空间直线方程及参数方程

对称式方程及参数方程

由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的方向向量. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的
一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 及一个方向向量 $s=(m,n,p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) . 如果 $M(x,y,z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 ${\overline{M}}_{0}M//\mathit{s}$ ，根据平面向量定理，对应坐标应该成比例，即有

注 ①当 $m,n$ 和 $p$ 中有一个为零，例如 $m=0$ ，而 $n$ 与 $p\ne 0$ 时，这个方程组应理解为

当 $m,n$ 和 $p$ 中有两个为零，例如 $m=n=0$ ，而 $p\ne 0$ 时，这个方程组应理解为

参数方程

(2) 式是含有末知数 $x,y,z$ 的方程组. 从上面推导可知，直线 $l$ 上任意一点 $M(x,y,z)$ 的坐标满足(2)式. 反之，如果点 $M(x,y,z)$ 不在直线上，那么向量 $M_{0}M$ 与 $s$ 就不平行，于是点 $M(x,y,z)$ 的坐标就不会满足 (2) 式. 由此可知此式即为直线的对称式方程，也称点向式方程.

这里 $s=(m,n,p)$ 的三个坐标就称为方向数，而 $s$ 的方向余弦就叫做该直线的方向余弦.
若设 $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$ ，

则有直线的参数方程

例1用点向式方程或参数方程表示直线 $\{\begin{array}{c}x+y+z+1=0\\ 2x-y+3z+4=0\end{array}$.
解 令 $x_0=1$ ，代入方程得

解得 $y=0，z=-2$ ， 即得到该直线上的一点： $M_0(1,0,-2)$ ，由于直线的方向向量 $\mathit{s}$ 与相交平面的法向量 ${\mathit{n}}_1=(1,1,1)，{\mathit{n}}_2=(2,-1,3)$ 都垂直，故可取

$M_0(1,0,-2),\mathit{S}=(4,-1,-3)$.
因此直线的点向式方程为

直线的参数方程为

例2 求过点 $A(1,0,1)$ 和 $B(-2,1,1)$ 的直线方程.
向量 $\overrightarrow{AB}=(-3,1,0)$ 是所求直线的一个方向向量，因此所求直线方程为