第一类曲线积分

日期: 2023-01-01 12:59 查看: 63 次

在工程技术与物理学中，常常要遇到计算非均匀曲线状或曲面 状构件的质量，质点受变力作用下沿曲线运动而作功及流体通过曲面的流量等问题，要解决这类问题，就要推广积分概念积分区域.
在前面两节中，我们已经对积分概念作了推广，例如定积分的 积分范围是数轴上的区间，二重积分的积分范围为平面闭区域，三重 积分的积分的积分范围为空间立体.现在我们要把积分范围推广到一 段曲线 (我们讨论的都是有限长度的曲线弧)，这就是本节所要介绍 的曲线积分.
曲线状构件的质量: 在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应根据构件 各部分受力的情况，把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样. 因此可以认 为这构件的线密度 (单位长度的质量) 是变量.
假设在 $x O y$ 平面上有一曲线状构件，设曲线弧 $A B$ 的长为 $l$ ， 线密度为连续函 数 $\rho=\rho(x, y) ，(x, y) \in A B$. 若构件的线密度 $\rho$ 是常数（均匀质体），则构件的 质量 $M=\rho l$ ； 若构件的线密度 $\rho=\rho(x, y)$ (非均匀质体)，就不能直接用上述 方法计算其质量.

在工程技术与物理学中，常常要遇到计算非均匀曲线状或曲面 状构件的质量，质点受变力作用下沿曲线运动而作功及流体通过曲面的流量等问题，要解决这类问题，就要推广积分概念积分区域.
在前面两节中，我们已经对积分概念作了推广，例如定积分的 积分范围是数轴上的区间，二重积分的积分范围为平面闭区域，三重 积分的积分的积分范围为空间立体.现在我们要把积分范围推广到一 段曲线 (我们讨论的都是有限长度的曲线弧)，这就是本节所要介绍 的曲线积分.可用点 $M_1 ， M_2 ， \ldots, M_{n-1}$ 将曲线弧 $A B$ 分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i(i=1,2 ... )$
$\Delta s_i$ 也表示为该小弧段的弧长.对于每一小段构件，由于线密度连续变化所以，只要其长度足够短，就可以用这一小段
上任一点处的线密度代替这一小段上其他各
点处的线密度.即任取 $\left(x_i, y_i\right) \in \Delta s_i$ (图 7-42)，
从而得到这小段构件 $\Delta s_i$ 的质量 $\Delta m_i$ 的
近似值为 $\rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，从而曲线
状构件的质量为

$$
m=\sum_{i=1}^n \Delta m_i \approx \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i,

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