最后更新: 2024-10-05 20:16 ● 参与者查看: 786 次纠错分享参与项目词条搜索

平面的点法式方程

## 平面的点法式方程
在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程 一一曲线方程的概念. 同样，在空间解析几何中，任何曲面都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹, 动点的轨迹也能用方程来表示，从而得到 曲面的概念.

>高中平面向量请参考 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=725

平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具， 在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.

由中学立体几何知道，过空间一点，作与已知直线垂直的平面是唯一的. 因 此，如果已知平面上一点及垂直于该平面的一个非零向量，那么这个平面的位置 也完全确定了.
如下图，$M_0M$直线在绿色平面内，过$M$点有一个法向量$\vec{n}$,如果知道了$M$坐标和$\vec{n}$就可以确定绿色平面。
 ![图片](/uploads/2024-10/de20a4.jpg)

现在，根据这个几何条件来建立平面的方程.

## 平面的法线向量的定义
首先我们给出平面的法线向量的定义: 如果一个非零向量垂直于一个平面，则该向量就称为该平面的法线向量 (简称平面的法向量). 凡与某一平面垂直的向量，均可称为该平面的法向量. 显然，一个平面的法向量，有无穷多个，它们之间互相平行，且法向量与平面上的任何一个向量都垂直 (见图 5-33).

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230ff93ede.png)

设 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是平面 上的一个定点，且已知该平面的法向量 $\boldsymbol{n}=(A, B, C)$ ， 则对于平面上的任一点 $M(x, y, z)$ ，由于向量 $M_0 M=\left(x-x_0, y-y_0, z-z_0\right)$ ，必有 $\overrightarrow{M_0 M} \perp \boldsymbol{n}$ ，于是由向量垂直的充要条件，有 $\overrightarrow{M_0 M} \cdot \boldsymbol{n}=0$ ，即

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123093edb26.png)

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0 ...(1)
$$

式 (1) 是以 $x, y, z$ 为变量的三元一次方程，从 上面的推导过程可以看到，平面 $\Pi$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标 一定满足方程，而若点 $M(x, y, z)$ 不在平面上，则 $\overrightarrow{M_0 M}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 不垂直，即 $\overrightarrow{M_0 M} \cdot \boldsymbol{n} \neq 0$ ，即点 $M(x, y, z)$ 不满足方程. 因 此式
(1) 就是平面 面上的一个点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 和他的一个法向量 $\boldsymbol{n}=(A, B, C)$ 的条件下得到的式 (1) 的，因此式 (1) 又称为**平面的点法式方程**.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123040e7b55.png)

`例` 求过点 $(2,3,1)$ 且与 $\boldsymbol{n}=(-1,-2,0)$ 垂直的平面的方程.
解 根据平面的法向量的概念，向量 $n=(-1,-2,0)$ 即为所求平面的一个法向 量. 所以由平面的点法式方程可得

$$
-1 \times(x-2)+2 \times(y-3)+0 \times(z-1)=0 ，
$$

即

$$
-(x-2)+2(y+3)=0 \text { ， 或 } x-2 y-8=0 \text {. }
$$

`例` 求过点 $M_1(1,-1,-2) 、 M_2(-1,2,0)$ 及 $M_3(1,3,3)$ 的平面的方程.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230a0cccb7.png)
解 由于三点 $M_1, M_2, M_3$ 均在平面上，所以 $\overrightarrow{M_1 M_2}, \overrightarrow{M_1 M_3}$ 与平面平行，由向量积 的概念可知，向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_1 M_3}$ 与 $\overrightarrow{M_1 M_2}, \overrightarrow{M_1 M_3}$ 都垂直，即与所求平面垂直，因此 它是平面的一个法向量 (见图 5-34)，
而
$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{M_1 M_2}=((-1)-1,2-(-1), 0-(-2))=(-2,3,2) \text { ， } \\
\overrightarrow{M_1 M_3}=(0-0,3-(-1), 3-(-2))=(0,4,5) ，
\end{gathered}
$$

取 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_1 M_3}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ -2 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right|=(7,10,-8)$ ，则平面方程为 $7(x-1)+10(y+1)-8(z+2)=0$ ，即 $7 x+10 y-8 z-13=0$.

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