最后更新: 2023-10-03 11:17 查看: 268 次下载编辑本文科数网

排列

## 排列数

从 $n$ 个不同元素中，任取 $m$（$m\leq n$，$m$ 与 $n$ 均为自然数，下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列；从 $n$ 个不同元素中取出 $m$($m\leq n$) 个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数，用符号 $\mathrm A_n^m$（或者是 $\mathrm P_n^m$）表示。

排列的计算公式如下：

$$
\mathrm A_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \frac{n!}{(n - m)!}
$$

$n!$ 代表 $n$ 的阶乘，即 $6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6$。

公式可以这样理解：$n$ 个人选 $m$ 个来排队 ($m \le n$)。第一个位置可以选 $n$ 个，第二位置可以选 $n-1$ 个，以此类推，第 $m$ 个（最后一个）可以选 $n-m+1$ 个，得：

$$
\mathrm A_n^m = n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) = \frac{n!}{(n - m)!}
$$

全排列：$n$ 个人全部来排队，队长为 $n$。第一个位置可以选 $n$ 个，第二位置可以选 $n-1$ 个，以此类推得：

$$
\mathrm A_n^n = n(n-1)(n-2) \cdots 3 \times 2 \times 1 = n!
$$

全排列是排列数的一个特殊情况。

**定义**

抽屉原理，亦称鸽巢原理（the pigeonhole principle)。

它常被用于证明存在性证明和求最坏情况下的解。

简单情况

将 $n+1$ 个物体，划分为 $n$ 组，那么有至少一组有两个（或以上）的物体。

这个定理看起来比较显然，证明方法考虑反证法：假如每个分组有至多 $1$ 个物体，那么最多有 $1\times n$ 个物体，而实际上有 $n+1$ 个物体，矛盾。

例如：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。”

**推广**

将 $n$ 个物体，划分为 $k$ 组，那么至少存在一个分组，含有大于或等于 $\left \lceil \dfrac{n}{k} \right \rceil$ 个物品。

推广的形式也可以使用反证法证明：若每个分组含有小于 $\left \lceil \dfrac{n}{k} \right \rceil$ 个物体，则其总和 $S\leq (\left \lceil \dfrac{n}{k} \right \rceil -1 ) \times k=k\left\lceil \dfrac{n}{k} \right\rceil-k < k(\dfrac{n}{k}+1)-k=n$ 矛盾。

此外，划分还可以弱化为覆盖结论不变。
给定集合 $S$, 一个 $S$ 的非空子集构成的簇 $\{A_1,A_2\ldots A_k\}$

- 若满足 $\bigcup_{i=1}^k A_i$ 则称为 $S$ 的一个覆盖（cover)
- 若一个覆盖还满足 $i\neq j\to A_i\cap A_j=\varnothing$ 则称为 $S$ 的一个划分。

鸽巢原理可以有如下叙述：对于 $S$ 的一个覆盖 $\{A_1,A_2\ldots A_k\}$ 有至少一个集合 $A_i$ 满足 $\left\vert A_i \right\vert \geq \left\lceil \dfrac{\left\vert S \right\vert}{k} \right\rceil$。

例题1：有300人到招聘会求职，其中软件设计有100人，市场营销有80人，财务管理有70人，人力资源管理有50人。那么至少有多少人找到工作才能保证一定有70人找的工作专业相同呢？
解：此时我们考虑的最差情况为：软件设计、市场营销和财务管理各录取69人，人力资源管理的50人全部录取，则此时再录取1人就能保证有70人找到的工作专业相同。因此至少需要69*3+50+1=258人。
根据第一抽屉原理之原理2推导：mn+1个人的时候必有m+1个人找到的工作专业相同，所以是要求出mn+1的人数，已知n=3，m+1=70。考虑到人力资源专业只有50人，得出mn+1=(69*3+50)+1=258人。

例题2：一个抽屉里有20件衬衫，其中4件是蓝的，7件是灰的，9件是红的，则应从中随意取出多少件才能保证有5件是同颜色的？
解：根据鸽巢原理，n个鸽巢，kn + 1只鸽子，则至少有一个鸽巢中有k + 1只鸽子。若根据鸽巢原理的推论直接求解，此时k=4，n=3，则应抽取 3 X 4 + 1 = 13件才能保证有5件同色。其实不然，问题的模型和鸽巢原理不尽相同。在解决该问题时，应该考虑最差的情况，连续抽取过程中抽取出4件蓝色的衬衣，即4件蓝色，取走后，问题变成有灰色和红色构成相同颜色的情况，这时，n=2，k + 1 = 5, k = 4. 故应取 4 + 4 X 2 + 1 = 13件。

问题分析：该情况下鸽巢原理的推论不再适用，由于蓝色的衬衫只有4件，而题目中要求有5件是同色的，导致4件蓝色衬衫都被抽取出这一最差情况的存在，所以应该先考虑最差情况，然后在此基础上再运用鸽巢原理。

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