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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
平面的点法式方程
最后更新:
2023-10-01 11:28
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平面的点法式方程
在平面解析几何中,把平面曲线看作动点的轨迹,从而得到轨迹方程 一一曲线方程的概念. 同样,在空间解析几何中,任何曲面都可看作满 足一定几何条件的动点的轨迹, 动点的轨迹也能用方程来表示,从而得到 曲面的概念. 平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具, 在空间直角坐标系中建立其方程,并进一步讨论有关平面的一些基本性质. 由中学立体几何知道,过空间一点,作与已知直线垂直的平面是唯一的. 因 此,如果已知平面上一点及垂直于该平面的一个非零向量,那么这个平面的位置 也完全确定了. 现在,根据抆个几何条件来建立平面的方程. 首先我们给出平面的法线向量的定义: 如果一 个非零向量垂直于一个平面,则该向量就称为该平 面的法线向量 (简称平面的法向量). 凡与某一平 面垂直的向量,均可称为该平面的法向量. 显然, 一个平面的法向量,有无穷多个,它们之间互相平 行,且法向量与平面上的任何一个向量都垂直 (见 图 5-33). ![图片](/uploads/2022-12/image_20221230ff93ede.png) 设 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是平面 上的一个定点,且已知该平面的法向量 $\boldsymbol{n}=(A, B, C)$ , 则对于平面上的任一点 $M(x, y, z)$ ,由于向量 $M_0 M=\left(x-x_0, y-y_0, z-z_0\right)$ ,必有 $\overrightarrow{M_0 M} \perp \boldsymbol{n}$ ,于是由向量垂直的充要条件,有 $\overrightarrow{M_0 M} \cdot \boldsymbol{n}=0$ ,即 $$ A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0 $$ ![图片](/uploads/2022-12/image_2022123093edb26.png) $$ A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0 $$ 式 (1) 是以 $x, y, z$ 为变量的三元一次方程,从 上面的推导过程可以看到,平面 $\Pi$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标 一定满足方程,而若点 $M(x, y, z)$ 不在平面上,则 $\overrightarrow{M_0 M}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 不垂直,即 $\overrightarrow{M_0 M} \cdot \boldsymbol{n} \neq 0$ ,即点 $M(x, y, z)$ 不满足方程. 因 此式 (1) 就是平面 面上的一个点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 和他的一个法向量 $\boldsymbol{n}=(A, B, C)$ 的条件下得到的式 (1) 的,因此式 (1) 又称为平面的点法式方程. ![图片](/uploads/2022-12/image_2022123040e7b55.png) 例 1 求过点 $(2,3,1)$ 且与 $\boldsymbol{n}=(-1,-2,0)$ 垂直的平面的方程. 解 根据平面的法向量的概念,向量 $n=(-1,-2,0)$ 即为所求平面的一个法向 量. 所以由平面的点法式方程可得 $$ -1 \times(x-2)+2 \times(y-3)+0 \times(z-1)=0 , $$ 即 $$ -(x-2)+2(y+3)=0 \text { , 或 } x-2 y-8=0 \text {. } $$ 例 2 求过点 $M_1(1,-1,-2) 、 M_2(-1,2,0)$ 及 $M_3(1,3,3)$ 的平面的方程. ![图片](/uploads/2022-12/image_20221230a0cccb7.png) 解 由于三点 $M_1, M_2, M_3$ 均在平面上,所以 $\overrightarrow{M_1 M_2}, \overrightarrow{M_1 M_3}$ 与平面平行,由向量积 的概念可知,向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_1 M_3}$ 与 $\overrightarrow{M_1 M_2}, \overrightarrow{M_1 M_3}$ 都垂直,即与所求平面垂直,因此 它是平面的一个法向量 (见图 5-34), $$ \text { 而 } \begin{gathered} \overrightarrow{M_1 M_2}=((-1)-1,2-(-1), 0-(-2))=(-2,3,2) \text { , } \\ \overrightarrow{M_1 M_3}=(0-0,3-(-1), 3-(-2))=(0,4,5) , \end{gathered} $$ 取 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{M_1 M_2} \times \overrightarrow{M_1 M_3}=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ -2 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right|=(7,10,-8)$ ,则平面方程为 $7(x-1)+10(y+1)-8(z+2)=0$ ,即 $7 x+10 y-8 z-13=0$.
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