最后更新: 2025-03-29 16:32 查看: 927 次反馈同步训练

n阶导数及莱布尼茨公式

## n阶导数
一般地，设 $n \in \mathrm{Z}^{+}, n \geq 2$ 如果 $f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数仍可导，便称为 $f(x)$ 的 $n$ 阶 导数。其中，三阶导数的记号为

$$
y^{\prime \prime \prime} ， f^{\prime \prime \prime}(x) ， \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{~d} x^3} \text { 或 } \frac{\mathrm{d}^3 f}{\mathrm{~d} x^3} \text { ； }
$$

$n \geq 4$ 时， $n$ 阶导数的记号是 $y^{(n)} ， f^{(n)}(x) ， \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{~d} x^n}$ 或 $\frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{~d} x^n}$.
二阶及二阶以上的导数均称为高阶导数，称 $f^{\prime}(x)$ 为一阶导数。函数 $y=f(x)$ 具有 $n$ 阶导数时，也称 $f(x)$ 为 $n$ 阶可导. 如果函数 $f(x)$ 具有 $n$ 阶导数，则 $f(x)$ 的一切低于 $n$ 阶的导数均存在.

`例` 求 $y=x^\mu$ 的 $n$ 阶导数
解

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}=\mu x^{\mu-1}, y^{\prime \prime}=\mu(\mu-1) x^{\mu-2}, \\
& y^{\prime \prime \prime}=\mu(\mu-1)(\mu-2) x^{\mu-3}, \\
& y^{(4)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3) x^{\mu-4},
\end{aligned}
$$

一般地， $y^{(n)}=\left(x^\mu\right)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2) \cdots(\mu-n+1) x^{\mu-n}$ ，
当 $\mu=n$ 时 $\left(n \in \mathrm{Z}^{+}\right) ，\left(x^n\right)^{(n)}=n ! ，\left(x^n\right)^{(n+1)}=0$.

`例` 设 $y=\frac{1}{1+x}$ ，求 $y^{(n)}$.
解

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}=-\frac{1}{(1+x)^2}, \quad y^{\prime \prime}=\frac{2 !}{(1+x)^3}, \quad y^{\prime \prime \prime}=-\frac{3 !}{(1+x)^4}, \quad y^{(4)}=\frac{4 !}{(1+x)^5}, \cdots, \\
& y^{(n)}=(-1)^n \frac{n !}{(1+x)^{n+1}}(n \geq 1,0 !=1) .
\end{aligned}
$$

`例` 求 $\cos x$ 的 $n$ 阶导数.

$$
\text { 解 令 } \begin{aligned}
y & =\cos x ， y^{\prime}=(\cos x)^{\prime}=-\sin x=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \text {, } \\
y^{\prime \prime} & =\left[\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\prime}=-\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right) \text {, } \\
y^{\prime \prime \prime} & =\left[\cos \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right)\right]^{\prime}=-\sin \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right) \text {. }
\end{aligned}
$$

`例` 求 $\cos x$ 的 $n$ 阶导数.
若 $y^{(k-1)}=\cos \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]$ ，则

$$
y^{(k)}=\left\{\cos \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]\right\}^{\prime}=-\sin \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]=\cos \left(x+\frac{k \pi}{2}\right),
$$

因此， $\quad(\cos x)

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