最后更新: 2025-02-06 16:57 查看: 1196 次反馈刷题

空间直线方程及参数方程

## 对称式方程及参数方程
由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的**方向向量**. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的
一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) . 如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{s}$ ，根据平面向量定理，对应坐标应该成比例，即有

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ...(2) 
}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230207e54e.png)

> 注  ①当 $m, n$ 和 $p$ 中有一个为零，例如 $m=0$ ，而 $n$ 与 $p \neq 0$ 时，这个方程组应理解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_0=0 \\
\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
\end{array}\right.
$$

> 当 $m, n$ 和 $p$ 中有两个为零，例如 $m=n=0$ ，而 $p \neq 0$ 时，这个方程组应理解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_0=0, \\
y-y_0=0 .
\end{array}\right.
$$

### 参数方程
(2) 式是含有末知数 $x, y, z$ 的方程组. 从上面推导可知，直线 $l$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标满足(2)式. 反之，如果点 $M(x, y, z)$ 不在直线上，那么向量 $M_0 M$ 与 $s$ 就不平行，于是点 $M(x, y, z)$ 的坐标就不会满足 (2) 式. 由此可知此式即为直线的**对称式方程**，也称点向式方程.

这里 $s=(m, n, p)$ 的三个坐标就称为**方向数**，而 $s$ 的方向余弦就叫做该直线的**方向余弦**.
若设 $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$ ，

则有直线的参数方程

$$
\boxed{
\left\{\begin{array}{l}x=x_0+m t \\ y=y_0+n t \\ z=z_0+p t \end{array}\right. ...(3)
}
$$

`例`用点向式方程或参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{c}x+y+z+1=0 \\ 2 x-y+3 z+4=0\end{array}\right.$.
解 令 $x_0=1$ ，代入方程得

$$
\left\{\begin{array}{c}
y+z=-2 \\
-y+3 z=-6
\end{array},\right.
$$

解得 $y=0 ， z=-2$ ， 即得到该直线上的一点： $M_0(1,0,-2)$ ，由于直线的方向向量 $\boldsymbol{s}$ 与相交平面的法向量 $\boldsymbol{n}_1=(1,1,1) ， \boldsymbol{n}_2=(2,-1,3)$ 都垂直，故可取

$$
\boldsymbol{S}=\boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
1 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right|=(4,-1,-3)
$$

$M_0(1,0,-2), \quad \boldsymbol{S}=(4,-1,-3)$.
因此直线的点向式方程为

$$
\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3},
$$

直线的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{c}
x=1+4 t \\
y=-t \\
z=-2-3 t
\end{array} .\right.
$$

`例` 求过点 $A(1,0,1)$ 和 $B(-2,1,1)$ 的直线方程.
向量 $\overrightarrow{A B}=(-3,1,0)$ 是所求直线的一个方向向量，因此所求直线方程为

$$
\frac{x-1}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0} .

其他版本
【高等数学】空间曲面的切平面与法线方程【数学分析】曲面的法向量，法线和切平面【高中数学】直线方程【高中数学】方向向量与法向量【数学分析】曲线的切向量，切线和法平面【高中数学】空间向量的共面向量定理【高等数学】空间曲线的切线和法平面【高中数学】空间的平面方程

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：两平面相交方程

下一篇：直线与平面的夹角

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)