最后更新: 2025-01-27 19:19 查看: 1073 次反馈刷题

函数的可导性与连续性的关系

## 函数的可导性与连续性的关系
**定理** 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续.
证明：若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，由定义得 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ， 因此，

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot 0=0
$$

根据连续函数的定义，故函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续.

注意：
（1）该定理的逆命题不成立，即连续函数未必可导，如 $y=|x|$ ；
（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导。

下面这个图虽然不雅观，但是容易理解，一排共享单车放着，连续，可导关系
  ![图片](/uploads/2024-11/94de41.jpg){width=500px}

## 函数连续但是不可导举例

`例` 求 $y=|x|$ 在 $x=0$ 的导数
 解：对于函数 $y=|x|$, 在点 $x=0$ 处（见图2-8)，其图像如下：
 ![图片](/uploads/2022-12/image_2022122766cccdd.png){width=300px}
 
 根据导数的定义：
 $f'(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$ ，
 
可以看到，当$x$从右侧趋近于零时，其值为1
当当$x$从左侧趋近于零时，其值为-1, 这表示当$x$趋近于零，其值不是唯一的（也就是不存在），所以，$y=|x|$ 在$x=0$处不可导（但是从图上看，他是连续的）。

> 结论1：如果函数图像由尖角，在该点不可导。

`例`函数 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，但在点 $x=0$ 处不可导。

这是 因为在点 $x=0$ 处有

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{\Delta x}-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x)^{-\frac{2}{3}}=+\infty
$$

即导数为无穷大 (导数不存在). 从图形上看(见 图2-9)，**在该点处有与 $x$ 轴垂直的切线 $x=0$**.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122744c95cd.png)

> 从这里可以得到结论2：切线垂直$x$轴处不可导。事实上导数是切线的斜率，如果切线垂直$x$轴，则斜率为$\pi/2$, 但是$tan \frac{\pi}{2}$ 无意义。

`例`设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 求在$x=0$ 导数。
解：由 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0$ ，
得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，由

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x} \text { 不存在， }
$$

得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。由图形可知
(见图2-10), 曲线在 $x=0$ 附近无限次震荡.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212275dc4ae4.png)

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