n阶导数的计算

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 64 次更新导出Word

一般地，设 $n \in \mathrm{Z}^{+}, n \geq 2$ 如果 $f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数仍可导，便称为 $f(x)$ 的 $n$ 阶 导数。其中，三阶导数的记号为

$$
y^{\prime \prime \prime} ， f^{\prime \prime \prime}(x) ， \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{~d} x^3} \text { 或 } \frac{\mathrm{d}^3 f}{\mathrm{~d} x^3} \text { ； }
$$

$n \geq 4$ 时， $n$ 阶导数的记号是 $y^{(n)} ， f^{(n)}(x) ， \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{~d} x^n}$ 或 $\frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{~d} x^n}$.
二阶及二阶以上的导数均称为高阶导数，称 $f^{\prime}(x)$ 为一阶导数。函数 $y=f(x)$ 具有 $n$ 阶导数时，也称 $f(x)$ 为 $n$ 阶可导. 如果函数 $f(x)$ 具有 $n$ 阶导数，则 $f(x)$ 的一切低于 $n$ 阶的导数均存在.

例9 求 $y=x^\mu$ 的 $n$ 阶导数
解

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}=\mu x^{\mu-1}, y^{\prime \prime}=\mu(\mu-1) x^{\mu-2}, \\
& y^{\prime \prime \prime}=\mu(\mu-1)(\mu-2) x^{\mu-3}, \\
& y^{(4)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)(\mu-3) x^{\mu-4},
\end{aligned}
$$

一般地， $y^{(n)}=\left(x^\mu\right)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2) \cdots(\mu-n+1) x^{\mu-n}$ ，
当 $\mu=n$ 时 $\left(n \in \mathrm{Z}^{+}\right) ，\left(x^n\right)^{(n)}=n ! ，\left(x^n\right)^{(n+1)}=0$.

例10 设 $y=\frac{1}{1+x}$ ，求 $y^{(n)}$.
解

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}=-\frac{1}{(1+x)^2}, \quad y^{\prime \prime}=\frac{2 !}{(1+x)^3}, \quad y^{\prime \prime \prime}=-\frac{3 !}{(1+x)^4}, \quad y^{(4)}=\frac{4 !}{(1+x)^5}, \cdots, \\
& y^{(n)}=(-1)^n \frac{n !}{(1+x)^{n+1}}(n \geq 1,0 !=1) .
\end{aligned}
$$

例11 求 $\cos x$ 的 $n$ 阶导数.

$$
\text { 解 令 } \begin{aligned}
y & =\cos x ， y^{\prime}=(\cos x)^{\prime}=-\sin x=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \text {, } \\
y^{\prime \prime} & =\left[\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{\prime}=-\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right) \text {, } \\
y^{\prime \prime \prime} & =\left[\cos \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right)\right]^{\prime}=-\sin \left(x+\frac{2 \pi}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right) \text {. }
\end{aligned}
$$

例11 求 $\cos x$ 的 $n$ 阶导数.
若 $y^{(k-1)}=\cos \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]$ ，则

$$
y^{(k)}=\left\{\cos \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]\right\}^{\prime}=-\sin \left[x+\frac{(k-1) \pi}{2}\right]=\cos \left(x+\frac{k \pi}{2}\right),
$$

因此， $\quad(\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$.
同样可得 $\sin x$ 的 $n$ 阶导数 $(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$.

例12 求 $f(x)=\frac{1}{x^2+5 x+6}$ 的 $n$ 阶导数.
解

$$
f(x)=\frac{1}{x^2+5 x+6}=\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3},
$$

因此

$$
\left(\frac{1}{x^2+5 x+6}\right)^{(n)}=\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n n !}{(x+2)^{n+1}}-\frac{(-1)^n n !}{(x+3)^{n+1}}
$$

定理 2 (高阶导数的运算法则)
若 $f(x), g(x)$ 具有 $n$ 阶导数，则
(1) $[f(x) \pm g(x)]^{(n)}=f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)$ ，
(2) $[f(x) \cdot g(x)]^{(n)}=f^{(0)} g^{(n)}+C_n^1 f^{(1)} g^{(n-1)}+\cdots+C_n^k f^{(k)} g^{(n-k)}+\cdots+f^{(n)} g^{(0)}$ ，
其中 $C_n^k=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}$.

公式 (2) 称为莱布尼茨 (Leibniz) 公式。这个公式在形式上与二项式 展开式相仿，可以这样来记:
在二项展开式 $(f+g)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k f^{n-k} g^k$ 中，把函数的幂次改为导数的阶数， 即得 $(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k f^{(n-k)} g^{(k)}$.

例13 求 $y=x^2 \sin x$ 的50阶导数.
解 $\left(x^2\right)^{\prime}=2 x ，\left(x^2\right)^{\prime \prime}=2 ，\left(x^2\right)^{\prime \prime \prime}=0$ ，即 $\left(x^2\right)^{(n)}=0(n \geq 3)$ ，

$$
(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right) \text {, }
$$

故

$$
\begin{aligned}
\left(x^2 \sin x\right)^{(50)} & =x^2(\sin x)^{(50)}+80 \cdot(2 x)(\sin x)^{(49)}+\frac{50 \times 49}{2} \cdot 2 \cdot(\sin x)^{(48)} \\
& =x^2 \sin \left(x+\frac{50 \pi}{2}\right)+50 \cdot(2 x) \sin \left(x+\frac{49 \pi}{2}\right)+\frac{50 \times 49}{2} \cdot 2 \cdot \sin \left(x+\frac{48 \pi}{2}\right) \\
& =x^2 \sin x-100 x \cos x-2450 \sin x=\left(x^2-2450\right) \sin x-100 x \cos x
\end{aligned}

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