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高等数学
第二章 一元函数微分学及其应用
二阶导数的物理意义
日期:
2023-10-01 11:28
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二阶导数的物理意义
设质点沿直线运动,在直线上给定原点和单位点(表示实数 1 的点),使直 线成为数轴. 另外,再取定一个时刻为计时的零点. 质点于时刻 在直线上的 位置的坐标记为 $s$ , 这样,质点的运动完全由某个函数 $s=s(t)$ 所确定. 在最简单的匀速直线运动的情形中,质点经过的路程与所用的时间成正比, 即 $v=\frac{s}{t}$ 如果是非匀速直线运动,取从 $t_0$ 时刻到 $t_0+\Delta t$ 这样一段时间间隔,在 上质点所走过的路程 $s$ 有相应增量 $\Delta s=s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)$ , 这段区间上的平均速度 $$ \bar{v}=\frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t} $$ 若令 $t \rightarrow t_0$ , 即 $\Delta t \rightarrow 0$ ,那么 $\bar{v}$ 的极限值就精确地反映了质点在时刻这一 瞬间运动的快慢程度。因此在 $t=t_0$ 时,瞬时速度即为 $$ v\left(t_0\right)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}=s^{\prime}\left(t_0\right) $$ 一般地,变速直线运动的速度 $v(t)$ 就是位置函数 $s(t)$ 对时间 $t$ 的导数, 即 $v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}$ ,或 $v=s^{\prime}$ 而加速度 $a(t)$ 是速度函数 $v(t)$ 对时间 $t$ 的变化率,即速度函数,对时间 $t$ 的 导数, 即 $$ a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right) \text { ,或 } a=\left(s^{\prime}\right)^{\prime}=s^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2} \text {. } $$
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