科数网知识库
首页
目录
对称式方程及参数方程
日期:
2022-12-30 18:34
查看:
145
次
由立体几何知道,过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此, 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量,那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程. 如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为该直线的方向向 量. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然,一条直线的方向向量有 无穷多个,它们之间互相平行. 由于过空间一点可作且只能作一条直线,平行于已知向量,故给定直线上的 一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ,直线的位置就完全确定了 (见 图 5-41) . 如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点,则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{s}$ ,即有 $$ \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \text {, } $$  $$ \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \text {, } $$ 注 在 (2) 式中,若有个别分母为零,应理解为相应的分子也为零. 例如, $m=0(n \neq 0, p \neq 0)$, 即 (2) 式为 $$ \frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} $$ 时,上式应理解为 $$ \left\{\begin{array}{c} x-x_0=0 \\ \frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \end{array} .\right. $$ (2) 式是含有末知数 $x, y, z$ 的方程组. 从上面推导可知,直线 $l$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标满足(2)式. 反之,如果点 $M(x, y, z)$ 不在直线上,那么向量 $M_0 M$ 与 $s$ 就不平行,于是点 $M(x, y, z)$ 的坐标就不会满足 (2) 式. 由此可知此式即 为直线的对称式方程,也称点向式方程. 这里 $s=(m, n, p)$ 的三个坐标就称为方向 数,而 $s$ 的方向余弦就叫做该直线的方向余弦. 若设 $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$ ,则有参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+m t \\ y=y_0+n t \\ z=z_0+p t\end{array}\right.$. 例 2 用点向式方程或参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{c}x+y+z+1=0 \\ 2 x-y+3 z+4=0\end{array}\right.$. 解 令 $x_0=1$ ,代入方程得 $$ \left\{\begin{array}{c} y+z=-2 \\ -y+3 z=-6 \end{array},\right. $$ 解得 $y=0 , z=-2$ , 即得到该直线上的一点: $M_0(1,0,-2)$ ,由于直线的方 向向量 $\boldsymbol{s}$ 与相交平面的法向量 $\boldsymbol{n}_1=(1,1,1) , \boldsymbol{n}_2=(2,-1,3)$ 都垂直,故可取 $$ \boldsymbol{S}=\boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right|=(4,-1,-3) $$ $M_0(1,0,-2), \quad \boldsymbol{S}=(4,-1,-3)$. 因此直线的点向式方程为 $$ \frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}, $$ 直线的参数方程为 $$ \left\{\begin{array}{c} x=1+4 t \\ y=-t \\ z=-2-3 t \end{array} .\right. $$ 例 3 求过点 $A(1,0,1)$ 和 $B(-2,1,1)$ 的直线方程. 向量 $\overrightarrow{A B}=(-3,1,0)$ 是所求直线的一个方向向量,因此所求直线方程为 $$ \frac{x-1}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0} . $$
本系统使用
启明星知识库Kbase
搭建,最后更新于
2022-12-30 18:34
,如果您有意见或建议请点击
反馈
。