对称式方程及参数方程

日期: 2022-12-30 18:34 查看: 145 次

由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.
如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的方向向 量. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有 无穷多个，它们之间互相平行.
由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的
一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见 图 5-41) . 如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{s}$ ，即有

$$
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \text {, }
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230207e54e.png)

$$
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \text {, }
$$

注 在 (2) 式中，若有个别分母为零，应理解为相应的分子也为零. 例如， $m=0(n \neq 0, p \neq 0)$, 即 (2) 式为

$$
\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
$$

时，上式应理解为

$$
\left\{\begin{array}{c}
x-x_0=0 \\
\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
\end{array} .\right.

(2) 式是含有末知数 $x, y, z$ 的方程组. 从上面推导可知，直线 $l$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标满足(2)式. 反之，如果点 $M(x, y, z)$ 不在直线上，那么向量 $M_0 M$ 与 $s$ 就不平行，于是点 $M(x, y, z)$ 的坐标就不会满足 (2) 式. 由此可知此式即 为直线的对称式方程，也称点向式方程. 这里 $s=(m, n, p)$ 的三个坐标就称为方向 数，而 $s$ 的方向余弦就叫做该直线的方向余弦.
若设 $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$ ，则有参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+m t \\ y=y_0+n t \\ z=z_0+p t\end{array}\right.$.
例 2 用点向式方程或参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{c}x+y+z+1=0 \\ 2 x-y+3 z+4=0\end{array}\right.$.
解 令 $x_0=1$ ，代入方程得

$$
\left\{\begin{array}{c}
y+z=-2 \\
-y+3 z=-6
\end{array},\right.
$$

解得 $y=0 ， z=-2$ ， 即得到该直线上的一点： $M_0(1,0,-2)$ ，由于直线的方 向向量 $\boldsymbol{s}$ 与相交平面的法向量 $\boldsymbol{n}_1=(1,1,1) ， \boldsymbol{n}_2=(2,-1,3)$ 都垂直，故可取

$$
\boldsymbol{S}=\boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right|=(4,-1,-3)
$$

$M_0(1,0,-2), \quad \boldsymbol{S}=(4,-1,-3)$.
因此直线的点向式方程为

$$
\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3},
$$

直线的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{c}
x=1+4 t \\
y=-t \\
z=-2-3 t
\end{array} .\right.
$$

例 3 求过点 $A(1,0,1)$ 和 $B(-2,1,1)$ 的直线方程.
向量 $\overrightarrow{A B}=(-3,1,0)$ 是所求直线的一个方向向量，因此所求直线方程为

$$
\frac{x-1}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0} .

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