最后更新: 2025-02-09 14:27 查看: 458 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

向量的混合积

## 向量的混合积
设三向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b} ， \boldsymbol{c}$ ，先作向量积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，再作数量积 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ，记作 $[a b c]$ ，称为三个向量 $a ， b ， c$ 的混合积.
下面我们来看混合积的坐标表示式.

设
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} & =\left(a_x, a_y, a_z\right)=a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k} ， \boldsymbol{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)=b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k} ， \\
\boldsymbol{c} & =\left(c_x, c_y, c_z\right)=c_x \boldsymbol{i}+c_y \boldsymbol{j}+c_z \boldsymbol{k} ， \\
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} & =\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
a_y & a_z \\
b_y & b_z
\end{array}\right| \boldsymbol{i}+(-1)\left|\begin{array}{ll}
a_x & a_z \\
b_x & b_z
\end{array}\right| \boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{ll}
a_x & a_y \\
b_x & b_y
\end{array}\right| \boldsymbol{k}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} & =\left|\begin{array}{ll}
a_y & a_z \\
b_y & b_z
\end{array}\right| c_x+(-1)|| \begin{array}{ll}
a_x & a_z \\
b_x & b_z
\end{array}\left|c_y+\right| \begin{array}{cc}
a_x & a_y \\
b_x & b_y
\end{array}\left|c_z=\right| \begin{array}{lll}
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{array} \mid \\
& =\left|\begin{array}{lll}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

由此可得：

$$
[a b c]=(a \times b) \cdot c=(b \times c) \cdot a=(c \times a) \cdot b=c \cdot(a \times b)=a \cdot(b \times c)=b \cdot(c \times a)
$$

**混合积是一个数**，它的绝对值表示以向向量 $a 、 b 、 c$ 为棱的平行六面体的体积.
若 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 成右手系时， $[a b c] \geq 0$ ；

若 $\boldsymbol{a}$ 、$\boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 成左手系时， $[\boldsymbol{a} \boldsymbol{b} \boldsymbol{c}] \leq 0$.

事实上，由于 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ , 所以他也表示边长为 $|a| 、|b|$ 的平行四边形面积 (见图 5-31)，
![图片](/uploads/2022-12/image_202212301959b62.png){width=300px}

## 向量混合积的物理意义
在高中物理课中知道，带电粒子在磁场中的运动时，会有洛伦兹力，详见[高中物理(电磁学)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1004)，并且给出了左收法则判断受力的方向：伸开左手，让磁力线穿过首先，四指指向粒子运动的方向，则大拇指的指向就是粒子受力的方向，参考下图
 
  ![图片](/uploads/2025-02/b22984.svg){width=300px}
 
 
 当然，受限于高中数学知识的局限性，到了大学开始学习微积分，使得我们可以通过微观角度来理解洛伦兹力，在大学物理课里，会进一步用向量进行研究洛伦兹力。

洛仑兹力写成向量乘法的形式是 $F=q(v \times B)$ 详见[洛伦兹力(大学版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1165)

为了和上面说法对应，现在我们捋一捋$F=q(v \times B)$这个公式的物理意义（参考下图），这对理解后面介绍的向量的乘法很有意义。

![图片](/uploads/2024-01/image_202401113fc9d42.png){width=300px}

四个物理量：
①$q$:一个点电荷 
②$v$:点电荷的运动速度
③$B$:磁场的强度
④$F$:点电荷受到的力

> **整个表达式的意思是**：一个粒子$q$在磁场里运动，运动速度$v$和磁场强度$B$之间的夹角为$\theta$，那么粒子会受到洛伦兹力$F$的作用,力$F$的方向垂直于$v$和$B$张成的平面，力的大小是$F=q · (v \times B)$

我们不管数学上如何定义[向量的内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)或[向量的叉乘](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1537), 我们仅从物理上分析， 因为，$F$是矢量，所以就要求我们，$q · (v \times B)$的结果也必须是矢量。在物理里，力的方向采用的是**左手法则**，而数学里，运算的结果默认采用的是**右手法则**，所以在数学里，为两则统一，会要求采用左手法则时，前面多一个负号，他表示的是相反的方向。

现在我们把上面矢量换成数学语言：设三向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b} ， \boldsymbol{c}$ ，先作向量积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，再作数量积 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ，记作 $[a b c]$ ，称为三个向量 $a ， b ， c$ 的混合积.
这就是上面学习的向量的混合积。 有兴趣的可以看[附录：麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879)

## 例题

`例`已知 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=2$ ，计算 $[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})$.

解
$$
 \begin{aligned}
& {[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})=[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}) } \\
&=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}+(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{c}+(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}+(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{c} \\
&+(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a}+(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a} \\
&=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}+0+0+0+0+0+0+(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} \\
&= 2(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=4 .
\end{aligned}
$$

`例`已知空间内不在同一平面上的四点
$A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right), C\left(x_3, y_3, z_3\right), D\left(x_4, y_4, z_4\right)$ 求四面体的体积.
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 $A B 、 A C 、 A D$ 为棱的平行六 面体的体积的六分之一: $V=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{lll}A B & A C & A D\end{array}\right]$,

$$
\text { 而 }\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{A B}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right) \\
\overrightarrow{A C}=\left(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1\right) \\
\overrightarrow{A D}=\left(x_4-x_1, y_4-y_1, z_4-z_1\right)
\end{array}\right. \text {. }
$$

所以 $V=\pm \frac{1}{6}\left|\begin{array}{lll}x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1\end{array}\right|$. 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致

`例`已知 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{i}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{c}=2 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$ ，求一单位向量 $\gamma$ 使 $\gamma \perp \boldsymbol{c}$ ，且 $\gamma$ 与 $a, b$ 此同时共面.
解 设所求向量 $\gamma=(x, y, z)$. 依题意 $|\gamma|=1, \boldsymbol{\gamma} \perp \boldsymbol{c}, \boldsymbol{\gamma}$ 与 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 共面，可得

$$
x^2+y^2+z^2=1
$$

$\gamma \cdot c=0$, 即 $2 x-2 y+z=0$
将式(1)式(2)与式(3)联立解得 $x=\frac{2}{3}$ 或 $-\frac{2}{3}, y=\frac{1}{3}$ 或 $-\frac{1}{3}, z=-\frac{2}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$, 所以 $\gamma=\pm\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)$

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