科数网
首页
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
实变函数
复变函数
离散数学
数论
群论
搜索
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
关于
高中
高数
线性
概率
复变
搜索
游客,
登录
注册
在线学习
高等数学
第五章 向量与空间解析几何
平面的点法式方程
最后
更新:
2024-10-05 20:16
●
参与者
查看:
786
次
纠错
分享
参与项目
词条搜索
平面的点法式方程
## 平面的点法式方程 在平面解析几何中,把平面曲线看作动点的轨迹,从而得到轨迹方程 一一曲线方程的概念. 同样,在空间解析几何中,任何曲面都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹, 动点的轨迹也能用方程来表示,从而得到 曲面的概念. >高中平面向量请参考 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=725 平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具, 在空间直角坐标系中建立其方程,并进一步讨论有关平面的一些基本性质. 由中学立体几何知道,过空间一点,作与已知直线垂直的平面是唯一的. 因 此,如果已知平面上一点及垂直于该平面的一个非零向量,那么这个平面的位置 也完全确定了. 如下图,$M_0M$直线在绿色平面内,过$M$点有一个法向量$\vec{n}$,如果知道了$M$坐标和$\vec{n}$就可以确定绿色平面。 ![图片](/uploads/2024-10/de20a4.jpg) 现在,根据这个几何条件来建立平面的方程. ## 平面的法线向量的定义 首先我们给出平面的法线向量的定义: 如果一个非零向量垂直于一个平面,则该向量就称为该平面的法线向量 (简称平面的法向量). 凡与某一平面垂直的向量,均可称为该平面的法向量. 显然,一个平面的法向量,有无穷多个,它们之间互相平行,且法向量与平面上的任何一个向量都垂直 (见图 5-33). ![图片](/uploads/2022-12/image_20221230ff93ede.png) 设 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是平面 上的一个定点,且已知该平面的法向量 $\boldsymbol{n}=(A, B, C)$ , 则对于平面上的任一点 $M(x, y, z)$ ,由于向量 $M_0 M=\left(x-x_0, y-y_0, z-z_0\right)$ ,必有 $\overrightarrow{M_0 M} \perp \boldsymbol{n}$ ,于是由向量垂直的充要条件,有 $\overrightarrow{M_0 M} \cdot \boldsymbol{n}=0$ ,即 $$ A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0 $$ ![图片](/uploads/2022-12/image_2022123093edb26.png) $$ A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0 ...(1) $$ 式 (1) 是以 $x, y, z$ 为变量的三元一次方程,从 上面的推导过程可以看到,平面 $\Pi$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标 一定满足方程,而若点 $M(x, y, z)$ 不在平面上,则 $\overrightarrow{M_0 M}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 不垂直,即 $\overrightarrow{M_0 M} \cdot \boldsymbol{n} \neq 0$ ,即点 $M(x, y, z)$ 不满足方程. 因 此式 (1) 就是平面 面上的一个点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 和他的一个法向量 $\boldsymbol{n}=(A, B, C)$ 的条件下得到的式 (1) 的,因此式 (1) 又称为**平面的点法式方程**. ![图片](/uploads/2022-12/image_2022123040e7b55.png) `例` 求过点 $(2,3,1)$ 且与 $\boldsymbol{n}=(-1,-2,0)$ 垂直的平面的方程. 解 根据平面的法向量的概念,向量 $n=(-1,-2,0)$ 即为所求平面的一个法向 量. 所以由平面的点法式方程可得 $$ -1 \times(x-2)+2 \times(y-3)+0 \times(z-1)=0 , $$ 即 $$ -(x-2)+2(y+3)=0 \text { , 或 } x-2 y-8=0 \text {. } $$ `例` 求过点 $M_1(1,-1,-2) 、 M_2(-1,2,0)$ 及 $M_3(1,3,3)$ 的平面的方程. ![图片](/uploads/2022-12/image_20221230a0cccb7.png) 解 由于三点 $M_1, M_2, M_3$ 均在平面上,所以 $\overrightarrow{M_1 M_2}, \overrightarrow{M_1 M_3}$ 与平面平行,由向量积 的概念可知,向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_1 M_3}$ 与 $\overrightarrow{M_1 M_2}, \overrightarrow{M_1 M_3}$ 都垂直,即与所求平面垂直,因此 它是平面的一个法向量 (见图 5-34), 而 $$ \begin{gathered} \overrightarrow{M_1 M_2}=((-1)-1,2-(-1), 0-(-2))=(-2,3,2) \text { , } \\ \overrightarrow{M_1 M_3}=(0-0,3-(-1), 3-(-2))=(0,4,5) , \end{gathered} $$ 取 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_1 M_3}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ -2 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right|=(7,10,-8)$ ,则平面方程为 $7(x-1)+10(y+1)-8(z+2)=0$ ,即 $7 x+10 y-8 z-13=0$.
上一篇:
向量的混合积
下一篇:
平面的一般方程
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
学习导航:
初中数学
高中数学
高中物理
高等数学
线性代数
概率论与数理统计
复变函数
离散数学
实变函数
数论
群论
搜索
纠错
题库
高考
考研
关于本站
广告赞助
App下载
科数网是专业专业的数学网站。