最后更新: 2025-04-12 09:52 查看: 497 次反馈刷题

组合

> 组合里，组合记法有苏联式记法和美国式记法。苏式记法是 $C_n^m$  而美式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$, 国内教程多采用苏式记法，而数学竞赛等常采用美式计发。

### 引入
① 平面上有 5 个不同的点 $A, B, C, D, E$ ，以其中两个点为端点的线段共有多少条？

分析 如图 4．3－1，以 $A$ 为端点，到其余四点的线段有 4条：$A B, A C, A D, A E$ ．
$A$ 不是端点，以 $B$ 为端点之一，到其余三点的线段有 3 条： $B C, B D, B E$ ；
$A, B$ 都不是端点，$C$ 为端点之一，到其余两点的线段有 2 $DE$

![图片](/uploads/2025-02/3970d8.jpg)

共有 $4+3+2+1=10$（条）不同的线段．

②从 $a, b, c, d$ 这 4 个字母中，取出 3 个组成一组，共有多少种不同的取法？

分析 从 $a, b, c, d$ 这 4 个字母中，取出 3 个组成一组，所有取法为 $a b c, a b d, a c d, b c d$.
共有 4 种不同的取法．

上述问题 1，2 与 4.2 节的排列问题比较而言，相同点都是从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素；不同点是本节的两个问题与所选的元素的顺序无关，而排列问题与顺序有关．

> 组合和排列最大的区别是：与顺序无关

## 组合
我们知道, 从一个学习小组中选出正、副组长各 1 人, 这种选法是排列问题. 如果改变为从一个学习小组中选出代表 2 人参加学校的学代会, 有多少种不同的选法? "这时的代表无所谓正、副之分, 就无先后顺序的意义了, 也就不成为排列的问题了。

又例如从 1, 2, 3, 4, 5 五个数选出两个数字相乘, 问有多少个不同的乘积?那么只要所选出的数字是 3 和 5 ; 它们的积只有 15 , 至于是 $5 \times 3$ 还有 $3 \times 5$,那是不要求加以区别的, 也是没有排列次序的区别的.

一般地说, 从 $n$ 个不同的元素中, 任取 $m(m \leq n)$ 个元素并成一组, 叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合.

这里要注意, 元素 $a, b, c$ 的组合与 $a, c, b ; c, a, b ; b, a, c ; b, c, a$ 或 $c, b, a$ 都被看作是相同的组合了. 对于排列来说, 上列的是六个不同的排列, 而对于组合来说, 只算是一个组合, 那么组合数是怎样进行计算的呢?

从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leq n)$ 个元素的所有组合的个数, 叫做从 $n$个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数，用符号 $\mathrm{C}_n^m$ 表示。

例如，从四个不同元素中取出 3 个元素进行排列，有多少种不同的排法?
我们已经知道应该有 $P_4^3=24$ 种不同的排法, 现在我们想从另外的方法入手解决这个问题.

第一步, 从 $a, b, c, d$ 中取三个元素作一组, 这样可以得到 $a, b, c ; a, b, d$; $a, c, d ; b, c, d$ 四个组, 这就是说 $\mathrm{C}_4^3=4$.

第二步, 把每组的三个元素作全排列, 应有 $\mathrm{P}_3^3$ 个不同排列.
根据乘法原理得 $\mathrm{P}_4^3=4 \cdot \mathrm{P}_3^3$, 即 $\mathrm{P}_4^3=\mathrm{C}_4^3 \cdot \mathrm{P}_3^3$.
又如, 从五个不同的元素中取出 2 个元素的列排数是 $\mathrm{P}_5^2$. 如果我们从五个不同元素中取出两个分成一组，我们可以组成如下的小组：
$a, b ; a, c ; a, d ; a, e ; b, c ; b, d ; b, e ; c, d, c, e$ 和 $d, e$ 等 10 个组, 这就是 $\mathrm{C}_5^2$; 第二步把每组元素进行全排列应是 $\mathrm{P}_2^2$, 这样应该有 $\mathrm{P}_5^2=\mathrm{C}_5^2 \cdot \mathrm{P}_2^2$. 因此, 一般地
说, 从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leq n)$ 个元素的排列数 $\mathrm{P}_n^m$ 可以等于 $\mathrm{C}_n^m \cdot \mathrm{P}_m^m$.

