最后更新: 2025-05-24 06:37 查看: 600 次反馈同步训练

组合

> 组合里，组合记法有苏联式记法 $C_n^m$   和美国式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$。请注意两个记法上下位置正好颠倒。国内高中教材多采用苏式记法，而大学或数学竞赛等常采用美式记法。即：$\mathrm{C}_n^m=\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)= \frac{n!}{(n-m)! m!}$

### 引入
① 平面上有 5 个不同的点 $A, B, C, D, E$ ，以其中两个点为端点的线段共有多少条？

分析 如图 4．3－1，以 $A$ 为端点，到其余四点的线段有 4条：$A B, A C, A D, A E$ ．
$A$ 不是端点，以 $B$ 为端点之一，到其余三点的线段有 3 条： $B C, B D, B E$ ；
$A, B$ 都不是端点，$C$ 为端点之一，到其余两点的线段有 2 $DE$

![图片](/uploads/2025-02/3970d8.jpg)

共有 $4+3+2+1=10$（条）不同的线段．

②从 $a, b, c, d$ 这 4 个字母中，取出 3 个组成一组，共有多少种不同的取法？

分析 从 $a, b, c, d$ 这 4 个字母中，取出 3 个组成一组，所有取法为 $a b c, a b d, a c d, b c d$.
共有 4 种不同的取法．

上述问题 1，2 与 4.2 节的排列问题比较而言，相同点都是从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素；不同点是本节的两个问题与所选的元素的顺序无关，而排列问题与顺序有关．

> 组合和排列最大的区别是：与顺序无关

## 组合
我们知道, 从一个学习小组中选出正、副组长各 1 人, 这种选法是排列问题. 如果改变为从一个学习小组中选出代表 2 人参加学校的学代会, 有多少种不同的选法? "这时的代表无所谓正、副之分, 就无先后顺序的意义了, 也就不成为排列的问题了。

又例如从 1, 2, 3, 4, 5 五个数选出两个数字相乘, 问有多少个不同的乘积?那么只要所选出的数字是 3 和 5 ; 它们的积只有 15 , 至于是 $5 \times 3$ 还有 $3 \times 5$,那是不要求加以区别的, 也是没有排列次序的区别的.

> **定义**：一般地说, 从 $n$ 个不同的元素中, 任取 $m(m \leq n)$ 个元素并成一组, 叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合.

这里要注意, 元素 $a, b, c$ 的组合与 $a, c, b ; \quad  c, a, b ; \quad b, a, c ;\quad  b, c, a$ 或 $c, b, a$ 都被看作是相同的组合了. 对于排列来说, 上列的是六个不同的排列, 而对于组合来说, 只算是一个组合, 那么组合数是怎样进行计算的呢?

从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leq n)$ 个元素的所有组合的个数, 叫做从 $n$个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数，用符号 $\mathrm{C}_n^m$ 表示。

例如，从四个不同元素中取出 3 个元素进行排列，有多少种不同的排法?
我们已经知道应该有 $P_4^3=24$ 种不同的排法, 现在我们想从另外的方法入手解决这个问题.

第一步, 从 $a, b, c, d$ 中取三个元素作一组, 这样可以得到 $a, b, c ; a, b, d$; $a, c, d ; b, c, d$ 四个组, 这就是说 $\mathrm{C}_4^3=4$.

第二步, 把每组的三个元素作全排列, 应有 $\mathrm{P}_3^3$ 个不同排列.
根据乘法原理得 $\mathrm{P}_4^3=4 \cdot \mathrm{P}_3^3$, 即 $\mathrm{P}_4^3=\mathrm{C}_4^3 \cdot \mathrm{P}_3^3$.

又如, 从五个不同的元素中取出 2 个元素的列排数是 $\mathrm{P}_5^2$. 如果我们从五个不同元素中取出两个分成一组，我们可以组成如下的小组：
$a, b ; a, c ; a, d ; a, e ; b, c ; b, d ; b, e ; c, d, c, e$ 和 $d, e$ 等 10 个组, 这就是 $\mathrm{C}_5^2$; 第二步把每组元素进行全排列应是 $\mathrm{P}_2^2$, 这样应该有 $\mathrm{P}_5^2=\mathrm{C}_5^2 \cdot \mathrm{P}_2^2$.

因此有如下结论：

考虑到从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个做排列，可以分成两个步骤来完成：第一步，从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个，有 $C _n^m$ 种选法；第二步，将选出的 $m$ 个对象做全排列，有 $A _m^m$ 种排法．由分步乘法计数原理有 $A _n^m=$ $C _n^m A_m^m$ ，所以

$$
C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1) \cdots[n-(m-1)]}{m \times(m-1) \times \cdots \times 2 \times 1}=\frac{n!}{(n-m)!m!}
$$

上述公式称为组合数公式．

## 组合定理 
从 $n$ 个不同元素中任取 $m$ 个 $(m \leq n)$ 没有重复元素组合数为

$$
\boxed{
\mathrm{C}_n^m= \frac{n!}{m!(n-m)!}
}
$$

证明: 由 $\mathrm{P}_n^m=\mathrm{C}_n^m \cdot \mathrm{P}_m^m$, 所以

$$
\mathrm{C}_n^m=\frac{\mathrm{P}_n^m}{\mathrm{P}_m^m}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
$$

注意： $\mathrm{C}_n^m=\frac{n(n-1) \cdots(n-m+1)}{m!}$

`例`计算 $\mathrm{C}_8^3, \mathrm{C}_8^5$ 和 $\mathrm{C}_9^2$
解：根据组合数公式有：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{C}_8^3 & =\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}=56 \\
\mathrm{C}_8^5 & =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}=56 \\
\mathrm{C}_9^2 & =\frac{9 \times 8}{2 \times 1}=36
\end{aligned}
$$

## 组合数有以下性质

**性质1**

$$
\mathrm{C}_n^m=\mathrm{C}_n^{n-m}
$$

证明：根据组合数公式：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{C}_n^m & =\frac{n!}{m!(n-m)!} \\
\mathrm{C}_n^{n-m} & =\frac{n!}{(n-m)![n-(n-m)]!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\end{aligned}
$$

所以 $\mathrm{C}_n^m=\mathrm{C}_n^{n-m}$.

**性质2**

$$
\mathrm{C}_{n+1}^m=\mathrm{C}_n^m+\mathrm{C}_n^{m-1}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 证明: 根据组合数公式: }\\
&\begin{aligned}
\mathrm{C}_{n+1}^m & =\frac{(n+1)!}{m!(n-m+1)!} \\
\mathrm{C}_n^m+\mathrm{C}_n^{m-1} & =\frac{n!}{m!(n-m)!}+\frac{n!}{(m-1)!(n-m+1)!} \\
& =\frac{(n-m+1) \cdot n!+m \cdot n!}{m!(n-m+1)!}=\frac{n!\cdot(n-m+1+m)}{m!(n-m+1)!} \\
& =\frac{(n+1)!}{m!(

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