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高等数学
第二章 一元函数微分学
n阶导数及莱布尼茨公式
最后
更新:
2025-03-29 16:32
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n阶导数及莱布尼茨公式
## n阶导数 一般地,设 $n \in \mathrm{Z}^{+}, n \geq 2$ 如果 $f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数仍可导,便称为 $f(x)$ 的 $n$ 阶 导数。其中,三阶导数的记号为 $$ y^{\prime \prime \prime} , f^{\prime \prime \prime}(x) , \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{~d} x^3} \text { 或 } \frac{\mathrm{d}^3 f}{\mathrm{~d} x^3} \text { ; } $$ $n \geq 4$ 时, $n$ 阶导数的记号是 $y^{(n)} , f^{(n)}(x) , \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{~d} x^n}$ 或 $\frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{~d} x^n}$. 二阶及二阶以上的导数均称为高阶导数,称 $f^{\prime}(x)$ 为一阶导数。函数 $y=f(x)$ 具有 $n$ 阶导数时,也称 $f(x)$ 为 $n$ 阶可导. 如果函数 $f(x)$ 具有 $n$ 阶导数,则 $f(x)$ 的一切低于 $n$ 阶的导数均存在. `例` 求 $y=x^\mu$ 的 $n$ 阶导数 解 $$ \begin{aligned} & y^{\prime}=\mu x^{\mu-1}, y^{\prime \prime}=\mu(\mu-1) x^{\mu-2}, \\ & y^{\prime \prime \prime}=\mu(\mu-1)(\mu-2) x^{\mu-3}, \\ & y^{(4)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3) x^{\mu-4}, \end{aligned} $$ 一般地, $y^{(n)}=\left(x^\mu\right)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2) \cdots(\mu-n+1) x^{\mu-n}$ , 当 $\mu=n$ 时 $\left(n \in \mathrm{Z}^{+}\right) ,\left(x^n\right)^{(n)}=n ! ,\left(x^n\right)^{(n+1)}=0$. `例` 设 $y=\frac{1}{1+x}$ ,求 $y^{(n)}$. 解 $$ \begin{aligned} & y^{\prime}=-\frac{1}{(1+x)^2}, \quad y^{\prime \prime}=\frac{2 !}{(1+x)^3}, \quad y^{\prime \prime \prime}=-\frac{3 !}{(1+x)^4}, \quad y^{(4)}=\frac{4 !}{(1+x)^5}, \cdots, \\ & y^{(n)}=(-1)^n \frac{n !}{(1+x)^{n+1}}(n \geq 1,0 !=1) . \end{aligned} $$ `例` 求 $\cos x$ 的 $n$ 阶导数. $$ \text { 解 令 } \begin{aligned} y & =\cos x , y^{\prime}=(\cos x)^{\prime}=-\sin x=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \text {, } \\ y^{\prime \prime} & =\left[\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\prime}=-\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right) \text {, } \\ y^{\prime \prime \prime} & =\left[\cos \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right)\right]^{\prime}=-\sin \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right) \text {. } \end{aligned} $$ `例` 求 $\cos x$ 的 $n$ 阶导数. 若 $y^{(k-1)}=\cos \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]$ ,则 $$ y^{(k)}=\left\{\cos \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]\right\}^{\prime}=-\sin \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]=\cos \left(x+\frac{k \pi}{2}\right), $$ 因此, $\quad(\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$. 同样可得 $\sin x$ 的 $n$ 阶导数 $(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$. `例` 求 $f(x)=\frac{1}{x^2+5 x+6}$ 的 $n$ 阶导数. 解 $$ f(x)=\frac{1}{x^2+5 x+6}=\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}, $$ 因此 $$ \left(\frac{1}{x^2+5 x+6}\right)^{(n)}=\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n n !}{(x+2)^{n+1}}-\frac{(-1)^n n !}{(x+3)^{n+1}} $$ ## 高阶导数的运算法则 若 $f(x), g(x)$ 具有 $n$ 阶导数,则 (1) $[f(x) \pm g(x)]^{(n)}=f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)$ , (2) $[f(x) \cdot g(x)]^{(n)}=f^{(0)} g^{(n)}+C_n^1 f^{(1)} g^{(n-1)}+\cdots+C_n^k f^{(k)} g^{(n-k)}+\cdots+f^{(n)} g^{(0)}$ , 其中 $C_n^k=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}$. 公式 (2) 称为莱布尼茨 (Leibniz) 公式。这个公式在形式上与二项式 展开式相仿,可以这样来记: 在二项展开式 $(f+g)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k f^{n-k} g^k$ 中,把函数的幂次改为导数的阶数, 即得 $(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k f^{(n-k)} g^{(k)}$. `例` 求 $y=x^2 \sin x$ 的50阶导数. 解 $\left(x^2\right)^{\prime}=2 x ,\left(x^2\right)^{\prime \prime}=2 ,\left(x^2\right)^{\prime \prime \prime}=0$ ,即 $\left(x^2\right)^{(n)}=0(n \geq 3)$ , $$ (\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right) \text {, } $$ 故 $$ \begin{aligned} \left(x^2 \sin x\right)^{(50)} & =x^2(\sin x)^{(50)}+80 \cdot(2 x)(\sin x)^{(49)}+\frac{50 \times 49}{2} \cdot 2 \cdot(\sin x)^{(48)} \\ & =x^2 \sin \left(x+\frac{50 \pi}{2}\right)+50 \cdot(2 x) \sin \left(x+\frac{49 \pi}{2}\right)+\frac{50 \times 49}{2} \cdot 2 \cdot \sin \left(x+\frac{48 \pi}{2}\right) \\ & =x^2 \sin x-100 x \cos x-2450 \sin x=\left(x^2-2450\right) \sin x-100 x \cos x \end{aligned} $$ ## 高阶导数的用处 以$s=vt$ 为例,一阶导数代表速度,二阶导数代表加速度,三阶以及更多阶导数,则并不实质性意义。 但是,在学习泰勒级数以后,可以通过高阶导数拟合曲线点的值,具体请参考 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304
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