空间曲线在坐标面上的投影

日期: 2022-12-30 19:00 查看: 72 次

例 10 求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ z=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 在坐标面上的投影曲线方程.
解 (1)消去变量 $z$ 后得 $x^2+y^2=\frac{3}{4}$, 在 $x O y$ 面上的投影为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=\frac{3}{4}, \\
z=0 .
\end{array}\right.
$$

(2) 因为曲线在平面 $z=\frac{1}{2}$ 上，所以在 $x O z$ 面上的投影为线段

$$
\left\{\begin{array}{l}
z=\frac{1}{2}, \quad|x| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} ; \\
y=0 .
\end{array}\right.
$$

(3) 同理在 $y O z$ 面上的投影也为线段

$$
\left\{\begin{array}{l}
z=\frac{1}{2}, \\
x=0,
\end{array} \quad|y| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} .\right.
$$

例 11 求抛物面 $y^2+z^2=x$ 与平面 $x+2 y-z=0$ 的截线在三个坐标面上的投 影曲线方程.
解 截线方程为 $\left\{\begin{array}{l}y^2+z^2=x, \\ x+2 y-z=0\end{array}\right.$.
(1) 消去 $z$ 得投影 $\left\{\begin{array}{l}x^2+5 y^2+4 x y-x=0 \text {, } \\ z=0 .\end{array}\right.$
(2) 消去 $y$ 得投影 $\left\{\begin{array}{l}x^2+5 z^2-2 x z-4 x=0, \\ y=0 .\end{array}\right.$
(3) 消去 $x$ 得投影 $\left\{\begin{array}{l}y^2+z^2+2 y-z=0, \\ x=0 .\end{array}\right.$
例 12 求上半球面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 和雉面 $z=\sqrt{3\left(x^2+y^2\right)}$ 的交线在 $x O y$ 面上 的投影曲线.
解 半球面和雉面的交线为

$$
C:\left\{\begin{array}{l}
z=\sqrt{4-x^2-y^2}, \\
z=\sqrt{3\left(x^2+y^2\right)},
\end{array}\right.
$$

消去 $z$ 得投影柱面 $x^2+y^2=1$, 则交线 $C$ 在 $x O y$ 面上的投影曲线为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=1 \text {, } \\ z=0 .\end{array}\right.$

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