最后更新: 2025-01-27 19:21 查看: 628 次反馈同步训练

函数和差积商的求导法则

## 函数和差积商的求导法则
若 $u(x) 、 v(x)$ 在点 $x$ 处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数 也都存在，且有
(1) $[u(x) \pm v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x)$ ；
(2) $[u(x) \cdot v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$ ；
(3)$\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^2(x)}(v(x) \neq 0)$.

证明 我们仅证明 (2) $[u(x) \cdot v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$

$$
\begin{aligned}
{[u(x) \cdot v(x)]^{\prime} } & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x+\Delta x)-u(x) \cdot v(x)}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x+\Delta x)+u(x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x)}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} v(x+\Delta x)+u(x) \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\right] \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} v(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x \rightarrow 0} u(x) \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} \\
& =u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .
\end{aligned}
$$

注
(1) $[C u(x)]^{\prime}=C u^{\prime}(x)$ ， 由此可得 $[\alpha u(x)+\beta v(x)]^{\prime}=\alpha u^{\prime}(x)+\beta v^{\prime}(x)$.
(2) 若 $u^{\prime}(x) ， v^{\prime}(x) ， w^{\prime}(x)$ 均存在，则 $[u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)]^{\prime}$ 存在，且 $[u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x) w(x)+u(x) v^{\prime}(x) w(x)+u(x) v(x) w^{\prime}(x)$

## 求导法则

$$ \boxed{
(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime} ; 
\quad(u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} \cdot v+u \cdot v^{\prime} ；\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^2}(v \neq 0)  
}
$$

利用商的导数公式可以得到另外四个三角函数的计算公式.

$$
\begin{aligned}
& (\tan x)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{\cos x \cdot \cos x-\sin x \cdot(-\sin x)}{\cos ^2 x}=\sec ^2 x ; \\
& (\cot x)^{\prime}=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{-\sin x \cdot \sin x-\cos x \cdot \cos x}{\sin ^2 x}=\frac{-1}{\sin ^2 x}=-\csc ^2 x ; \\
& (\sec x)^{\prime}=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{0-(-\sin x)}{\cos ^2 x}=\sec x \tan x ; \\
& (\csc x)^{\prime}=\left(\frac{1}{\

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：函数的可导性与连续性的关系

下一篇：反函数的求导法则

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)