最后更新: 2025-03-29 09:46 查看: 1218 次反馈刷题

最大值最小值、零点定理与介值定理

## 最大值和最小值定理
定理5 (最大值和最小值定理) 若函数 $f(x)$ 在**闭区间**上连续，则该函数在该闭区间上必有界，且 有最大值和最小值.

> 注意上面定义里必须使用**闭区间**，以 $y= \tan x$ 为例，在**开区间** $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 内虽然连续，但是显然没有最大值和最小值。

定理5 也可叙述为，若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， 则至少存在一点 $\xi_1 \in[a, b]$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=M=\max _{x \in[a, b]} f(x)$; 至少存在一点 $\xi_2 \in[a, b]$ ，使 $f\left(\xi_2\right)=m=\min _{x \in[a b]} f(x)$ （见 图1-63).
从而有 $m \leq f(x) \leq M$ ， 则取 $K=\max \{|m|,|M|\}$ ，使 $|f(x)| \leq K ， x \in[a, b]$ ，即 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212279892207.png)

### 零点
方程 $f(x)=0$ 的根称为函数 $f(x)$ 的零点. 是不是所有的函数都有零点呢? 如图1-64所示，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上恒大于零， 所以无零点；
而在图1-65中，虽然 $f(a)>0, f(b)<0 ，[a, b]$ ，但是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上也没有零点. 那么需要什么条件才能使函数必有零点?

![图片](/uploads/2022-12/image_20221227092f9aa.png)

## 零点定理
若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b)<0$ ，则至少存在 一点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(\xi)=0$.
从几何上看，如果连续曲线弧 $y=f(x)$ 的两个端点位于 $x$ 轴的不同侧，那么这 段曲线弧与 $x$ 轴至少有一个交点(见图1-66).

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122770dacb0.png)

## 介值定理 
若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)=A ， f(b)=B$ $(A \neq B)$ ，则对于 $A 、 B$ 之间的任意一个数 $C$ ， 在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ， 使 $f(\xi)=C$. 进一步，函数必取得介于最小值 $M$ 和最大值 $m$ 之间的任何值(见 图1-67).
![图片](/uploads/2022-12/image_20221227aac06bf.png)

`例` 试证方程 $x 2^x=1$ 至少有一个小于 1 的正根.
证明 设 $f(x)=x 2^x-1 ， f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=-1<0 ， f(1)=2-1=1>0$ ，即 $f(0) f(1)<0$. 由零点定理，知至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使 $f(\xi)=0$ 即方程 $x 2^x=1$ 至少有一个小于 1 的正根.

`例` 估计方程 $x^3-6 x+2=0$ 的根的位置.
解 令 $f(x)=x^3-6 x+2$

$$
\begin{aligned}
& f(-3)=-7<0, f(-2)=6>0, f(-1)=7>0 \quad f(0)=2>0 ， f(1)=-3<0 ， \\
& f(2)=-2<0, \quad f(3)=11>0 .
\end{aligned}
$$

由于三次方程至多有三个实根， 因此方程 $x^3-6 x+2=0$ 在 $(-3,-2) ，(0,1) ，(2,3)$ ， 内各有一实根.

`例` 如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)<a ， f(b)>b$, 证明在 $(a, b)$ 内至少 有一 $c$ ，使 $f(c)=c$.
证明 令 $g(x)=f(x)-x, g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且
$g(a)=f(a)-a<0 ， g(b)=f(b)-b>0$ ， 由零点定理，知至少存在 $c \in(a, b)$ ，使 $g(c)=0$ ，即 $f(c)=c$.

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