单连通区域及其正向边界

日期: 2023-01-01 16:48 查看: 80 次

在一元微积分中，我们介绍了微积分基本定理一一牛顿-莱布尼兹公式:

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a) ，
$$

其中 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b]$.
即 $F^{\prime}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分可以通过它的原函数 $F(x)$ 在此区 间的两个端点的值来表达.
随着积分概念的推广，我们又讲述了重积分、曲线积分、曲面积 分等概念，那上述的微积分基本定理也相应地获得推广，
格林公式就是它的一种推广，它建立了平面区域 $D$ 上的二重积 分与区域边界上的曲线积分之间的联系. 而高斯公式建立的是空间 立体 $\Omega$ 上的三重积分与区域边界上的曲面积分之间的联系，斯托克 斯公式是连接是曲面 2 上的曲面积分和它的边界曲线上的曲线积分 的桥梁.
二重积分与曲线积分之间的关系及其应用，是微积分基本公式在二重积分积 分情形下的推广，它不仅给计算第二类曲线积分带来一种新的方法，更重要的是 它揭示了定向曲线积分与积分路径无光的条件，在积分理论的发展中起了很大的 作用.
在给出给出格林公式之前，我们先介绍一些与平面区域有关的基本概念.
设 $D$ 为平面区域，若区域 $D$ 内任意一个封闭曲线所围的部分均属于区域 $D$ ， 则区域 $D$ 称为单连通区域 (见图 7-78)，否则就称为复连通区域 (见图 7-79) . 通俗地讲，单连通区域是没有 “洞” 的区域.

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比如， $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$ 是单连通区域（见图 7-80）；
$D=\left\{(x, y) \mid r^2 \leq x^2+y^2 \leq R^2, 0<r<R\right\}$ 是复连通区域（见图 7-81）.

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设 $D$ 为平面区域， $L=L_1+L_2$ 是它的边界曲线，我们规定 $L$ 关于 $D$ 的正向为: 当观察者沿 $L$ 的这一方向行走时， $D$ 内在他邻近处的部分总在他的左侧 (见图 782).

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例如，对于区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$ ，逆时针方向的圆周 $x^2+y^2=R^2$ 是 它的正向边界 (图 7-83 (a))，

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对于区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geq r^2\right\}$ ，顺时针方向的圆周 $x^2+y^2=r^2$ 是它的正向 边界 (图 7-83 (b))，

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对于区域 $D=\left\{(x, y) \mid r^2 \leq x^2+y^2 \leq R^2, 0<r<R\right\}$ ，逆时针方向的圆周 $x^2+y^2=R^2$ 与顺时针方向的圆周 $x^2+y^2=r^2$ 共同组成了它的正向边界 (图 7-83 (c)).

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