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定积分的几何意义
日期:
2022-12-30 08:30
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*例 1 利用定积分的定义, 计算定积分 $\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$. 解 由于 $\mathrm{e}^x$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 故其定积分存在, 因而可以把区间 $[0,1]$ 分为 $n$ 等分, 即 $x_i=\frac{i}{n}, \Delta x_i=\frac{1}{n}(i=1,2, \cdots, n)$. 取 $\xi_i=x_i=\frac{i}{n}(i=1,2, \cdots, n)$, 由定积分的定义得 $$ \begin{aligned} S & =\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i \\ & =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}+\mathrm{e}^{\frac{2}{n}}+\cdots \cdot \mathrm{e}^{\frac{n}{n}}\right] \end{aligned} $$ *例 1 利用定积分的定义, 计算定积分 $\int_0^1 e^x d x$. 其中 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1$. 该例表明, 用定义计算定积分, 将积分区间采用等距离的划分较为简便, 但 | 即使如此, 其计算过程仍很繁琐, 所以应寻求其它计算定积分的简便方法. 设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续. 若在 $[a, b]$ 上 $f(x) \geq 0$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 的值表示以 $y=f(x)$ 为曲边, 与直线 $x=a, x=b, y=0$ 所围曲边梯形的面积(见图 3-5); 若在 $[a, b]$ 上 $f(x) \leq 0$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 为负值, 其绝对值表示以 $y=f(x)$ 为曲 边, 与直线 $x=a, x=b, y=0$ 所围曲边梯形的面积(见图 3-6);  若在 $[a, b]$ 上 $f(x)$ 有正有负, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 表示由 $y=f(x), x=a, x=b$, $y=0$ 所围图形在 $x$ 轴上方的面积减去在 $x$ 轴下方的面积之差(见图 3-7).  例 2 由定积分的几何意义, 求 $\int_1^2(x-3) \mathrm{d} x$. 解 由于在区间 $[1,2]$ 上, $f(x)=x-3<0$, 因此 按照定积分的几何意义, 该定积分表示由曲边 $y=x-3$ 和直线 $x=1, x=2, y=0$ 所围图形面积的负 值, 该图形是底为 1 和 2 , 高为 1 的梯形(见图 3-8), 其 面积为 $\frac{1}{2}(1+2) \cdot 1=\frac{3}{2}$, 故 $$ \int_1^2(x-3) \mathrm{d} x=-\frac{3}{2} $$  *例 3 利用定积分表示极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{n}\left(\frac{1}{n} \cos \frac{1}{n}+\frac{2}{n} \cos \frac{2}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n} \cos \frac{n-1}{n}+\cos 1\right) . $$ 解 原极限 $=\lim _{n \rightarrow \infty} \pi \sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n} \cos \frac{i}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$. 易见, 若取 $x_i=\frac{i}{n}$, 则 $\Delta x_i=\frac{1}{n}, \xi_i=\frac{i}{n} \in\left[x_{i-1}, x_i\right]$, 原极限 $=\lim _{n \rightarrow \infty} \pi \sum_{i=1}^n \xi_i \cos \xi_i \Delta x_i$. 由此可见, 被积函数应取为 $f(x)=x \cos x$, 注意到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 因而是可 积的. $$ \text { 故有 原极限 }=\pi \int_0^1 x \cos x \mathrm{~d} x \text {. } $$ 注 今后可直接计算出上述积分结果为 $\pi[\sin 1+\cos 1-1]$.
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