## 组合定理 
从 $n$ 个不同元素中任取 $m$ 个 $(m \leq n)$ 没有重复元素组合数为

$$
\boxed{
\mathrm{C}_n^m= \frac{n!}{m!(n-m)!}
}
$$

证明: 由 $\mathrm{P}_n^m=\mathrm{C}_n^m \cdot \mathrm{P}_m^m$, 所以

$$
\mathrm{C}_n^m=\frac{\mathrm{P}_n^m}{\mathrm{P}_m^m}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
$$

注意： $\mathrm{C}_n^m=\frac{n(n-1) \cdots(n-m+1)}{m!}$

`例`计算 $\mathrm{C}_8^3, \mathrm{C}_8^5$ 和 $\mathrm{C}_9^2$
解：根据组合数公式有：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{C}_8^3 & =\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}=56 \\
\mathrm{C}_8^5 & =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}=56 \\
\mathrm{C}_9^2 & =\frac{9 \times 8}{2 \times 1}=36
\end{aligned}
$$

## 组合数有以下性质

**性质1**

$$
\mathrm{C}_n^m=\mathrm{C}_n^{n-m}
$$

证明：根据组合数公式：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{C}_n^m & =\frac{n!}{m!(n-m)!} \\
\mathrm{C}_n^{n-m} & =\frac{n!}{(n-m)![n-(n-m)]!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\end{aligned}
$$

所以 $\mathrm{C}_n^m=\mathrm{C}_n^{n-m}$.

**性质2**

$$
\mathrm{C}_{n+1}^m=\mathrm{C}_n^m+\mathrm{C}_n^{m-1}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 证明: 根据组合数公式: }\\
&\begin{aligned}
\mathrm{C}_{n+1}^m & =\frac{(n+1)!}{m!(n-m+1)!} \\
\mathrm{C}_n^m+\mathrm{C}_n^{m-1} & =\frac{n!}{m!(n-m)!}+\frac{n!}{(m-1)!(n-m+1)!} \\
& =\frac{(n-m+1) \cdot n!+m \cdot n!}{m!(n-m+1)!}=\frac{n!\cdot(n-m+1+m)}{m!(n-m+1)!} \\
& =\frac{(n+1)!}{m!(n-m+1)!}
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

所以 $\mathrm{C}_{n+1}^m=\mathrm{C}_n^m+\mathrm{C}_n^{m-1}$.
为了使性质 1 在 $n=m$ 时也能成立, 我们规定 $\mathrm{C}_n^0=1$.

`例`计算 $\mathrm{C}_{100}^{98}$ 和 $\mathrm{C}_{10}^2+\mathrm{C}_{10}^3+\mathrm{C}_{11}^2+\mathrm{C}_{12}^2$
解：根据组合数性质1

$$
\mathrm{C}_{100}^{98}=\mathrm{C}_{100}^{100-98}=\mathrm{C}_{100}^2=\frac{100 \times 99}{2 \times 1}=4950
$$

根据组合数性质2

$$
\begin{aligned}
\mathrm{C}_{10}^2+\mathrm{C}_{10}^3+\mathrm{C}_{11}^2+\mathrm{C}_{12}^2 & =\mathrm{C}_{11}^3+\mathrm{C}_{11}^2+\mathrm{C}_{12}^2 \\
& =\mathrm{C}_{12}^3+\mathrm{C}_{12}^2=\mathrm{C}_{13}^3 \\
& =\frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1}=286
\end{aligned}
$$

`例`解不等式 $\mathrm{C}_n^3>\mathrm{C}_n^5$
解:

$$
\frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1}>\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
$$

因为 $5 \leq n$, 所以 $n, n-1, n-2, n-3, n-4$ 均为正数, 所以

$$
1>\frac{(n-3)(n-4)}{5 \times 4}
$$

整理得: $n^2-7 n-8<0$
解不等式得: $-1<n<8$, 根据题意, 得: $n=5,6,7$.

