最后更新: 2024-10-02 15:38 查看: 481 次反馈刷题

柯西中值定理

## 柯西中值定理
定理3 (柯西中值定理) 设函数 $f(x) ， F(x)$ 满足
(1) 在 $[a, b]$ 上连续;
（2 ) (在 $b)$ 内可导；
(3) 当 $x \in(a, b)$ 时， $F^{\prime}(x) \neq 0$ ， 则至少存在一点，使

$$
\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}
$$

证明从略，几何意义如图2-23所示.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228149ef13.png)

`例` 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。试证明至少存在一 点 $\xi \in(0,1)$ ，使

$$
f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)] .
$$

证明 作辅助函数 $g(x)=x^2$, 则 $f(x), g(x)$ 在 [0,1] 上满足柯西中值定理的条 件，故在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使

$$
\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{2 \xi} .
$$

即 $f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]$.

`例` 
$$
x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \text {, 证明 }: \frac{\tan x-x}{x-\sin x}>2
$$

用柯西中值定理来做:令
$$
 f(x)=\tan x-x, g(x)=x-\sin x
$$
由柯西中值定理:
$$
\exists \xi \in(0, x)
$$
使得 $\frac{\tan x-x}{x-\sin x}=\frac{\sec ^2 \xi-1}{1-\cos \xi}=\frac{1+\cos \xi}{\cos ^2 \xi}$
$$
=\frac{1}{\cos ^2 \xi}+\frac{1}{\cos \xi}>2
$$
得证

`例`求极限: $L=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin \left(x^x\right)-\sin \left(a^x\right)}{a^{x^x}-a^{a^x}}$, 其中 $a>0$.
分析：观察极限结构，本题可以直接采用柯西中值定理求解.
解: 由于函数满足柯西中值定理条件, 将 $x^x$ 和 $a^x$ 视作 $b, a$ 则有:
$\frac{\sin \left(x^x\right)-\sin \left(a^x\right)}{a^{x^x}-a^{a^x}} \xlongequal{\text { Cauchy }} \frac{\cos \xi \cdot\left(x^x-a^x\right)}{a^{\xi} \ln a \cdot\left(x^x-a^x\right)}=\frac{\cos \xi}{a^{\xi} \ln a}$ ；其中 $\xi$ 介于 $a^x$ 与 $x^x$ 之间.
当 $x \rightarrow a$ 时: $\xi \rightarrow a^a$.
所以极限: $L=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin \left(x^x\right)-\sin \left(a^x\right)}{a^{x^x}-a^{a^x}} \xlongequal{\text { Cauchy }} \lim _{x \rightarrow a} \frac{\cos \xi}{a^{\xi} \ln a}=\frac{\cos \left(a^a\right)}{a^{a^a} \ln a}$.

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