定积分的性质

日期: 2022-12-30 08:36 查看: 104 次

按定积分的定义, 即通过积分和的极限求定积分是十分困难的, 必须寻求定 积分的有效计算方法. 下面介绍的定积分的基本性质有助于计算定积分, 也有助 于理解定积分. 假定函数在所讨论的区间上可积, 则有以下性质.
在定积分定义中 $a<b$, 这一限制给定积分的应用带来不便, 因此规定:
(1) $\int_a^a f(x) \mathrm{d} x=0$;
(2)设 $a>b$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=-\int_b^a f(x) \mathrm{d} x$.

1 、被积函数性质
(1) 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积, 则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上也可积; $\left(\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right.$ 存在, 则 $\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$ 也存在)
(2) 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的任何子区间 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 上也可积. (即 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 存在, 则 $\int_\alpha^\beta f(x) \mathrm{d} x$ 也存在, 其中 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ )
(3) $\int_a^b \mathrm{~d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \Delta x_i=b-a$.

2,线性性质
若 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 均存在, 则 $\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)] \mathrm{d}$ 也存在,
且 $\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)] \mathrm{d} x=\alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d} x+\beta \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$, 其中 $\alpha, \beta$ 是常数.

3、区间的匈限可加性

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x .
$$

只要 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, \int_a^c f(x) \mathrm{d} x, \int_c^b f(x) \mathrm{d} x$ 均存在, 无论 $a 、 b 、 c$ 所对应的位置如何, 上式恒 成立.
注 当 $c$ 不在 $[a, b]$ 上时, 如 $c<a<b$, 则 $\int_c^b f(x) \mathrm{d} x=\int_c^a f(x) \mathrm{d} x+\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$, 因此也有

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_c^b f(x) \mathrm{d} x-\int_c^a f(x) \mathrm{d} x=\int_c^b f(x) \mathrm{d} x+\int_a^c f(x) \mathrm{d} x .
$$

4、保序性
设 $f(x) \leq g(x), x \in[a, b]$, 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x 、 \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 均存在, 则

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b g(x) \mathrm{d} x .
$$

推论 1 设 $f(x) \geq 0, x \in[a, b]$, 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 均存在, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \geq 0$;
推论 $2\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$.
证明 由 $-|f(x)| \leq f(x) \leq|f(x)|, x \in[a, b]$, 得

$$
\begin{gathered}
-\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x, \\
\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x .
\end{gathered}
$$

5.估值性质
设 $M=\max _{[a, b]} f(x), m=\min _{[a, b]} f(x)$, 则

$$
m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq M(b-a) .
$$

证明 由 $m \leq f(x) \leq M, x \in[a, b]$, 得

$$
m(b-a)=\int_a^b m \mathrm{~d} x \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b M \mathrm{~d} x=M(b-a),
$$

即 $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq M(b-a)$.

6.积分中值定理
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则至少存在一点 $\xi \in[a, b]$, 使

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a) .
$$

证明 因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 内连续, 所以 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值 $M$ 与最小值 $m$, 故由估值性质有 $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq M(b-a)$, 从而有

$$
m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq M,
$$

即 $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 介于 $f(x)$ 的最大值和最小值之间, 由连续函数的介值定理, 至 少有一点 $\xi(a \leq \xi \leq b)$, 使下式成立

$$
f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x,
$$

即

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a) .
$$

中值定理表明平均值可以在某一点取得, 其几何意义如下:
设 $f(x) \geq 0$, 则由曲线 $y=f(x)$ 、 直线 $x=a 、 x=b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的 面积等于以区间 $[a, b]$ 为底, 以 $f(\xi)$ 为高的矩形 $a b c d$ 的面积, 如图 3-9 所示.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123017715ea.png)
例 4 不计算积分, 试比较下面两个积分的大小: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \mathrm{~d} x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x$.
解 当 $0 \leq \xi \leq \frac{\pi}{2}$ 时, 有 $x \geq \sin x$, 故由保序性得

$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \mathrm{~d} x>\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x
$$

例 5 不计算积分, 比较积分值 $\int_0^{-2} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$ 和 $\int_0^{-2} x \mathrm{~d} x$ 的大小.
解 令 $f(x)=\mathrm{e}^x-x, x \in[-2,0]$,
因为 $f(x) \geq 0$, 所以 $\int_{-2}^0\left(\mathrm{e}^x-x\right) \mathrm{d} x \geq 0$, 从而 $\int_{-2}^0 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x \geq \int_{-2}^0 x \mathrm{~d} x$,
于是

$$
\int_0^{-2} \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x \leq \int_0^{-2} x \mathrm{~d} x
$$

例 6 估计积分 $\int_0^\pi \frac{1}{3+\sin ^3 x} \mathrm{~d} x$ 的值.
解 $f(x)=\frac{1}{3+\sin ^3 x}, x \in[0, \pi]$, 因为 $0 \leq \sin ^3 x \leq 1$, 所以 $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{3+\sin ^3 x} \leq \frac{1}{3}$,

$$
\int_0^\pi \frac{1}{4} d x \leq \int_0^\pi \frac{1}{3+\sin ^3 x} d x \leq \int_0^\pi \frac{1}{3} d x
$$

于是

$$
\frac{\pi}{4} \leq \int_0^\pi \frac{1}{3+\sin ^3 x} \mathrm{~d} x \leq \frac{\pi}{3} .
$$

例 7 试求 $y=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上满足积分中值定理的 $\xi$ 的值.
解 由定积分的几何意义可知, 由曲线 $y=x^2, x$ 轴和直线 $x=1$ 所围的图形 面积即为 $\int_0^1 x^2 \mathrm{~d} x$ 的值. 从引例可知由 $\int_0^1 x^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3}$, 再由积分中值定理,

$$
\xi^2 \cdot(1-0)=\int_0^1 x^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3},
$$

于是

$$
\xi=\frac{\sqrt{3}}{3}

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