原函数

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 30 次更新导出Word

上一章介绍了导数的概念, 例如, 已知函数 $y=\sin 2 x$, 求其导函数, 即

$$
y^{\prime}=(\sin 2 x)^{\prime}=2 \cos 2 x .
$$

现在我们来做一件相反的事情: 已知某个函数的导函数是 $\cos 2 x$, 即 ( ) $)^{\prime}=\cos 2 x$, 问: 这个函数是什么?
利用导数公式可以猜到, 这个函数可以是 $y=\frac{1}{2} \sin 2 x$, 也可以是 $y=\frac{1}{2} \sin 2 x+1$, 答案并不唯一.
这种已知函数的导数或微分, 求该函数的运算称为“积分”运算. 本 节将介绍不定积分的概念及其计算方法.

定义 1 已知 $f(x)$ 是定义在某区间 $I$ 内的函数, 若存在函数 $F(x)$, 使得

$$
F^{\prime}(x)=f(x) \text { 或者 } \mathrm{d} F(x)=f(x) \mathrm{d} x, x \in I \text {, }
$$

则称 $F(x)$ 为区间 $I$ 上 $f(x)$ 的原函数.
可以证明, 若函数 $f(x)$ 在某区间上连续, 则在该区间上 $f(x)$ 的原函数一定 存在, 即在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$, 使 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in I$. 也就是说, 连续 函数一定有原函数.

另外, 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 因

$$
(F(x)+C)^{\prime}=f(x) \text { ( } C \text { 为任意常数). }
$$

故 $F(x)+C$ 也为 $f(x)$ 的原函数. 由于 $C$ 的任意性, 故 $f(x)$ 有无穷多个原函 数.
假设 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数, 因为 $G(x)=F(x)+C$, 故 由拉格朗日中值定理的推论可知, $G(x)$ 和 $F(x)$ 只相差一个常数, 即

$$
G(x)=F(x)+C .
$$

因此, 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $f(x)$ 的全部原函数可以表示为 $F(x)+C(C$ 为任意常数 $)$.

定义2
在区间 $I$ 上, 函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分, 记作 $\int f(x) \mathrm{d} x$, 即

$$
\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C .
$$

其中, 符号 $\int$ 称为积分号, 称 $f(x)$ 为被积函数, $f(x) \mathrm{d} x$ 称为被积表达 式, $x$ 称为积分变量, $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数.

由定义知, 求函数 $f(x)$ 的不定积分, 就是求 $f(x)$ 的全体原函数. 在 $\int f(x) \mathrm{d} x$ 中, 积分号 $\int$ 表示对函数 $f(x)$ 施行求原函数的运算, 故求
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)运算的逆运算.

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