自变量趋于无穷大时的极限

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 64 次更新导出Word

这一节介绍函数极限的定义. 在前一节，我们探讨了数列的极限. 数列的通项可以看成一类特殊的函数 $x_n=f(n)$ ，那么数列极限就变成 了 $\lim _{x \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=a$ ，这里 $n \in \mathbb{Z}^{+}$. 如果我们把函数的定义域扩充到 $x \in R$ ， 那么就变成了函数的极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$.
本节将介绍自变量趋于无穷大 $(x \rightarrow \infty)$ 和自变量趋于固定值 $\left(x \rightarrow x_0\right)$ 时的两种函数的极限.

**定义**

一般地，我们假设函数 $f(x)$ 在 $x>X$ ( $X$ 为某一正数)时有定义，如果在 $x \rightarrow+\infty$ 过程中，对应的函数值 $f(x)$ 无限接近确定的常数 $A$ ，则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的极限. 精确地说，就有如下定义.

定义 1 设函数 $f(x)$ 当 $x$ 大于某一正数时有定义，如果存在常数 $A$ ，对 于任意给定的正数 $\varepsilon$ (不论它多么小)，总存在正数 $X$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $x>X$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon ，$ 则 $A$ 就叫作函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的极限，记作
$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，或 $f(x) \rightarrow A(x \rightarrow+\infty)$.

定义 1 也可简述为以下形式.
若 $\forall \varepsilon>0 ， \exists X>0$ ，当 $x>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$. 同样，我们也可以定义当 $x \rightarrow-\infty$ 时的函数 $f(x)$ 的极限.
若 $x<0$ 且 $x \rightarrow \infty$ ，即 $x \rightarrow-\infty$ 时，有 $f(x) \rightarrow A$ ，或记为 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 即 如果 $\forall \varepsilon>0, \exists X>0$, 当 $x<-X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$.
当 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 时，我们就得到 $x \rightarrow \infty$ 时的函数 $f(x)$ 的 极限定义.
如果 $\forall \varepsilon>0 ， \exists X>0$ ，当 $|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$.

下面看一下极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 的几何解释.
对任意给定的 $\varepsilon>0$ ， 作直线 $y=A-\varepsilon$ 及 $y=A+\varepsilon$
总存在 $x>0$,
当 $|x|>X$ 时， $y=f(x)$ 的图形必位于这两直线之间 (见图1-39).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271346.png)

显然可以得到下面的结论.
定理 $1 \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$.
很容易看出， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$.
直线 $y=0$ 称为函数 $y=\frac{1}{x}$ 图形的水平渐近线.
同理， $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x$ 不存在，因为 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}$.
直线 $y=\frac{\pi}{2}$ 和 $y=-\frac{\pi}{2}$ 称为函数 $y=\arctan x$ 图形的水平渐近线.
注 一般地，如果 $\lim _{x \rightarrow \rightarrow \infty} f(x)=A$ 或 $\lim _{x \rightarrow \infty \infty} f(x)=A ＼mathrm{~ ， 那 么 称 直 线 ~} y=A$ 为函数 $y=f(x)$ 图形 的水平渐近线.

例 1 证明 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0$.

$$
|f(x)-A|=\left|\frac{\sin x}{x}-0\right|=\frac{|\sin x|}{|x|}<\frac{1}{|x|}
$$

对 $\forall \varepsilon>0$ ，要使 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，
只需 $\frac{1}{|x|}<\varepsilon$ ，即 $|x|>\frac{1}{\varepsilon^{\prime}}$
取 $x=\frac{1}{\varepsilon^{\prime}}$ ，则当 $|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|=\left|\frac{\sin x}{x}-0\right|<\varepsilon$ ，
即 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0$

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