最后更新: 2024-10-05 20:16 查看: 1230 次反馈同步训练

平面的点法式方程

## 平面的点法式方程
在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程 一一曲线方程的概念. 同样，在空间解析几何中，任何曲面都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹, 动点的轨迹也能用方程来表示，从而得到 曲面的概念.

>高中平面向量请参考 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=725

平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具， 在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.

由中学立体几何知道，过空间一点，作与已知直线垂直的平面是唯一的. 因 此，如果已知平面上一点及垂直于该平面的一个非零向量，那么这个平面的位置 也完全确定了.
如下图，$M_0M$直线在绿色平面内，过$M$点有一个法向量$\vec{n}$,如果知道了$M$坐标和$\vec{n}$就可以确定绿色平面。
 ![图片](/uploads/2024-10/de20a4.jpg)

现在，根据这个几何条件来建立平面的方程.

## 平面的法线向量的定义
首先我们给出平面的法线向量的定义: 如果一个非零向量垂直于一个平面，则该向量就称为该平面的法线向量 (简称平面的法向量). 凡与某一平面垂直的向量，均可称为该平面的法向量. 显然，一个平面的法向量，有无穷多个，它们之间互相平行，且法向量与平面上的任何一个向量都垂直 (见图 5-33).

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230ff93ede.png)

设 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是平面 上的一个定点，且已知该平面的法向量 $\boldsymbol{n}=(A, B, C)$ ， 则对于平面上的任一点 $M(x, y, z)$ ，由于向量 $M_0 M=\left(x-x_0, y-y_0, z-z_0\right)$ ，必有 $\overrightarrow{M_0 M} \perp \boldsymbol{n}$ ，于是由向量垂直的充要条件，有 $\overrightarrow{M_0 M} \cdot \boldsymbol{n}=0$ ，即

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123093edb26.png)

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0 ...(1)
$$

式 (1) 是以 $x, y, z$ 为变量的三元一次方程，从 上面的推导过程可以看到，平面 $\Pi$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标 一定满足方程，而若点 $M(x, y, z)$ 不在平面上，则 $\overrightarrow{M_0 M}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 不垂直，即 $\overrightarrow{M_0 M} \cdot \boldsymbol{n} \neq 0$ ，即点 $M(x, y, z)$ 不满足方程. 因 此式
(1) 就是平面 面上的一个点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 和他

其他版本
【高中数学】平面的法向量【高中数学】直线的方向向量与法向量【高中数学】直线的法线方程【高中数学】空间的直线方程与球面方程

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：向量的混合积

下一篇：平面的一般方程

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)