格 $\}, B=\{$ 光洁度合格 $\}$ ，则

$$
P(A)=\frac{98}{100}, \quad P(B)=\frac{96}{100}, \quad P(A B)=\frac{94}{100} .
$$

（1）在光洁度合格的条件下直径也合格的概率是

$$
P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}=\frac{\frac{94}{\frac{100}{100}}}{\frac{96}{100}}=\frac{94}{96} \approx 0.979 .
$$

（2）在直径合格的条件下光洁度也合格的概率是

$$
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}=\frac{\frac{94}{100}}{\frac{98}{100}}=\frac{94}{98} \approx 0.959 .
$$

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