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组合
日期:
2024-04-08 07:45
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组合
> 排列组合里，组合记法有苏联式记法和美国式记法。苏式记法是 $C_n^m$ 而美式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$, 国内教程多采用苏式记法，而数学竞赛等常采用美式计发。 ## 组合数 从 $n$ 个不同元素中，任取 $m$($m\leq n$) 个元素组成一个集合，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合；从 $n$ 个不同元素中取出 $m$($m\leq n$) 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数。用符号 $\mathrm C_n^m$ 来表示。 组合数计算公式 $$ \mathrm C_n^m = \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n - m)!} $$ 如何理解上述公式？我们考虑 $n$ 个人 $m$($m \le n$) 个出来，不排队，不在乎顺序 $\mathrm C_n^m$。如果在乎排列那么就是 $\mathrm A_n^m$，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的 $m$ 个人，他们还要“全排”得 $\mathrm A_n^m$，所以得： $$ \begin{aligned} \mathrm C_n^m \times m! &= \mathrm A_n^m\\ \mathrm C_n^m &= \frac{\mathrm A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \end{aligned} $$ 组合数也常用 $\dbinom{n}{m}$ 表示，读作「$n$ 选 $m$」，即 $\displaystyle \mathrm C_n^m=\binom{n}{m}$。实际上，后者表意清晰明了，美观简洁，因此现在数学界普遍采用 $\dbinom{n}{m}$ 的记号而非 $\mathrm C_n^m$。 组合数也被称为「二项式系数」，下文二项式定理将会阐述其中的联系。 特别地，规定当 $m>n$ 时，$\mathrm A_n^m=\mathrm C_n^m=0$。
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