最后更新: 2025-03-31 08:12 查看: 621 次反馈刷题

积分学与原函数

## 积分学概述
从现在开始，我们正式进入整个《高等数学》的核心--**积分学**。高等数学里的积分学也被成为“黎曼积分”以区别《实变函数》里的积分表学，那里的积分被称作“勒贝格积分”，黎曼积分以细化$x$轴位核心思维，而勒贝格积分以细化$y$轴为核心。要查看其区别请点击[此处](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1455)

### 黎曼 Riemann
黎曼，德国数学家，黎曼几何创始人，复分析创始人之一。在实分析领域，他最著名的贡献是第一个严格的定义积分：黎曼积分以及他关于傅立叶级数的工作。他在1859年发表的关于素数计数函数的著名论文包含了黎曼猜想的原始陈述，其被认为是解析数论中最具影响力的论文之一。通过对微分几何的开拓性贡献，黎曼奠定了广义相对论数学的基础。

![图片](/uploads/2023-10/448adb.jpg){width=200px}

### 黎曼积分
由黎曼创立的积分叫做黎曼积分（英语：Riemann integral），黎曼首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。
让函数 $f$ 为定义在区间 $[a, b]$ 的非负函数，我们想要计算 $f(x)$ 所代表的曲线与 $x$ 坐标轴跟两条垂直线 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夹图形的面积（既下图区域 $S$ 的面积），可将区域 $S$ 的面积以下面符号 表示:

$$
S=\int_a^b f(x) d x
$$

黎曼积分的基本概念就是对 $x$-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 $S$ 的面积 (参考下方动画演示) 。同时请注意，如函数为负函数， $f:[a, b] \mapsto \mathbb{R} {<0}$ ，则其面积亦为 负值。
![图片](/uploads/2023-10/7261a6.svg){width=300px}

![Riemann.gif](/uploads/2023-10/386520.gif){width=300px}

## 原函数
在微分学里，已经学会了求导，例如, 已知函数 $y=\sin 2 x$, 求其导函数, 即

$$
y^{\prime}=(\sin 2 x)^{\prime}=2 \cos 2 x .
$$

现在我们来做一件相反的事情: 已知某个函数的导函数是 $\cos 2 x$, 即 $() ^{\prime}=\cos 2 x$, 问: 这个函数是什么?
利用导数公式可以猜到, 这个函数可以是 $y=\frac{1}{2} \sin 2 x$, 也可以是 $y=\frac{1}{2} \sin 2 x+1$, 答案并不唯一.
这种已知函数的导数或微分, 求该函数的运算称为“积分”运算. 本节将介绍不定积分的概念及其计算方法.

**定义1** 已知 $f(x)$ 是定义在某区间 $I$ 内的函数, 若存在函数 $F(x)$, 使得

$$
F^{\prime}(x)=f(x) \text { 或者 } \mathrm{d} F(x)=f(x) \mathrm{d} x, x \in I \text {, }
$$

则称 $F(x)$ 为区间 $I$ 上 $f(x)$ 的**原函数**.

可以证明, 若函数 $f(x)$ 在某区间上连续, 则在该区间上 $f(x)$ 的原函数一定存在, 即在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$, 使 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in I$. 也就是说, 连续函数一定有原函数.

另外, 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 因

$$
(F(x)+C)^{\prime}=f(x) \text { ( } C \text { 为任意常数). }
$$

故 $F(x)+C$ 也为 $f(x)$ 的原函数. 由于 $C$ 的任意性, 故 $f(x)$ 有无穷多个原函 数.
假设 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数, 因为 $G(x)=F(x)+C$, 故由拉格朗日中值定理的推论可知, $G(x)$ 和 $F(x)$ 只相差一个常数, 即

$$
G(x)=F(x)+C .
$$

因此, 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $f(x)$ 的全部原函数可以表示为 $F(x)+C(C$ 为任意常数 $)$.

>按照约定，原函数通常使用大写字母，即$F(x)$、$G(x)$ 表示

**定义2** 在区间 $I$ 上, 函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分, 记作 $\int f(x) \mathrm{d} x$, 即

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C .
$$

其中, 符号 $\int$ 称为积分号, 称 $f(x)$ 为被积函数, $f(x) \mathrm{d} x$ 称为被积表达 式, $x$ 称为积分变量, $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数.

由定义知, 求函数 $f(x)$ 的不定积分, 就是求 $f(x)$ 的全体原函数. 在 $\int f(x) \mathrm{d} x$ 中, 积分号 $\int$ 表示对函数 $f(x)$ 施行求原函数的运算, 故求
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)运算的逆运算.

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