`例`高中三个年级, 每个年级有六个班。
（1）每级都进行单循环（每班都与级内其他各班比赛一场）篮球预赛，问预赛需要比赛多少场?
(2) 从各级预赛中选出每级的冠、亚军, 再进行单循环决赛, 规定在预赛中已经比赛过的队不再比赛，问决赛需要比赛多少场？

解:
(1) 根据题意每个级单循环比赛的场次都是 $\mathrm{C}_6^2$, 所以

$$
3 \mathrm{C}_6^2=3 \times 15=45
$$
(2) 决赛共 6 个班, 如果单循环要比赛 $\mathrm{C}_6^2$ 场, 但预赛中比赛过的有 3 场, 所以

$$
C_6^2-3=15-3=12
$$

答：预赛要比赛 45 场，决赛要比赛 12 场。

`例`平面有 10 个不同的点，其中除 4 个点在同一直线上外，不再有 3 个点共线, 以每三个点为顶点可以作多少个不同的三角形?

解：如果 10 点中的任三点都能连成三角形，那么有 $C_{10}^3$ 个三角形。但是如果在四个共线点中任选三点就不可能构成三角形。所以

$$
C_{10}^3-C_4^3=120-4=116
$$

答：可以作 116 个不同的三角形。

`例`在产品检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，假设 100 件产品中有 2 件次品,
(1) 从 100 件产品中抽出三件检查, 其中有 1 件次品的抽法有多少种?
(2) 从 100 件产品中抽出 4 件检查, 其中至少有一件次品的抽法有多少种?

解:
(1) 在 100 件产品中, 次品有两件, 从 2 件次品中抽出 1 件的抽法有 $\mathrm{C}_2^1$, 从 98 件正品中抽出 2 件的方法有 $\mathrm{C}_{98}^2$. 所以

$$
\mathrm{C}_2^1 \cdot \mathrm{C}_{98}^2=2 \cdot \frac{98 \cdot 97}{2}=9506
$$

(2) 至少有 1 件是次品就是包括有 1 件次品和 2 件次品两类抽法的和，所以

$$
\mathrm{C}_2^1 \cdot \mathrm{C}_{98}^3+\mathrm{C}_2^2 \cdot \mathrm{C}_{98}^2=2 \times \frac{98 \cdot 97 \cdot 96}{3 \cdot 2}+\frac{98 \cdot 97}{2}=304192+4753=308945
$$

答：3件中有 1 件是次品的抽法是 9506, 4 件中至少有 1 件次品的抽法是 308945 。

`例`$\mathbf{2} . \mathbf{1 1}$ 从 $0,3,5,7,11$ 五个数中可以得到多少个不同的乘积?
解：因为零乘以任何数其积都是零，所以不论零与多少个数相乘都只算一个乘积就是 $0 ;$

在非零的乘积中有 $\mathrm{C}_4^2, \mathrm{C}_4^3, \mathrm{C}_4^4$ 三类，所以

$$
\mathrm{C}_4^2+\mathrm{C}_4^3+\mathrm{C}_4^4+1=6+4+1+1=12
$$

答：可以得到 12 个不同的乘积.

`例` 圆上有 10 个不同的点，以其中任意 3 个点为顶点，可以组成多少个不同的三角形？

解 由于圆上的 10 个点中不可能有三点共线，因此以其中任意 3 个点为顶点的三角形的个数，就是从 10 个互不相同的元素中任取 3 个不同元素的组合数，即

$$
C_{10}^3=\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}=120 .
$$

因此，可以组成 120 个不同的三角形．

`例` 某班要选举班干部，现有 10 名候选人．
（1）从这 10 名候选人中任选 5 人组成班委，有多少种不同的选法？
（2）从这 10 名候选人中任选 5 人分别担任班委中五项不同的职务，每项职务由一人担任，每人只担任一项职务，有多少种不同的选法？

解（1）从这 10 名候选人中任选 5 人组成班委，这是从 10个互不相同的元素中任取 5 个不同元素的组合问题，有

$$
C_{10}^5=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}=252
$$

种选法．
（2）将选出的 5 名候选人按照职务的顺序排列，这是从 10个互不相同的元素中任取 5 个不同元素的排列问题，共有

$$
P_{10}^5=10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6=30240
$$

种选法．

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