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高中数学
第十一章:排列组合与二项式定理
加法原理与乘法原理
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2025-05-24 06:03
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加法原理与乘法原理
## 加法原理 **引例1** 假如我们要从甲地到乙地, 可以乘火车、轮船或公共汽车, 火车每天有两班, 轮船有两班, 公共汽车有六班, 问从甲地到乙地有多少种不同的方法? {width=300px} 分析,因为从甲地到乙地, 乘火车有两种不同的方法, 乘轮船有两种不同的方法, 乘公共汽车有六种不同的方法. 而每种方法都可以由甲地到达乙地, 因为,从甲地到乙地共有 $2+2+6=10$ 种不同的方法. **引例2** 某书架共有三层,第一层放有 3 本不同的数学书,第二层放有 2 本不同的语文书,第三层放有 2 本不同的英语书。从该书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? 分析 从该书架上任取1本书,结果可能是数学书,语文书或英语书.取到数学书,语文书或英语书时分别有 3 种, 2 种或 2 种不同的取法,所以一共有 $$ 3+2+2=7 $$ 种不同的取法. 一般地说, 有如下原理: > **加法原理** 如果完成某件事有 $n$ 种方式, 在第一种方式中有 $m_1$ 种方法, 在第二种方式中有 $m_2$ 种方法 $\cdots \cdots$ ,在第 $n$ 种方式中有 $m_n$ 种方法. 那么完成这件事共有 $m_1+m_2+\cdots+m_n$ 种不同的方法. `例`某市的有线电视可以接收中央台 12 个频道,本地台 10 个频道和其他省市 46 个频道的节目. (1)当这些频道播放的节目互不相同时,一台电视机共可以选看多少个不同的节目? (2)如果有 3 个频道正在转播同一场球赛,其余频道正在播放互不相同的节目,一台电视机共可以选看多少个不同的节目? 解(1)当所有频道播放的节目互不相同时,一台电视机选看的节目可分为 3 类: 第一类,选看中央台频道的节目,有 12 个不同的节目; 第二类,选看本地台频道的节目,有 10 个不同的节目; 第三类,选看其他省市频道的节目,有 46 个不同的节目. 根据分类加法计数原理,一台电视机共可以选看 $$ 12+10+46=68 $$ 个不同的节目. (2)因为有 3 个频道正在转播同一场球赛,即这 3 个频道转播的节目只有 1 个,而其余频道(共有 $(12+10+46-3)$ 个)正在播放互不相同的节目,所以,一台电视机共可以选看 $$ 1+(12+10+46-3)=66 $$ 个不同的节目. **用分类加法计数原理解决计数问题时,首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准,然后根据这个分类标准进行分类。分类时还要注意两条基本原则:一是完成这件事的任何一种方法必须分入相应的类;二是不同类的方法必须是互不相同的.只有满足这两条基本原则才可以使计数不重不漏.** ## 乘法原理 **引例3** 从甲地到乙地,需从甲地乘汽车到丙地,再于次日从丙地乘火车到乙地,如果一天内有 4 趟汽车从甲地开往丙地,有 3 列火车从丙地开往乙地,那么两天内从甲地到达乙地有多少种不同的乘车选择? 分析 这个问题与问题1 不同。在问题 1 中,采用乘汽车或乘火车中的任何一种方式,都可以从甲地到乙地.而在这个问题中,必须经历先从甲地乘汽车到丙地,再从丙地乘火车到乙地这两个步骤,才能够从甲地到乙地. 假定从甲地到丙地的 4 趟汽车分别为 $a, b, c, d$ ,从丙地到乙地的三列火车分别为 $1,2,3$ ,则从甲地到乙地的不同路径为: $a 1, a 2, a 3$ $b 1, b 2, b 3$ $c 1, c 2, c 3$ $d 1, d 2, d 3$ 共有 $4 \times 3=12$(种)不同的乘车选择,如图 {width=400px} **引例4** 某书架有三层,第一层放有 3 本不同的数学书,第二层放有 2 本不同的语文书,第三层放有 2 本不同的英语书.从书架的第一,二,三层各取 1 本书,共有多少种不同的取法? 分析 记 3 本不同的数学书分别为 $M_1, M_2, M_3, 2$ 本不同的语文书分别为 $C_1$ , $C_2, 2$ 本不同的英语书分别为 $E_1, E_2$ ,则从书架的第一,二,三层各取 1 本书的所有可能结果为: $$ \begin{aligned} & M_1 C_1 E_1, M_1 C_1 E_2, M_1 C_2 E_1, M_1 C_2 E_2 ; \\ & M_2 C_1 E_1, M_2 C_1 E_2, M_2 C_2 E_1, M_2 C_2 E_2 \text {; } \\ & M_3 C_1 E_1, M_3 C_1 E_2, M_3 C_2 E_1, M_3 C_2 E_2 \text {. } \end{aligned} $$ 共有 $3 \times 2 \times 2=12$(种)不同的取法,如图 {width=400px} 一般地说, 有如下原理: > **乘法原理** 如果完成某种事需要分成 $n$ 个步骤, 第一步骤有 $m_1$ 种方法, 第二步骤有 $m_2$ 种方法 $\cdots \cdots$, 第 $n$ 步骤有 $m_n$ 种方法, 那么完成这件事共有 $m_1 \cdot m_2 \cdots m_n$ 种不同的方法. **总的来说, 如果完成一种事有几种不同的方法, 这些方法又是互不相关的,任选一种方法都能完成这件事的, 那么完成
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