最后更新: 2025-03-29 09:40 查看: 705 次反馈同步训练

初等函数的连续性

## 初等函数的连续性
由函数在一点处的连续性定义和极限的四则运算法则， 可以得到 
定理1 (连续函数的四则运算) 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，则
(1) 和 $f(x)+g(x)$ ；
(2) 差 $f(x)-g(x)$ ；
(3) 积 $f(x) \cdot g(x)$ ；
$(4)$ 商 $\frac{f(x)}{g(x)}\left(g\left(x_0\right) \neq 0\right)$
都在点 $x=x_0$ 处连续.
根据定理1 可知，由于 $\sin x ， \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} ， \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ ， $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ 和 $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ 在其定义域内是连续的，即三角函数在其定义域内是连续的.

## 反函数的连续性
定理 2 (反函数的连续性) 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加(或单调 减少)且连续，那么它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $I_y=\left\{y \mid y=f(x), x \in I_x\right\}$ 上单调增加(或单调减少)且连续.
从几何上看，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 关于直线 $y=x$ 对称(见图1-62).
因此，如果曲线 $y=f(x)$ 为连续曲线，那么曲线 $y=f^{-1}(x)$ 也是连续曲线.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122761cb692.png)

由此可知，由于 $y=\sin x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调增加且连续，故 $y=\arcsin x$ 在 $[-1,1]$ 上单调增加且连续.
由于 $y=\cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上单调减少且连续，故 $y=\arccos x$ 在 $[-1,1]$ 上单调减少且连续. 由于 $y=\tan x$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内单调增加且连续，故 $y=\arctan x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调增加 且连续，同理可得 $y=\operatorname{arccot} x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调减少且连续.
因此，反三角函数在其定义域内是连续的.

当 $a>0 ， a \neq 1$ 时， $\lim _{x \rightarrow x_0} a^x=\lim _{x \rightarrow x_0} a^{x_0} a^{x-x_0}=a^{x_0} \lim _{x \rightarrow x_0} a^{x-x_0}$
令 $u=x-x_0$ ，则当 $x \rightarrow x_0$ 时， $u \rightarrow 0$ ， 故由极限复合运算法则知

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} a^x=a^{x_0} \lim _{u \rightarrow 0} a^u=a^{x_0},
$$

从而 $y=a^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，因此它的反函数 $y=\log _a x$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续. 因此， 指数函数与对数函数在其定义域内是连续的.

定理 3 (复合函数的连续性) 设函数 $y=f(g(x))$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f[g(x)]=\lim _{u \rightarrow u_0} f(u)=f\left(u_0\right)$
$(2$ )式表示: 在定理 3 的条件下，求复合函数 $y=f(g(x))$ 的极限时，函数符号 $f$ 与极限号 $\lim _{x \rightarrow \infty}$ 可交换次序.
例如，求 $\lim _{x \rightarrow 3} \sqrt{\frac{x-3}{x^2-9}}, y=\sqrt{\frac{x-3}{x^2-9}}$ 可看作 $y=\sqrt{u}$ 与 $u=\frac{x-3}{x^2-9}$ 复合而成. 因为 $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{\theta}$ 而函数 $y=\sqrt{u}$ 在点 $u=\frac{1}{6}$ 处连续，因此

$$
\lim _{x \rightarrow 3} \sqrt{\frac{x-3}{x^2-9}}=\sqrt{\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{x^2-9}}=\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}
$$

将定理 3 的条件做些修改，则可得到:
定理 4 设函数 $y=f(g(x))$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $U\left(x_0\right) \subset D_{f g}$ 若函数 $u=g(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且 $g\left(x_0\right)=u_0$ ，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 处连续， 则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x=x_0$ 处连续.
例如，对于函数 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 及 $(0,+\infty)$ 内连续，又 $f(u)=\sin u$ 在 $(-\infty,

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：函数的间断点

下一篇：最大值最小值、零点定理与介值定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)