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旋转曲面
日期:
2022-12-30 18:46
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定义 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面，这条定直线就叫做旋转曲面的轴. 设在 $y O z$ 坐标面上有一已知曲线 $L: f(y, z)=0$ ，将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转就得到一个 以 $z$ 轴为旋转轴的旋转曲面 $S$. 设 $M_1\left(0, y_1, z_1\right)$ 为 $L$ 上任一点，则 $f\left(y_1, z_1\right)=0$ ，当 $L$ 绕 $z$ 轴旋转时，点 $M_1$ 也绕 $z$ 轴旋转到另一点 $M(x, y, z)$ ， 这 时 $z=z_1$ 保持不变 (见图 5-47).  定义 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面，这条定直线就叫做旋转曲面的轴. $M$ 到 $z$ 轴的距离 $d$ 保持不变且等于 $\left|y_1\right|$, 而 $d=\sqrt{x^2+y^2}=\left|y_1\right|$ ， 或 $y_1=\pm \sqrt{x^2+y^2}$, 由 $f\left(y_1, z_1\right)=0$ 得 $f\left(\pm \sqrt{x^2+y^2}, z\right)=0$ ， 这就是旋转曲面 $S$ 的方程. 容易看到，不在曲面 $S$ 上的点的坐标不会满足(1) 式，因此 (1) 式就是以曲线 $C$ 为母线， $z$ 轴为旋转轴的曲面 $S$ 的方程. 定义 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面，这条定直线就叫做旋转曲面的轴. 类似地，在曲线 $L$ 的方程 $f(y, z)=0$ 中，变量 $z$ 保持不变，将 $\pm \sqrt{x^2+y^2}$ 替 换 $y$ ，就得到曲线 $L$ 绕 $z$ 轴旋转所形成的旋转曲面方程. 同理，曲线 $L: f(y, z)=0$ 绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 $f\left(y, \pm \sqrt{x^2+z^2}\right)=0$. 例 6 直线 $L$ 绕另一条与 $L$ 相交的定直线旋转一周， 所得旋转曲面称为叫圆锥面，两直线的交点称为圆雉面 的顶点，两直线的夹角 $\alpha\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ 称为圆雉面的半顶 角. 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 $z$ 轴，半顶角为 $\alpha$ 的圆锥面方程 (见图 5-48). 解 $y O z$ 面上直线方程为 $L: z=y \cot \alpha$, 注意到旋转轴 为 $z$ 轴，有 $$ d=\pm \sqrt{x^2+y^2}, $$ 锥面方程为 $$ z=\pm \sqrt{x^2+y^2} \cot \alpha \text { 或 } z^2=a^2\left(x^2+y^2\right)(a=\cot \alpha) \text {. } $$  同样我们可以得到了常见的几个旋转曲面方程: (1) 当 $y O z$ 平面上抛物线 $y^2=2 p z$ 绕 $z$ 轴旋转就得到一个以 $z$ 轴为旋转轴 的旋转曲面，其方程为 $\left(\pm \sqrt{x^2+y^2}\right)^2=2 p z$ ，即 $x^2+y^2=2 p z$ ，这是旋转抛物面方 程 (见图 5-49）.  (2) 当 $x O z$ 平面上椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $z$ 轴旋转就得到一个以 $z$ 轴为旋转轴的 旋转曲面，其方程为 $\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ，这是旋转椭球面方程 (见图 5-50）.  (3) 当 $x O z$ 平面上双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 绕 $x$ 轴旋转就得到一个以 $x$ 轴为旋转轴的旋转 曲面，其方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$ (见图 5-51)；若绕 $z$ 轴旋转就得到 $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ (见图 5-52)，这是旋转双曲面方程，前者是双叶旋转双曲面，后者是单叶旋转双曲面. 
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2022-12-30 18:46
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