最后更新: 2025-03-29 09:05 查看: 527 次反馈刷题

函数连续性

## 函数的连续性

> 函数的连续性通俗理解就是可以用一笔画出来。

对于函数 $y=\frac{x^2-1}{x-1} ， \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=2$ ，当 $x \rightarrow 1$ 时极限是存在的，但是函 数 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处是没有定义的，所以在 $x=1$ 处曲线是 "断" 的(见图1-51). 而对于函数 $y=x+1 ， \lim _{x \rightarrow 1} x+1=2 ，$ 这时函数的曲线 就是 "不断" 的(见图1-52)，这样的函数称为 "连续" 函数.
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“连续性”这个概念在日常生活中处处存在， 如气温的变化、地球的转动、动植物的生长等均是连续变化的. 这种现象在函数关系上的反映， 就是“函数的连续性”. 例如， 就植物的生长来看， 当时间变化很微小时， 植物也相应发生微小的变化， 这种特点就是所谓的连续性.

注 $\Delta u$ 可正可负. 当 $\Delta u>0$ 时， $u_2=\Delta u+u_1$ ，变量 $u$ 是增大的（见图1-53）； 当 $\Delta u<0$ 时， $u_2=\Delta u+u_1$ ，变量 $u$ 是减少的（见图1-54）.

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设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 从 $x_0$ 变化到 $x_0+\Delta x$ 时，相 应的函数 $f(x)$ 也发生变化: $f\left(x_0\right) \rightarrow f\left(x_0+\Delta x\right)$ ，此时函数 $y$ 的对应增量（见图1-55) 为 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271451.png)

## 函数在一点处的连续性

定义 2 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right]=0 ，
$$

则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续.
和极限概念中有左、右极限一样，函数也有左、右连续的概念.
若 $f\left(x_0^*\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ ， 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处**右连续**；
若 $f\left(x_0^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处**左连续**.
显然有 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right) \Leftrightarrow f\left(x_0^{-}\right)=f\left(x_0^{+}\right)=f\left(x_0\right)$ ，
**即函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续且右连续.**

> 函数连续与函数光滑的区别：以 $y=|x|$ 为例，函数连续只要求左右连续存在，但是不一定相等，而函数光滑是左右连续存在切相当。

> 从图形上看，函数连续是可以一笔画出来，函数光滑是函数图像没有“尖点”， 函数有断点是需要两笔或者两笔以上才能画出。

从上述性质可以看出，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，等价于其在 $x_0$ 处的左极限、右 极限存在且相等并等于该点的函数值. 其中只要有一条不成立，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续.

`例` 用连续性定义证明 $y=x^2$ 在 $x_0$ 处连续.
证明 当自变量 $x$ 的增量为 $\Delta x$ 时，函数 $y=x^2$ 对应的增量为

$$
\Delta y=\left(x_0+\Delta x\right)^2-x_0^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2
$$

由于 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2\right]=0$
因此 $y=x^2$ 在 $x_0$ 处连续.
我们也很容易知道， $y=\sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处右连续(请读者自行证明).

## 区间上的连续性
若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ (或 $(-\infty,+\infty)$ )内处处连续(每一点处均连续)，则称函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ (或 $(-\infty,+\infty)$ )内连续.

若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，且在 $x=a$ 处右连续，在 $x=b$ 处左连续，则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续.
**连续函数 $y=f(x)$ 的图形是一条连续不断的曲线.**

由于基本初等函数在其各自定义域内每点处的极限都存在，且等于该点处的函数值，由连续函数的定义可知，**基本初等函数都是各自定义域内的连续函数**.

设函数 $f(x)=P_n(x)$ 为 $n$ 阶多项式 $\left(P_n(x)=a_0 x^n+a_1 x^{x_1-1}+\cdots+a_n\right)$ ，由极限运算法 则可知， $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续， 即对， $\forall x_0 \in(-\infty,+\infty)$ ，

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} P_n(x)=P_n\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) ，
$$

设 $F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, 其中 $P(x) 、 Q(x)$ 为多项式，若 $Q\left(x_0\right) \neq Q$ 则有 $\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P\left(x_0\right)}{Q\left(x_0\right)}=F\left(x_0\right)$, 即其在定义域内的每一点处都连续.
例如，设 $y=\sqrt{x}$ ，由 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \sqrt{x}=\sqrt{x_0}\left(x_0>0\right)$ 及 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \sqrt{x}=0$ ，可知其在 $[0,+\infty)$ 内连续.

为了进一步说明连续性的概念，再举一例.

`例`证明 $y=\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续.
证明 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，当 $x$ 有增量 $\Delta x$ 时，对应的函数增量是

$$
\Delta y=\sin (x+\Delta x)-\sin x=2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)
$$

由于 $\left|\cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right| \leq 1$,
因此 $\quad|\Delta y|=\left|2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right| \leq 2\left|\sin \frac{\Delta x}{2}\right| \leq 2 \cdot\left|\frac{\Delta x}{2}\right|=|\Delta x|$ ， 即 $0 \leq|\Delta y| \leq|\Delta x|$ ，
当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，由夹逼准则知 $|\Delta y| \rightarrow 0$ ，从而 $\Delta y \rightarrow 0$ ，
故 $y=\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续.
同理可证 $y=\cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续.

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