数量场与向量场简介

日期: 2022-12-31 10:29 查看: 217 次

所谓场，就是一种分布.气压、气温、电位、电场强度、流体密度、速度等由 空间位置及时间所确定的物理量，它们在空间或在部分空间上的分布就称为场.
若形成场的物理量是数量，则称为数量场，即如果对于空间区域 $G$ 内的任一 点 $M$ ，都有一个确定的数量函数 $f(M)$ ，则称在空间区域 $G$ 内确定了一个数量 场；一个数量场可用一个数量函数 $f(M)$ 来确定，比如：大气温度的分布、流体 密度的分布都形成数量场；
若形成场的物理量是向量，则称为向量场，即如果对于空间区域 $G$ 内的任一 点 $M$ ，都有一个确定的向量值函数 $\vec{f}(M)$ ，则称在空间区域 $G$ 内确定了一个向 量场；一个向量场可用一个向量值函数 $\vec{f}(M)$ 来确定，比如：流体流动的速度、 电场强度的分布都形成向量场；
若向量场 $f(M)$ 是某个数量函数 $f(M)$ 的梯度场 $\operatorname{grad} f(M)$ ，则称 $f(M)$ 是 向量场 $\vec{f}(M)$ 的一个势函数，并称向量场 $\vec{f}(M)$ 是一个势场.
注 任何一个向量场并不一定都是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯 度场.
例 25 试求数量场 $\frac{m}{r}$ 所产生的梯度场，其中常数 $m>0 ， r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 为 原点 $O$ 到点 $M(x, y, z)$ 的距离.
解 $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{m x}{r^3}$ ，同理， $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m y}{r^3} ， \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{m}{r}\right)=-\frac{m z}{r^3}$ ，故 $\operatorname{grad} \frac{m}{r}=\left(-\frac{m x}{r^3},-\frac{m y}{r^3},-\frac{m z}{r^3}\right)=-\frac{m}{r^2}\left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right)$ ，
若用 $e_r$ 表示 $\overrightarrow{O M}$ 同方向的单位向量，即 $e_r=\left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right)$ ，则
则 $\operatorname{grad} \frac{m}{r}=-\frac{m}{r^2} \boldsymbol{e}_r$
例 25 试求数量场 $\frac{m}{r}$ 所产生的梯度场，其中常数 $m>0 ， r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 为 原点 $O$ 到点 $M(x, y, z)$ 的距离.
上式右端在力学上可解释为: 位于原点 $O$ 而质量为 $m$ 的质点对位于点 $M$ 而 质量为 1 的质点的引力，这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比，而与它们 之间的距离平方成反比，这引力的方向由点 $M$ 指向原点，因此数量场 $\frac{m}{r}$ 的势场 即梯度场 $\operatorname{grad} \frac{m}{r}$ 称为引力场，而函数 $\frac{m}{r}$ 称为引力势.

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